Ralph S. Silva http://www.im.ufrj.br/ralph/especializacao.html Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro Maio-Junho/2013
Posição financeira Uma posição financeira longa significa ter o ativo. Uma posição financeira curta envolve vender um ativo que não temos. Isto pode ser realizado ao tomar emprestado de um investidor que comprou o ativo. Em uma data subsequente, o vendedor da posição curta é obrigado a comprar exatamente o mesmo número de ações que tomou emprestado para pagar de volta ao emprestador. O pagamento requer o mesmo número de ações ao invés do mesmo unidades monetárias. Logo, o vendedor da posição curta se beneficia com o declínio do preço do ativo.
Existem vários tipos de riscos no mercado financeiro. Entre eles, temos Risco de crédito; Risco operacional; e Risco de mercado. Valor em risco (V @R) está focado no risco de mercado. V@R é uma estimativa do montante que uma posição de uma instituição em uma categoria de risco pode declinar devido ao movimento geral do mercado durante um dado período de tempo. A medida pode ser usada por instituições financeiras para assessar seus riscos. V@R é usado para assegurar que instituições financeiras possam ainda estar no negócio após um evento catastrófico. V@R pode ser visto como a perda máxima de uma posição financeira durante um dado período de tempo para uma dada probabilidade. Podemos tratar o V@R como uma medida de perda associada a eventos raros sob condições normais de mercado.
V@R em termos probabilísticos: posição longa Vamos definir agora V@R em uma abordagem probabilística. Suponha que no tempo t estejamos interessados no risco de uma posição financeira para os próximos l períodos. Seja V (l) a mudança no valor do ativo na posição financeira do tempo t ao t + l. Esta quantidade é medida em unidades monetárias e é uma variável aleatória para cada instante de tempo t. Denotaremos a função de distribuição acumulada (FDA) de V (l) por F l (x). Definimos o V@R de uma posição longa sobre um horizonte de tempo l com probabilidade p como p = Pr( V (l) V @R) = F l (V @R). Se p for pequeno, então V@R de uma posição longa provavelmente será um valor negativo, representando uma perda.
V@R em termos probabilísticos: posição curta O detentor de uma posição curta sofre uma perda quando o valor do ativo cresce [i.e., V (l) > 0]. Definimos o V@R de uma posição curta sobre um horizonte de tempo l com probabilidade p como p = Pr( V (l) V @R) = 1 Pr( V (l) V @R) = 1 F l (V @R). Se p for pequeno, então V@R de uma posição curta provavelmente será um valor positivo, representando uma perda.
Cálculo do V@R Pela definição de V@R, estamos interessados na cauda da FDA de F l (x). Podemos utilizar o V@R de uma posição longa para calcular o V@R de uma posição curta se usarmos a distribuição de V (l). Portanto, só precisamos discutir métodos de cálculo de V@R para uma posição longa. Para qualquer FDA univariada F l (x) e probabilidade p, tal que 0 < p < 1, a quantidade x p = inf{x F l (x) p} é chamada de p-ésimo quantil de F l (x). inf denota o menor número real satisfazendo F l (x) p. Se a FDA é conhecida, então o V@R é simplesmente seu p-ésimo quantil, V@R = x p. (Entretanto, a FDA é desconhecida na prática.) Estudos de V@R são focados na estimação da FDA e/ou seu quantil, especialmente o comportamento da cauda da FDA.
Em aplicações práticas, o cálculo do V@R envolve diversos fatores: A probabilidade de interesse p, tal como p = 0, 01 ou p = 0, 05. O horizonte de tempo l. Pode ser dado por um comitê regulador, tal como 1 dia ou 10 dias. A frequência dos dados, que pode não ser a mesma do horizonte l. Observações diárias são geralmente utilizadas. A FDA F l (x) ou seus quantis. O montante da posição financeira ou valor de mercado para mercado do portifólio. Entre estes fatores, a FDA F l (x) é o foco da modelagem econométrica. Diferentes métodos para estimar a FDA resultam em abordagens diferentes para o cálculo do V@R.
A definição de V@R é dada em unidades monetárias. Log retornos correspondem aproximadamente a mudanças percentuais no valor de uma posição financeira. Por isto, usamos os log retornos r t na análise de dados. O V@R calculado do quantil da distribuição de r t+1 dado a informação disponível no tempo t é portanto em porcentagem. O montante em unidades monetárias do V@R é então o valor em dinheiro da posição financeira vezes o V@R da série de log retornos. V@R = Valor V@R(dos log retornos). Se necessário, podemos usar a aproximação V@R = Valor [exp{v@r(dos log retornos)} 1].
V@R é uma predição a respeito de uma possível perda de um portifólio em um dado horizonte de tempo. O V@R deve ser calculado usando a distribuição preditiva dos retornos futuros da posição financeira. Por exemplo, o V@R para um horizonte de 1 dia de um portifólio usando retornos diários r t deve ser calculado usando a distribuição preditiva de r t+1 dado a informação disponível no tempo t. Do ponto de vista estatístico, a distribuição preditiva leva em conta a incerteza dos parâmetros em um modelo especificado propriamente. Entretanto, a distribuição preditiva é difícil de se obter. A maioria dos métodos de cálculo de V@R ignora o efeito da incerteza dos parâmetros.
Cálculo do V@R: ARMA+GARCH Cálculo do V@R: ARMA+GARCH Suponha que o retorno diário de capitalização contínua de um portifólio segue uma distribuição condicional normal. Seja r t o log retorno diário e F t 1 a informação disponível até o tempo t 1. Temos que r t F t 1 N (µ t, σ 2 t ), sendo µ t e σ 2 t a média e a variância condicionais respectivamente. Podemos pensar em um modelo ARMA(p, q)+garch(m, s) para os log retornos. Lembre-se que r t[k] = r t+1 + + r t+k, horizonte de previsão k. A distribuição condicional de r t[k] F t é normal com média µ t e variância σ 2 t [k].
Cálculo do V@R: ARMA+GARCH Cálculo do V@R: ARMA+GARCH com erros normais e t Dado o modelo, podemos obter então ˆr t(1) e ˆσ 2 t (1). Se o erro ε t do modelo for normal, então r t+1 F t N (ˆr t(1), ˆσ 2 t (1)). O quantis desta distribuição condicional são facilmente obtidos para o cálculo do V@R. Por exemplo, o quantil de 5% é ˆr t(1) 1, 65 ˆσ t(1) Se o erro ε t do modelo for uma t-student (µ = 0 e σ 2 = 1) com ν graus de liberdade, então o p-ésimo quantil é dado por (t-student padronizada) t ν(p) ˆr t(1) ˆσ t(1) para ν > 2. ν/(ν 2)
Cálculo do V@R: ARMA+GARCH Exemplo Log Retorno 0.2 0.1 0.0 0.1 0 2000 4000 6000 8000 Dias Figura : Log retornos diários (em porcentagem) da IBM de 3 de julho de 1962 a 31 de dezembro de 1998. Mostrar exemplo no R: aplicacao_10.r
Cálculo do V@R: ARMA+GARCH De acordo com a análise feita no R, se os erros forem normais, temos o modelo AR(2)+GARCH(1,1) como bom ajuste, isto é, r t = 0, 0006245 + 0, 013272r t 1 0, 024712r t 2 + a t, a t = σ tε t σt 2 = 0, 0000028112 + 0, 06550566at 1 2 + 0, 924883σt 1. 2 Temos r 9189 = 0, 0020, r 9190 = 0, 0128 e σ9190 2 = 0, 00033470745. Assim, obtemos ˆr 9190(1) = 0, 000504 e ˆσ 9190(1) 2 = 0, 0001666. O quantil de 5% é dado por 0, 000504 1, 65 0, 0001666 = 0, 029132. O V@R para uma posição longa de $10 milhões com probabilidade 0,05 é V@R = $10.000.000 0, 029132 = $291.321. O resultado mostra que, com probabilidade de 0,95, a perda potencial de manter a posição no dia seguinte é $291.321 ou menos se assurmimos que o modelo AR(2)+GARCH(1,1) com erros normais se aplique.