Econometria em Finanças e Atuária

Transcrição

1 Ralph S. Silva Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro Maio-Junho/2013

2 Tópicos Tópicos Séries temporais financeiras Modelos em espaço de estados (Modelos dinâmicos) Modelos heteroscedásticos condicionais Modelos não lineares e aplicações Análise de dados de alta frequência Modelos de tempo contínuo e aplicações Modelos de volatilidade estocástica

3 Referências Referências: Livros Analysis of Financial Time Series, R. S. Tsay, John. Wiley, The Econometric Modelling of Financial Time Series, T. C. Mills, Cambrigde University Press, 1996.

4 Séries temporais financeiras Séries temporais financeiras Foco em teoria e na prática da avaliação de ativos através do tempo. É uma disciplina altamente empírica. A teoria financeira e suas séries empíricas contêm elementos de incerteza. Existem várias definições para volatilidade de ativos. Volatilidade não é diretamente observável. Daremos ênfase a aplicações e análise de dados empíricos.

5 Séries temporais financeiras Retornos de ativos Muitos estudos envolvem retornos de ativos ao invés de preços. O retorno de um ativo é um resumo completo e de escala livre da oportunidade de investimento. Devido suas propriedades estatísticas, séries de retornos são mais fáceis de trabalhar do que preços. Existem várias definições para retornos de um ativo. Seja P t o preço de um ativo no instante t. Suponha por um momento que o ativo não paga dividendos.

6 Séries temporais financeiras Retornos de ativos Retorno simples de um período: Fixando o ativo pelo período de tempo de t 1 a t, para um retorno bruto simples, temos 1 + R t = Pt P t 1 ou P t = P t 1(1 + R t). O retorno líquido simples para um período (ou retorno simples) é R t = Retorno simples de vários períodos: Pt Pt Pt 1 1 =. P t 1 P t 1 Fixando o ativo pelos períodos de tempo entre t k a t, temos o retorno bruto simples de k períodos dado por 1 + R t[k] = Pt = Pt Pt 1 P k 1 t k+1 = (1 + R t j). P t k P t 1 P t 2 P t k j=0

7 Séries temporais financeiras Capitalização contínua Suponha que a taxa de juros de um depósito bancário seja 10% ao ano e que o depósito inicial seja de $1, 00. Se o banco pagar os juros uma vez ao ano, então o valor líquido do depósito se torna $1, 00 (1 + 0, 1) = $1, 10 depois de um ano. Se o banco paga os juros a cada 6 meses, então a taxa de juros é 10%/2 = 5% e o valor líquido do depósito é $1, 00 (1 + 0, 1/2) 2 = $1, 1025 depois de um ano. Se o banco paga os juros m vezes por ano, então a taxa de juros é 10%/m e o valor líquido do depósito é $1, 00 (1 + 0, 1/m) m depois de um ano. A tabela a seguir mostra resultados para alguns intervalos de tempo sobre um depósito de $1, 00 com juros de 10% ao ano. O valor líquido se aproxima de $1, 1052, que é obtido por exp(0, 1) e é referido como o resultado da capitalização contínua. O efeito da capitalização pode ser claramente visto.

8 Séries temporais financeiras Tabela : Ilustração do efeito da capitalização a Número de Taxa de Juros Valor Tipo Pagamentos por Período Líquido Anual 1 0,1 1,10000 Semestral 2 0,05 1,10250 Trimestral 4 0,025 1,10381 Mensal 12 0,0083 1,10471 Semanal 52 0,1/52 1,10506 Diário 365 0,1/365 1,10516 Contínuo 1,10517 a O intervalo de tempo é de 1 ano e a taxa de juros é 10%.

9 Séries temporais financeiras Em geral, o valor líquido do ativo A de uma capitalização contínua é A = C exp(r n), sendo r a taxa de juros anual, C o capital inicial, e n o número de anos. Da equação acima, temos que C = A exp( r n), que é referida como o valor presente de um ativo que valha A unidades monetárias em n anos a partir de agora, supondo que a taxa de juros da capitalização contínua seja r por ano.

10 Séries temporais financeiras Retorno de capitalização contínua O logaritmo natural de um retorno bruto simples de um ativo é chamado de retorno de capitalização contínua ou log retorno: sendo p t = ln P t. r t = ln(1 + R t) = ln Pt P t 1 = ln P t ln P t 1 = p t p t 1, (1) Considerando log retornos de vários períodos, temos r t[k] = ln(1 + R t[k]) = ln[(1 + R t)(1 + R t 1) (1 + R t k+1 )] = ln(1 + R t) + ln(1 + R t 1) + + ln(1 + R t k+1 ) = r t + r t r t k+1. O log retorno de vários períodos de capitalização contínua é simplesmente a soma dos log retornos de um período de capitalização contínua. Propriedades estatísticas dos log retornos são mais tratáveis.

11 Séries temporais financeiras Exemplo: Se o log retorno mensal de um ativo é de 4, 46%, então o retorno simples mensal correspondente é 100[exp(4, 46/100) 1] = 4, 56%. Utilizamos r t = 100 ln ( ) 1 + Rt 100 quando R t está descrito em porcentagem. R t = 100 (exp(r t/100) 1), Se os log retornos mensais de um ativo dentro de um trimestre são 4, 46%, 7, 34% e 10, 77% respectivamente, então o log retorno trimestral de um ativo é (4, 46 7, , 77)% = 7, 89%. Utilizamos r t[3] = r t + r t 1 + r t 2.

12 Momentos ordinários: m l = E(X l ) = Definimos µ x = m 1 = E(X) como a média. Momentos centrais: m l = E[(X µ x) l ] = x l f (x)dx. (x µ x) l f (x)dx. Definimos σ 2 x = m 2 = E[(X µ x) 2 ] como a variância.

13 O coeficiente de assimetria é definido por [ ] (X µx) 3 S(X) = E e o coeficiente de curtose por [ ] (X µx) 4 K(X) = E. σ 3 x σ 4 x A quantidade K(X) 3 é chamada de excesso de curtose porque K(X) = 3 para a distribuição normal. Uma distribuição com excesso de curtose positivo é dita ter caudas pesadas (leptocúrtica). Uma distribuição com excesso de curtose negativo é dita ter caudas leves (platicúrtica).

14 Momentos amostrais Suponha que {x 1, x 2,..., x T } seja uma amostra aleatória de X com T observações. Média amostral: ˆµ x = 1 T x t. T t=1 Variância amostral: ˆσ 2 x = 1 T 1 T (x t ˆµ x) 2. 1 O coeficiente de assimetria amostral: Ŝ(X) = (T 1)ˆσ x 3 O coeficiente de curtose amostral: ˆK(X) = 1 (T 1)ˆσ x 4 t=1 T (x t ˆµ x) 3. t=1 T (x t ˆµ x) 4. t=1

15 Sob a hipótese de normalidade, Ŝ(X) N (0, 6/T ) e ˆK(X) N (0, 24/T ). Estas aproximações para T grande podem ser utilizadas para testar a hipótese de normalidade dos retornos de um ativo. Dado uma série de retornos de um ativo {r 1, r 2,..., r T }, para testar a assimetria dos retornos, consideramos H 0 : S(r) = 0 H A : S(r) 0. A estatística da razão-t da assimetria amostral é t = Ŝ(r) 6/T N (0, 1). Rejeitamos H 0 ao nível α de significância se t > z α/2, sendo z α/2 o percentil 100(1 α/2) da distribuição normal padrão.

16 Para testar o excesso de curstose dos retornos, consideramos H 0 : K(r) 3 = 0 H A : K(r) 3 0. A estatística da razão-t da assimetria amostral é t = ˆK(r) 3 24/T N (0, 1). Rejeitamos H 0 ao nível α de significância se t > z α/2, sendo z α/2 o percentil 100(1 α/2) da distribuição normal padrão. Temos também o teste de Jarque e Bera para normalidade com JB = Ŝ2 (r) 6/T + ( ˆK(r) 3) 2 χ /T Rejeitamos H 0 (normalidade) se JB > χ 1 α, sendo χ 1 α o percentil 100(1 α) da distribuição χ 2 2. Mostrar exemplo no R: descritiva.r

17 Aplicação 1 O conjunto de dados reais que trabalharemos contém 10 fundos atuariais brasileiros. Temos disponíveis os preços semanais para o período de janeiro de 2004 a agosto de 2011, totalizando 245 observações. Safra: Safra Index 10 CEF_P: Caixa Patrimônio FIC Renda Fixa LP CEF_C: Caixa Patrimônio FIC Renda Fixa LP IB_FIC: IB Inflation Index FIC Renda Fixa Unibanco: Unibanco Indice de Preços FIC Renda Fixa Paribas: BNP Paribas Inflação FI Renda Fixa BB_F: BB Atuarial FI Renda Fixa LP I BB_A: BB Fachesf Atuarial FI Renda Fixa Western: Western Asset Inflation FI Referenciado IGP-M LeggM: Legg Mason Price FIC Referenciado Renda Fixa Mostrar exemplo no R: aplicacao_01.r 1 Os dados foram gentilmente cedidos por Reinaldo A. Marques. Marques, Pizzinga e Vereda (2012), Restricted Kalman Filter Applied to Dynamic Style Analysis of Actuarial Funds, Applied Stochastic Models in Business and Industry.

18 Distribuição dos retornos A forma geral do modelo dos log retornos de um ativo, {r t; t = 1,..., T }, é sua função de distribuição conjunta: sendo F r (r 1, r 2,..., r T Y, θ) Y um vetor de estados consistindo de variáveis que resumem o ambiente em que os retornos do ativo foram determinando, e θ o vetor de parâmetros que determina unicamente a função de distribuição F r (.). É possível generalizar F r (.) para vários log retornos de diferentes ativos.

19 Para um determinado ativo, podemos escrever ainda F r (r 1, r 2,..., r T ) = F r (r 1)F r (r 2 r 1) F r (r T r 1, r 2,..., r T 1 ) T = F r (r 1) F r (r t r 1, r 2,..., r t 1) sendo o vetor de parâmetros θ omitido na notação. Para distribuições contínuas temos T f r (r 1, r 2,..., r T ) = f r (r 1) f r (r t r 1, r 2,..., r t 1) t=2 t=2 sendo o vetor de parâmetros θ omitido na notação.

20 Função de verossimilhança dos retornos Sejam {r 1,..., r T } os log retornos de um ativo. Então, supondo distribuições condicionais normais, temos T { } f (r 1,..., r T θ) = f (r 1 θ) (2πσt 2 ) 1/2 exp 1 (r 2σt 2 t µ t) 2 t=2 sendo µ t e σt 2 a média e a variância condicional respectivamente, ambas dependendo de θ. O logaritmo da função de verossimilhança é dado por ln f (r 1,..., r T θ) = ln f (r 1 θ) T 1 2 ln(2π) 1 2 Mostrar exemplo no R (dados do IBOVESPA): aplicacao_02.r T [ ] ln σt (r σt 2 t µ t) 2. t=2

21 Volatilidade Além dos retornos de um ativo, vamos considerar também: A volatilidade deste ativo; O processo de volatilidade foca na evolução da variância condicional dos retornos através do tempo. Tem papel importante na precificação de opções e na gestão de riscos. Veja e analise os gráficos dos retornos do IBOVESPA mostrados no R. Exercício Analise os seguintes conjuntos de dados e compare com o IBOVESPA: 1. Preços da Petrobas PN (em petr4_sa.csv); e 2. Preços da Vale PNA EDJ N1 (em vale5_sa.csv). Note que só dispomos dos preços a partir de janeiro de Em ambos os casos, utilize os preços de fechamento.