Eletriciae e Magnetismo - GC nutância / Circuitos R Oliveira E. asilio Jafet sala 0 crislpo@if.usp.br nutância Mútua Anteriormente consieramos a interação magnética entre ois fios que conuziam correntes estacionárias: a corrente e um fio prouzia um campo magnético que exercia uma força sobre a corrente e outro fio. No entanto, quano existe uma corrente variável em um os circuitos, ocorre uma interação aicional entre os ois circuitos. Sejam as uas bobinas inicaas abaixo. Uma corrente circulano na bobina 1 prouz um campo magnético e, portanto, um fluxo magnético através a bobina. Quano a corrente na bobina 1 varia, o fluxo magnético através a bobina também varia; e acoro com a lei e Faraay, isso prouz uma fem na bobina. seno assim, a variação a corrente em um os circuitos prouz uma corrente inuzia no outro circuito. Nesta figura uma corrente i 1 na bobina 1 inuz um campo magnético e algumas as linhas e campo passam através a bobina. Seja o fluxo magnético através e caa espira a bobina prouzio pela corrente i 1 na bobina 1
nutância Mútua O campo magnético é proporcional a i 1 e moo que também é proporcional à i 1. Quano i 1 varia, também varia e assim inuz uma fem na bobina aa por: Poe-se representar a proporcionaliae entre e i 1 na forma N = (constante) i 1. ntrouzino uma constante e proporcionaliae M1, chamaa e inutância mútua as uas bobinas, escrevemos: One é o fluxo magnético através e uma única espira a bobina. Portanto, E poemos escrever a fem na bobina como: A inutância mútua efinia acima poe ser escrita na forma: nutância Mútua Poemos repetir o raciocínio para o caso em que uma corrente variável i na bobina prouz um fluxo magnético variável 1 e inuz uma fem 1 na bobina 1. Neste caso teríamos a constante M 1 que, em principio, poeria ser imaginaa como iferente e M 1. Contuo, verifica-se na prática que M 1 é sempre igual a M 1 e assim poe-se utilizar o símbolo M para esignar essa inutância mútua. Assim: One a inutância mútua é: fem mutuamente inuzia nutância mútua A uniae e inutância mútua, no S, é o henry (1H), seno que: Similarmente ao caso e capacitância, 1 H é uma uniae muito grane e inutância. Em geral tem-se valores típicos na casa e milihenry ou microhenry.
obina e Tesla: Em uma as versões a bobina e Tesla, um solenóie longo e comprimento l e seção reta com área A possui N 1 espiras enrolaas e moo compacto. Uma bobina com N espiras é enrolaa em seu centro (figura abaixo). Determine a inutância mútua. O fluxo entro a espira é exatamente o fluxo entro a espira 1 Exemplo e Aplicação: nutores e Auto-nutância No caso anterior consieramos ois circuitos separaos: a corrente no circuito um gera um campo magnético que origina um fluxo no seguno circuito. Se a corrente mua no circuito um o fluxo se altera no circuito e assim se tem uma fem inuzia no circuito. Um efeito importante ocorre se consierarmos apenas um circuito isolao. Quano uma corrente está presente, ele gera um campo magnético que gera um campo magnético através o mesmo circuito. Seno assim, qualquer circuito conuzino corrente poe inuzir uma fem pela variação e seu próprio campo magnético. Pela ei e enz sabemos que essa fem inuzia se opõe à variação a corrente inicial. Seno assim, fem auto-inuzias são e grane importância sempre que temos a corrente variano fem auto-inuzias ocorre em qualquer circuito pois sempre teremos algum fluxo e campo magnético gerao em correntes e circuito fechao
nutores e Auto-nutância Essa fem auto-inuzia é amplificao se no circuito tivermos uma espira com N voltas e fio. Como resultao e uma corrente i existe um fluxo magnético através e caa volta a espira. Assim poemos efinir a autoinutância o circuito como: Auto-inutância Usualmente, quano não existe outros elementos inutores no circuito, a autoinutância é simplesmente chamaa e inutância. No S, a inutância possui como uniae o henry Se a corrente varia, o fluxo varia e assim, a equação acima: Da ei e Faraay para uma espira e N voltas obtemos finalmente O sinal negativo é equivalente a ei e enz: o inutor sempre se opõe à variação e correntes no circuito. nutor como elemento e Circuito Um elemento e circuito que é projetao para ter uma inutância em particular é enominao inutor. O símbolo e inutor é: Pelas eis e Kirchhoff em um circuito fechao, mee-se as iferenças e potencial em caa elemento e a soma algébrica total eve ser zero. O campo elétrico prouzio pelas cargas anano no circuito é conservativo e o chamamos e E c. Dentro o inutor, o campo magnético prouzio pelas espiras criam um campo elétrico não conservativo, E n. Se assumimos que a resistência interna o inutor é esprezável, é necessário um campo também esprezável para mover as cargas no sistema. Assim, o campo total, E c +E n eve ser zero, mesmo que os campos iniviualmente não sejam nulos. No circuito ao lao tem-se uma fonte e corrente. De acoro com a lei e Faraay, a integral e linha em torno o circuito é o negativo a taxa e variação o fluxo pelo circuito, assim, Como o campo não conservativo somente é não nulo entro o inutor, Agora, como vimos acima, e assim: Mas, esta integral naa mais é o que finalmente obtemos: o potencial V ab o ponto a com respeito ao ponto b. Assim, Seno assim existe uma quea e potencial nos terminais e um inutor associao a forças conservativas. Quano usamos as leis e Kirchhoff para analisar circuitos, a relação acima eve ser utilizaa.
Comportamento e um inutor nutância e um solenóie / Toróie Solenoie longo e área A. 0n 0 N NA A 0 N 0 N A 0 n A 0n A 0n V Toroie circular e raio R. 0N r A b b ( )( h r) 0N h r a r a b 0Nh r 0Nh b ln r r 0Nh b a ln a a N 0N h b ln a 0N h ln b a Destes ois exemplos vemos que a inutância poe ser escrita como a constante e permeabiliae 0 vezes uma graneza com imensão e comprimento: 4 10 0 7 T. m / A 4 10 0 7 H / m
Circuito R Símbolo e inutor
No inicio, o inutor se oporá à passagem e corrente em ecorrência a variação o fluxo magnético. sso gerará uma força eletromotriz inuzia in, ou uma quea e potencial V : V R V V 0 V R R R Equação Diferencial e primeira orem com estímulo externo igano-se a chave S com a chave S1 aina ligaa, a fonte será colocaa em curto forçano a paraa a corrente. sto gerará uma alteração no fluxo magnético no inutor, gerano uma fem inuzia: V R V V 0 V R R R 0 Equação Diferencial e primeira orem homogênea Solução obtia na Carga: Crescimento a Corrente 1 e R R t / R e R t 0.63 R / / = /R t 0.368 / t
Solução obtia na escarga: Decaimento a Corrente 0 0 e o R t R e R t 0 R/ 0.368 0 R/ -/ = /R Energia Armazenaa no Campo Magnético R Multiplicano por em ambos os laos, Taxa com que a energia aparece sob a forma e energia térmica no resistor, ie, potência issipaa no resistor R A energia não aparece como energia térmica no inutor. Seno assim, pela conservação e energia, eve ficar armazenaa neste. ogo, esta equação inica a conservação a energia para circuitos R. t t Taxa com que o ispositivo e fem transmite energia para o circuito, isto é, é a potência fornecia pela fonte. Este termo eve inicar a taxa U / com que a energia é armazenaa no campo magnético: U
Taxa e energia armazenaa no campo magnético o inutor: U Solenoie longo com seção transversal A Tomemos um comprimento próximo ao centro o solenóie. Poe ser reescrito como, U Fazeno a integração ireta, U U 0 0 1 U Energia Magnética armazenaa em um inutor transportano uma corrente A energia armazenaa nesta extensão eve estar interiamente entro este volume pois o campo magnetico fora é praticamente nulo Também, a anergia armazenaa eve estar uniformemente istribuia por too o volume o solenóie, porque o campo magnetico é uniforme em qualquer ponto e seu interior. Assim, u 0 n U A Como obtio anteriormente, A i u A A u Para um solenóie ieal, u 1 0n 0 0 n Densiae e energia magnética Similariaes entre capacitância e inutância
Circuito C Energia potencial a mola Energia eletrica no capacitor Analogia com oscilaor Massa-Mola Com o inicio a escarga o capacitor, a energia acumulaa no campo elétrico iminui. Ao mesmo tempo a corrente aumenta e começa a haver energia no inutor. Quano o capacitor estiver completamente escarregao a corrente atinge o valor máximo. Agora a corrente possui sentio oposto ao mostrao no item b e a energia o capacitor é novamente transferia ao inutor. Energia cinética a massa Energia magnética no inutor Com o capacitor completamente carregao a energia total U o circuito está no campo elétrico o capacitor e vale Q m /C. Neste instante a corrente é nula e não há energia no inutor Agora ocorre o processo inverso. A energia que estava armazenaa no inutor como energia magnética é agora transferia para o capacitor, porém com polariae inversa à o inicio o processo. A energia o inutor é transferia ao capacitor que agora possui polariae igual ao ítem (a). O processo se repete inefiniamente.
Energia potencial a mola Energia eletrica no capacitor Energia cinética a massa Energia magnética no inutor Em um termpo arbitrario t, epois a chave ter sio fechaa, o capacitor está com uma carga Q e o circuito com uma corrente. Ambos os componentes acumulam energia mas a soma eve ser igual a energia inicial U pois não há issipação: U U C U alanço e energia Q 1 C Já que amitimos não haver resistência no circuito, não há issipação e entao a energia total permanece constante no tempo, ou seja U/ = 0: U Q C Q Q C 1 0 0 Agora, Q Assim, Q Q Q Q Q Q 0 C Q 1 Q 0 C Equação Diferencial e seguna orem homogênea e linear Como Resolver?
Da resolucão a equacão iferecial, Q Q cos m t One Qm é a carga máxima o capacitor e a frequencia angular é aa por 1 C A corrente será aa por Q Qm sint Como obter o ângulo e fase? Conicões e contorno!!! nicio: Capacitor totalmente carregao. Seno assim em t=0, =0 e Q=Qm. Fazeno =0 e t=0 em na equacão anterior, temos Ou seja, =0. 0 Qm sin sto também é coerente com a seguna conicão, Q=Qm em t=0. U U U U C C U U Q 1 C Qm cos C U é constante. ogo, para t=0 Qm U C Similarmente, para t = / ogo, U m Q C m m Assim a variacão a carga e a corrente serão: Q Qm cos t Q sint Como fica a energia? t m sin t E poemos reescrever U como, Qm U C m m sint Qm cos t sin t cte C U U C U
Simulacão circuito C