FUNÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO: Chama-se função exponencial qualquer função f: R R dada por uma lei da forma f(x) =a x, em que a é um número real dado, a>0 e a 1. Exemplos: y = 2 x ; f(x)=(1/3) x ; f(x) = (1 + x) 1/x Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL Esse gráfico representa uma função exponencial crescente onde a > 1. Esse gráfico representa uma função exponencial decrescente onde 0 < a < 1. Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes: 1) O gráfico (curva) de uma função exponencial nunca irá interceptar o eixo x, pois esta função não possui raiz. 2) O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos. 3) O domínio natural de cada função exponencial é (-, + ) e a imagem de f(x) = a x é (0, + ), admitindo por suposição que o gráfico de y = a x seja uma curva sem quebras, lacunas ou buracos. A função exponencial natural (e x ) é utilizada para modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Sua base é número e, que é 2,718281828 para nove casas decimais. A função exponencial mais simples é a função. Cada ponto do gráfico é da forma pois a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x.
O domínio da função é e a imagem é o conjunto. PROBLEMAS: 1) Duas populações, designadas por F e G, têm os respectivos crescimentos expressos por f(t) = 36 + t 2 e g(t) = 10(2 t ), sendo t o número não negativo que representa o tempo em meses. Então analise as seguintes afirmações: a) A população G duplica a cada mês. b) g(51) g(50) = g(50) c) Quando t=1 a população F é menor do que a população G. d) Em nenhum tempo a população F será igual à população G. 2) (Uneb-BA) A expressão P(t) = k. 2 0,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, ela possuia no ano 2 000? a) 352 200 b) 401 000 c) 423 000 d) 439 000 e) 441 000 3) (UFPA) Uma reserva florestal possui 10 000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é y(t) = 10 000. 2 -t.
4) Esboce o gráfico de e de, comparando-os com o gráfico de. 5) Esboce o gráfico da função. 6) Resolva as equações exponenciais: a) b) 7) Determine o conjunto solução da desigualdade LOGARITMOS e FUNÇÃO LOGARÍTMICA Do grego: logos (razão) + arithmos (número) Definição Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de a na base b é o expoente a que b deve ser elevado para que o resultado seja a. Em símbolos: Dizemos que b é a base e a é o logaritmando. É importante, contudo, definir algumas restrições à base e ao logaritmando: i) A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas. ii) A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1. iii) O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências negativas. CONSEQUENCIAS - O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0. log a 1 = 0, pois a 0 = 1 - O logaritmo da base, qualquer que seja ela é igual a 1. log a a = 1, pois a 1 = a - A potência de base a e expoente log a b é igual a b. a log a b = b Pois o logaritmo de b na base a é justamente o expoente que se deve dar à base a para que a potência fique igual a b. - Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais. log a b = log a c b = c
EXEMPLOS log 2 4 log 3 81 log 2 1/8 log 7 7 log 5 1 log 1/5 125 8 log 8 5 log 5 (2x+1) = log 5 (x+3) log 16 0,25 log 2 5 = 2,32 log 5 = 0,699 O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é chamado logaritmo natural, já que a função é a inversa da função exponencial natural e x. É comum denotar o logaritmo natural de x por ln x. Assim: ln 1 = 0 ln e = 1 ln 1/e = -1 ln (e²) = 2 ln(e x ) = x ou e ln x = x PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS LOGARITMO DO PRODUTO: Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos dos números. log a (b. c) = log a b + log a c LOGARITMO DO QUOCIENTE: Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. log a b/c = log a b - log a c LOGARITMO DA POTÊNCIA: Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto dos expoentes pelo logaritmo da base da potência. log a b r = r. log a b PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 1) log 2 (3. 4) = log 2 3 + log 2 4 2) log 210 3) log 2 ¾ 4) log 6/5 5) log 2 3 7 6) log 3 1/16 MUDANÇA DE BASE: Converter um logaritmo de certa base para outra base. log a b = log c b/ log c a
FUNÇÃO LOGARÍTMICA Dado um número real a (com 0<a 1), chama-se função logarítmica de base a a função de dada pela lei: f(x) = log a x. Exemplos: y = log 2 x, y = log 10 x e y = log e x. Principais Características Função logarítmica 0 < a < 1 g: lr+ lr Função logarítmica a > 1 g: lr+ lr x loga x x loga x Domínio = lr+ Contradomínio = lr g(x) = 0 <=> x = 1 A função é estritamente decrescente. x = 0 é assíntota vertical Domínio = lr+ Contradomínio = lr g(x) = 0 <=> x = 1 A função é estritamente crescente. x = 0 é assíntota vertical A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa.
O domínio da função ln é e a imagem é o conjunto. O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - aplicação LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON A temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: T = T0 + ke -ct Nesta relação, T é a medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. PROBLEMAS 1) Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100º C, colocada numa sala de temperatura 20º C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. Calcule a temperatura do café 50 minutos depois após a xícara ter sido colocada na sala. Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 2) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é o que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? (Use log 2= 0,30) a) 1 ano e 8 meses b) 2 anos 3 meses c) 2 anos e 6 meses d) 3 anos e 2 meses e) 3 anos e 4 meses 3) A expressão N(t) = 1500. 2 0,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t=0). Após quantas horas da primeira observação haverá 250 000 bactérias nessa cultura? Dados: log 2 = 0,30; log 3 = 0,48. 4) Na escala Richter, a violência de um terremoto de intensidade I é dada por. (a) Determine a intensidade do terremoto de 1908 em San Francisco, que atingiu 8,3 na escala Ritchter.
(b) Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1908 em San Francisco que o terremoto de 1995 em Kobe, no Japão, que atingiu 7,1 na escala Richter. 5) Encontre x tal que: a) b) ln(x+1)=5 c) 5 x = 7 6) Resolva para x. 7) Use as propriedades dos logaritmos para reescrever a expressão em termos de r, s e t onde a) b) c) d) 8) Resolva para x: a) e) ln 4x 3 ln (x²) = ln 2 b) f) 3 x = 2 c) ln ( x²) = 4 g) 5-2x = 3 d) h) =7 9) Esboce o gráfico de y=2. ln x e o gráfico de 10) No sistema cartesiano abaixo, estão representadas as funções y = 3, onde a é número real diferente de zero. Determine o valor de a.