Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 1 Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno 1.4.1 - Ortogonalidade entre vetores 1.3.3 - Ângulo entre vetores 1.4. - Projeção ortogonal A analogia entre elementos do R n e vetores pode ser elevada a um novo nível quando tomamos da geometria dos vetores os conceitos de ortogonalidade, projeção e ângulos para aplicá-los aos elementos do R n. Neste capítulo mostraremos três aplicações que envolvem esses conceitos e o produto interno, visto no capítulo anterior. 1.4.1 - Ortogonalidade entre vetores r Uma outra aplicação do produto interno é descobrir se dois vetores são ou não ortogonais. Duas retas (r e s) são ortogonais ou perpendiculares se elas formarem um ângulo de 90 o entre elas (orto significa reto e gonos vem de ângulo), conforme a figura ao lado. s De modo semelhante, dois elementos do R, por eemplo, são ditos ortogonais se as suas representações vetoriais formarem um ângulo de 90 o entre elas (primeira figura a seguir). O mesmo vale para dois elementos do R 3, que serão ortogonais se fierem um ângulo de 90 o entre eles (segunda figura a seguir). Começando com dois vetores ortogonais e (no R ou no R 3 ), podemos representá-los como na primeira figura a seguir. Na segunda figura a seguir, também representamos a soma + e a subtração. + Pode-se ver da figura que os veotres + e têm o mesmo módulo e, portanto, têm a mesma norma, de modo que + = + = +, + =,. Usando a propriedade P do produto interno, podemos escrever, +, +, +, =, +, +, +,.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 Utiliando a propriedade P3 do produto interno, temos, +, +, +, =,,, +,. De acordo com a propriedade P1 do produto interno, podemos escrever, +, +, =,, +,, =, 4, = 0, = 0, de modo que se e são ortogonais, então o produto escalar entre eles é nulo. Também podemos trilhar o caminho inverso para mostrar que, se,, então e são ortogonais. A demonstração feita vale tanto para vetores em duas dimensões quanto para vetores em três dimensões. Esta ideia pode ser generaliada para o R n e podemos faer a seguinte definição. Definição 1 - Dois elementos e do R n são ortogonais se o produto interno deles for nulo, isto é, se, = 0. Eemplo 1: verifique se os vetores = (1, 3, ) e = (, 4, 5) são ortogonais. Solução:, = (1, 3, ), (, 4, 5) = 1 + 10 = 0, de modo que e são ortogonais. Eemplo : verifique se os vetores A = ( 1,3) e B = (1,4) são ortogonais. Solução: A, B = ( 1, 3), (1, 4) = 1 + 1 = 11 0, de modo que A e B não são ortogonais. Eemplo 3: determine α de modo que os vetores C = (, 3, 1) e D = (1,, α) sejam ortogonais. Solução: para que C e D sejam ortogonais, devemos ter C, D = 0 (, 3, 1), (1,, α) = 0 6 + α = 0 α = 4. 1.4. - Projeção ortogonal Uma aplicação importante do produto escalar é a projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor. Para entendê-la, vamos primeiro analisar dois vetores no plano ou no espaço, que podem ser representados pela figura ao lado caso consideremos o plano que contém os dois vetores. Dados dois vetores, e, entendemos por projeção do vetor sobre o vetor o vetor P que tem a mesma direção de e cujo módulo é o cateto adjacente P ao ângulo (ou seu complemento, conforme o caso) no triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pelo módulo de. A seguir, temos duas figuras que representam dois casos possíveis de projeção, dependendo do ângulo entre e. A projeção P tem a mesma direção que o vetor, de modo que P = α, onde α é algum número real, positivo no primeiro caso ( < 90 o ) e negativo no segundo caso ( > 90 o ). No caso em que = 90 o, a projeção ortogonal é o vetor nulo. P P
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 3 Considerando essas duas figuras, podemos montar um vetor A ortogonal ao vetor. Esse vetor A pode ser visto como sendo tal que P + A =, isto é, o vetor é a soma dele com o vetor P, de modo que P + A = A = P. A P Sendo A ortogonal (perpendicular) ao vetor, então o produto interno entre eles tem que ser nulo:,a = 0. Desenvolvendo esta epressão, obtemos: A P,A = 0, P = 0,,P = 0. Substituindo P pela sua epressão em temros de, ficamos com,,α = 0, α, = 0 α, =, α =,,. Portanto, a projeção do vetor sobre o vetor fica P =,,. Observação: também podemos escrever, =, de modo que a epressão para a projeção de sobre fica P =,. Vale notar que os mesmos resultados aqui obtidos para vetores em duas dimensões são válidos para vetores em três dimensões. Isto é por que, dados dois vetores no espaço, eiste sempre um plano que contenha esses dois vetores (primeira figura a seguir), de modo que o tratamento da ortogonalidade entre eles é idêntico ao que foi feito aqui. Outro fator de importância é que dois vetores não estão restritos a uma região do espaço, como acontece com segmentos de retas orientadas. Portanto, é sempre possível tomar duas representações de dois vetores distintos que tenham em comum o seu ponto de origem (segunda figura a seguir). O conceito de projeção ortogonal pode ser generaliado para elementos do R n, de acordo com a definição a seguir. Definição - A projeção ortogonal de um elemento do R n sobre outro elemento do R n não nulo é dada por P =,,.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 4 Eemplo 1: calcule a projeção P do par ordenado = (3,) sobre o par ordenado = (5, 1) e faça uma representação vetorial de, e P. Solução: P =,, = 5 3 1 13 5 (5, 1) = + ( 1) 6 (5, 1) = 1 (5, 1) = ( ) 5, 1 1. 0 1 3 4 5-1 P Eemplo : calcule a projeção P da terna ordenada = (5,4,) sobre a terna ordenada = (,5,4) e faça uma representação vetorial de, e P. Solução: P =,, = 5 + 4 6 + 4 (, 6, 4) = + 6 6 + 4 4 10 + 4 + 8 3 = (, 6, 4) = (, 6, 4) = 4 + 36 + 16 56 = 4 ( 8 7 (, 6, 4) = 7, 4 7, 16 ) 7 (1, 14, 3, 43,, 8). 4.0 3.0.0 1.0 P 1.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0 1.0.0 3.0 4.0 5.0 Vale lembrar que não é necessário desenhar os diagramas dos elementos do R ou do R 3 para calcular as projeções. O próimo eemplo mostra a projeção de vetores no R 5, onde não há a possibilidade de visualiá-la. Eemplo 3: calcule a projeção P do elemento = ( 1,3,5,4, ) do R 5 sobre o elemento = (, 1,0,,4) do R 5. Solução: P =,, = 3 + 0 + 8 8 5 (, 1, 0,, 4) = 4 + 1 + 0 + 4 + 16 5 (, 1, 0,, 4) = 1 (, 1, 0,, 4). 5 Uma aplicação da projeção de vetores no mercado financeiro é dada no próimo eemplo, onde ela é usada como uma medida de correlação entre duas variáveis. Eemplo 4: Correlação no mercado financeiro. Os dois gráficos a seguir mostram a evolução do índice Dow Jones, que mede o desempenho da Bolsa de Valores de Nova Iorque, e do Ibovespa, que mede o desempenho da Bolsa de Valores de São Paulo, normaliados para que pudessem ser comparados, durante o chamado black monda (segunda feira negra), quando as bolsas mundiais cairam mais de 0 % em um dia. v v 1.9 1.9 1.8 Dow Jones (1987) 1.8 Ibovespa (1987) 1.7 1.7 1.6 1.5 1.4 0 5 10 15 0 5 t 1.6 1.5 1.4 0 5 10 15 0 5 Alguns pesquisadores acreditam que, em situações de crise, os mercados mundiais comportam-se de forma semelhante, que é o que indicam os dois gráficos acima. Uma medida de quanto os mercados estão relacionados é dada pela estatística e tem o nome de correlação. No entanto, podemos utiliar o conceito t
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 5 de projeção de um vetor sobre o outro para medir essa correlação entre os dois índices. Os vetores a seguir armaenam os índices normaliados das duas bolsas de valores citadas entre os dias 13/10/1987 e 17/11/1987, somente nos dias em que ambas as bolsas operaram ( para o Dow Jones e para o Ibovespa): = (1,, 1,19, 1,13, 0,88, 0,93, 1,0, 0,98, 0,98, 0,90, 0,93, 0,93, 0,98, 1,00, 1,01), = (1,3, 1,5, 1,05, 1,07, 0,98, 0,98, 0,89, 0,91, 0,9, 0,97, 0,97, 0,96, 0,93, 0,94). A projeção do vetor sobre o vetor (ambos elementos do R 14 ) fica P 14,38 14,99 1,00, o que indica que ambos os vetores são quase idênticos. Isto mostra que há uma alta correlação entre esses dois índices no intervalo de tempo analisado. 1.4.3 - Ângulo entre vetores Vamos agora utiliar a representação vetorial de elementos do R n, que chamamos, por analogia, de vetores, para introduir a ideia de ângulo entre vetores. Entendemos este como sendo o menor ângulo entre dois vetores, como ilustrado na figura ao lado. O menor ângulo entre os dois vetores ao lado é o ângulo α. Nossa intenção será relacionar esse conceito ao produto interno entre esses dois vetores. Começamos retornando à figura da projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor para ângulos < 90 o (primeira figura) e > 90 o (segunda figura). α β P P Analisando primeiro o caso em que < 90 o, podemos ver que cos = P P = cos. Da epressão para a projeção P de sobre, temos P =,, P =, =,, onde utiliamos a propriedade N3 da norma: α = α. Como é sempre positiva, então podemos escrever,, P = =. Olhando novamente a figura para < 90 o, podemos ver que P tem o mesmo sentido de, de modo que α =, > 0, o que significa que, > 0. Sendo assim,, =, e P =, Comparando agora esta epressão com aquela obtida em termos do cosseno do ângulo entre os vetores, ficamos com cos =, cos =,..
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 6 Analisando, agora, o caso > 90 o (a figura é reproduida ao lado), podemos ver que P é o cateto adjacente ao ângulo ϕ = 180 o, de modo que cos ϕ = P cos (180 o ) = P Utiliando a fórmula cos (a + b) = cos acos b sen asen b, obtemos. ϕ P cos ϕ = cos (180 o ) = cos 180 o cos ( ) + sen 180 o sen ( ) = 1 cos ( ) + 0 sen ( ). Como cos ( ) = cos, então cos ϕ = cos. Também podemos observar da figura que P tem o sentido oposto ao do vetor, de modo que, < 0 e, consequentemente,, =,. Portanto, P = cos e P =,. Igualando as duas equações, temos, novamente, cos =, cos =,. Como esta fórmula é válida tanto para < 90 o quanto para > 90 o, e como para = 90 o esta igualdade também é válida sempre, podemos generaliar essa fórmula para definir o ângulo entre elementos do R n em geral, o que é feito na definição a seguir. Definição 3 - Dois elementos e do R n formam entre si um ângulo dado pela equação cos =,. Observação: podemos, inclusive, utiliar a definição acima para dar uma definição mais geométrica do produto interno entre dois vetores, que poderá ser escrito como, = cos, isto é, ele é o produto das normas (módulos) dos dois vetores pelo cosseno do ângulo entre eles. Eemplo 1: represente vetorialmente os pares ordenados = (3,1) e = ( 3, 1) e calcule o ângulo entre eles. Solução: temos que cos =,. O produto interno fica, = 9 1 = 10. = 3 + 1 = 9 + 1 = 10, = ( 3) + ( 1) = 9 + 1 = 10. 1 a Substituindo esses valores na fórmula para o cosseno do ângulo, temos cos = 10 10 10 = 10 10 = 1. Portanto, = arccos ( 1) = 180 o. b -3 - -1 0 1 3-1
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 7 Eemplo : represente vetorialmente as ternas ordenadas = (1, 1, 4) e = ( 1,, ) e calcule o ângulo entre elas. Solução: temos que cos =,. O produto interno fica, = 1 + + 8 = 9. As normas dos dois vetores são dados por = 1 + 4 + 4 = 9 = 3, = 1 + 1 + 16 = 18 =.3 = 3. Substituindo esses valores na fórmula para o cosseno do ângulo, temos u 4.0 3.0.0 1.0 v Portanto, = arccos cos = 9 3.3 = 1. 1 = 45 o. 1.0 45 o 1.0.0 Eemplo 3: represente vetorialmente os pares ordenados = (,1) e = (1, ) e calcule o ângulo entre eles. Solução: temos que cos =,. 1 u O produto interno fica, = = 0. Como nenhum dos dois vetores é nulo, então não é necessário calcular as suas normas, pois 0 cos = = 0. Então, é o ângulo cujo cosseno é ero, ou seja, = arccos 0 = 90 o. 0 1-1 - v Eemplo 4: Correlação no mercado financeiro. No eemplo 4 da seção anterior, vimos como a projeção de vetores pode ser utiliada como uma medida da correlação entre dois índices financeiros. Neste eemplo, faremos o cálculo do ângulo entre os vetores que representam esses dois índices. Utiliando os vetores (Dow Jones) e (Ibovespa) dados por aquele eemplo, podemos calcular de modo que, 14,38, 3,781 e 3,801, cos 14, 38 3,781 3,801 0,997 e arccos 0,997 4,56 o. Portanto, pode-se ver que os dois vetores estão bem próimos, em termos do ângulo que os diferencia. A Leitura Complementar 1.4.1 tra uma outra aplicação do produto interno, que é a medida da distância entre elementos do R n.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 8 Resumo Ortogonalidade entre dois vetores. Dois elementos e do R n são ortogonais se o produto interno deles for nulo, isto é, se, = 0. Projeção de um vetor sobre outro vetor. A projeção ortogonal de um elemento do R n sobre outro elemento do R n é dada por P =,,. Ângulo entre dois vetores. Dois elementos e do R n forma entre si um ângulo dado pela equação cos =,.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 9 Leitura Complementar 1.4.1 - Distância entre elementos do R n Um conceito associado à norma de um vetor é o da distância entre dois elementos do R n, também chamados de vetores, em analogia com aquele conjunto de segmentos de retas orientadas. Para isso, generaliaremos a noção de distância entre dois pontos no plano. Em um espaço plano, a distância entre dois pontos é o comprimento da linha reta que os conecta. Se conhecermos as posições de dois pontos em um sistema cartesiano de coordenadas, podemos determinar a distância entre eles usando a trigonometria. Para isso, consideremos a figura a seguir, onde representamos um elemento P = ( 1, 1 ) e um elemento Q = (, ), ambos do R. 1 P d 1 Q d 1 1 Desenhando um triângulo retângulo cuja base é dada por 1 e cuja altura é 1, a base e a altura correspondem aos catetos do triângulo retângulo e a distância d entre os dois pontos é a hipotenusa desse triângulo. Usando o Teorema de Pitágoras, d = ( 1 ) + ( 1 ) d = ( 1 ) + ( 1 ). Portanto, temos a seguinte fórmula para a distância entre os dois pontos: d = ( 1 ) + ( 1 ) = P Q,P Q = P Q. Eemplo 1: calcule a distância entre os pares ordenados = (, 1) e = (4,). Solução: = (, 3) e d = ( ) + ( 3) = 4 + 9 = 13 3, 60. O mesmo conceito de distância se aplica a elementos do R 3, como no eemplo a seguir. Eemplo 4: calcule a distância entre as ternas ordenadas = (6, 3, ) e = (, 3, 1). Solução: = (4, 6, 3) e d = 4 + 6 + 3 = 16 + 5 + 9 = 50 7, 07. Observação: note que estamos aproimando os valores das raíes por meio de números decimais, mas sempre escrevendo o sinal (aproimadamente). Os valores reais das distâncias são aqueles em forma de raíes. Os gráficos dos vetores dos eemplos 1 e, indicando as distâncias entre eles, são feitos a seguir. 1 0-1 1 3 4 V d d 1.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0.0 1.0-4.0-3.0-.0-1.0 -.0-1.0-1.0 -.0 1.0.0
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 10 Podemos generaliar esse conceito de distância para elementos do R n, como é feito na definição a seguir. Definição 4 - A distância entre dois elementos e do R n é dada por d =. Essa noção de distância é utiliada no eemplo a seguir no mercado financeiro. Eemplo 3: Correlação no mercado financeiro. No eemplo 4 da seção 1.4., vimos como a projeção de vetores pode ser utiliada como uma medida da correlação entre dois índices financeiros. Neste eemplo, faremos o cálculo da distância entre os vetores que representam esses dois índices. Utiliando os vetores (Dow Jones) e (Ibovespa) dados por aquele eemplo, podemos calcular d = = [ ( 0,11) + ( 0,06) + (0,09) + ( 0,19) + ( 0,05) + (0,04) + (0,09) + +(0,07) + ( 0,01) + ( 0,04) + ( 0,04) + (0,0) + (0,07) + (0,07) ] 1/ 0,0916 0,306, o que é uma distância bastante pequena.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 11 Leitura Complementar 1.4. - Menor distância entre dois vetores Uma aplicação da projeção de um vetor sobre outro é a medida da menor distância entre dois vetores. De acordo com a definição de vetor, eles estão em todo o espaço e por isso não deveria haver distância entre um e outro vetor. No entanto, como a representação de um vetor é uma semireta orientada, então podemos considerar a distância mínima entre dois vetores como sendo a distância mínima de duas semiretas que os representam, sendo que as duas devem partir da mesma origem (primeira figura a seguir). Essa mesma figura mostra diferentes distâncias entre as duas semiretas. Olhando para essas distâncias, podemos concluir que a menor distância entre essas duas semiretas é aquela em que temos um ângulo de 90 o com a semireta que representa o vetor. Na segunda figura, associamos a essa distância a projeção do vetor sobre o vetor quando estes formam um ângulo entre si. P A P Como foi visto no teto principal deste capítulo, a projeção do vetor sobre o vetor é dada pelo vetor P =,. No entanto, este não é o vetor que nos é importante no momento e sim o vetor A ortogonal, a mostrado na terceira figura acima. Esse vetor é tal que P +A =, ou seja, A = P. A distância mínima entre as duas semiretas é o módulo desse vetor, ou seja, d mín = A = P. Essa fórmula também é válida para vetores em três dimensões e pode ser entendida como a definição de distância mínima entre vetores do R n. Eemplo 1: calcule a menor distância entre = (3,) e = (5, 1). Solução: o cálculo da projeção de sobre já foi feito no teto principal do capítulo, mas é repetido aqui: P =,, = 5 3 1 13 5 (5, 1) = + ( 1) 6 (5, 1) = 1 (5, 1) = O vetor A da figura ao lado fica, então, A = P = (3, ) de modo que (1 ) d mín = A = + ( ) ( 5 1, 1 =, 5 ), ( ) 5, 1 ( ) 5 1 = 4 + 5 6 13 4 = 4 =, 55.. 1 0-1 1 3 4 5 P A
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 1 Eemplo : calcule a projeção P da terna ordenada = (5,4,) sobre a terna ordenada = (,5,4) e faça uma representação vetorial de, e P. Solução: o cálculo da projeção de sobre já foi feito no teto principal do capítulo, mas é repetido aqui: P =,, = 5 + 4 6 + 4 (, 6, 4) = + 6 6 + 4 4 10 + 4 + 8 3 = (, 6, 4) = (, 6, 4) = 4 + 36 + 16 56 = 4 ( 8 7 (, 6, 4) = 7, 4 7, 16 ). 7 4.0 3.0.0 O vetor A fica A = P = (, 5, 4) de modo que d mín = A = ( 8 7, 4 7, 16 ) ( 6 = 7 7, 11 7, 1 ) 7 36 49 + 11 49 + 144 301 49 = 49 = 1 301, 48. 7, 1.0.0 3.0 4.0 5.0 1.0 P 1.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 13 Eercícios - Capítulo 1.4 Nível 1 Ortogonalidade Eemplo 1: verfique se os vetores = (, 1, 5) e = ( 1, 3, 1) são ortogonais. Solução:, = (, 1, 5), ( 1, 3, 1) = 3 + 5 = 0, de modo que e são ortogonais. E1) Verifique se os seguintes vetores são ortogonais: a) = (4, 1) e = (1,3). b) A = (,,3) e B = (4,1, ). c) = (1,,3, 1) e = ( 1,3,1, ). Projeção ortogonal Eemplo : calcule a projeção ortogonal do vetor = (,3,4) sobre o vetor = (1, 1,0). Solução: P =,, = 3 + 0 1 + 1 + 0 (1, 1, 0) = 1 (1, 1, 0) = ( 1, 1 ), 0. E) Calcule as projeções ortogonais do vetor = ( 1,,3) sobre os seguintes vetores: a) = (,1,). b) A = ( 1,1,4). c) B = (1,0,0). Ângulos entre vetores Eemplo 3: calcule o ângulo (até uma precisão de 1 o ) entre os vetores = (1,,4) e = (6, 3,). Solução: sabemos que cos =,. O produto escalar é dado por Calculando os módulos, temos, = 1 6 + ( ) ( 3) + 4 = 6 + 6 + 8 = 0. = 1 + ( ) + 4 = 1 + 4 + 16 = 1, = 6 + ( 3) 3 + = 36 + 9 + 4 = 49 = 7. Substituindo esses resultados na fórmula para o ângulo, obtemos cos = 0 7 1 = arccos 0 7 1. O resultado acima é eato. Se quisermos aproimar o resultado para um ângulo com precisão de até 1 o, podemos escrever 51 o. E3) Calcule os ângulos (até uma precisão de 1 o ) entre os seguintes vetores: a) = (, 1,3) e = (3,,1). b) A = (1,1,1) e B = ( 1, 1, 1). c) C = (4,, ) e D = (3,,). d) E = (,0,0) e F = (0,0,3). Observação: use os resultados arccos 0 = 90 o, arccos 11 14 38o, arccos ( 1) = 180 o, arccos 6 10 53 o.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 14 Nível E1) Determine α de modo que os vetores U = (α, α, ) e V = ( 3, 3, 3) sejam perpendiculares (ortogonais) entre si. E) Qual é o objeto geométrico formado por todos os vetores ortogonais a um vetor? E3) (Leitura Complementar 1.4.1) Calcule as distâncias entre seguintes vetores: a) = (, 1,3) e = (3,,1). b) A = (1,1,1) e B = ( 1, 1, 1). c) C = (4,, ) e D = (3,,). d) E = (,0,0) e F = (0,0,3). E4) (Leitura Complementar 1.4.) Calcule as menores distâncias entre vetores do eercício E3. Nível 3 E1) Determine o vetor W de módulo 1 que esteja entre os vetores U = (4,) e V = (,4) e que esteja sobre a bissetri entre esses dois vetores (lembrando que a bissetri entre dois vetores é a linha que divide o ângulo entre eles em dois ângulos idênticos). E) Considere um cubo de lado l. Calcule o ângulo entre um dos lados desse cubo e a diagonal desse cubo. E3) Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. E4) Prove que um vetor que forma os ângulos α, β e γ com os versores (vetores de módulo 1) I = (1,0,0), J = (0,1,0) e K = (0,0,1), respectivamente, são tais que cos α + cos β + cos γ = 1. E5) (Leitura Complementar 1.4.1) Determine um vetor que tenha a mesma direção que o vetor U = (1, 6, 1) e que esteja à mesma distância do vetor V = (1,,3) que o vetor W = ( 3,,1). E6) Calcule os ângulos internos do triângulo cujas arestas são dadas por A = (1, 1), B = (,4) e C = ( 3,). E7) Se U é ortogonal a V e a W, então ele é ortogonal a V + W? Justifique a sua resposta. E8) Se U é orotognal a V + W, então U é ortogonal a V e a W? Justifique a sua resposta. E9) Se U, V = U, W para um determinado vetor U, então V = W? Justifique a sua resposta. E10) Se U + V = 0, então U = V? Justifique a sua resposta. E11) Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas faces. E1) Calcule o ponto médio entre = ( 1,, 1) e = (3, 4, 3). Respostas Nível 1 E1) a) Não são ortogonais. b) São ortogonais. c) Não são ortogonais. ( 4 E) a) P = 3, 3, 4 ) (. b) P A = 5 3 6, 5 6, 10 ). c) P B = ( 1, 0, 0). 3 E3) a) 38 o. b) 180 o. c) 53 o. d) 90 o.
Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 15 Nível E1) α = /3. E) Um plano. E3) a) 6. b) 1. c) 17. d) 13. 786 1 4193 E4) a) 6, 3. b) 1, 15. c), 1. d) 3. 14 3 34 Nível 3 E1) W = (, E) = arccos ). 1 3 55 o. E3) Podemos desenhar um losango como na primeira figura abaio. Definimos, então, os vetores U e V como na segunda figura a seguir, onde U = V, pois o losango tem que ter lados iguais. U + V V V U Uma das diagonais do losango pode ser vista como sendo o vetor U + V e a outra diagonal como o vetor U V (terceira figura acima). O produto interno entre esses dois vetores é U U V U + V, U V = U, U U, V + V, U V, V = U U, V + U, V V = U V = 0, pois U = V. Por isso, as diagonais do losango formam um ângulo de 90 o entre si (são perpendiculares). E4) Dado um vetor V = (v, v, v ), da definição de produto interno em termos dos módulos dos vetores que o compõe V, I e do ângulo entre eles, cosα = V I = v V, J, cosβ = V V J = v V, K e cosβ = V V K = v V. Então, cos α + cos β + cos γ = E5) O vetor pode ser dado por A = U ou por B = 11 19 U. ( ) 11 E6) Os ângulo são α = arccos 5 64 o, β = arccos 6 E7) Sim, pois U, V + W = U, V + U, W = 0 + 0 = 0. ( ) ( ) ( ) v v v + + = v + v + v V V V V ( 15 6 9 ) 57 o e γ = arccos = v + v + v v + v + v = 1. ( 15 6 9 ) 59 o. E8) Não, pois se W = V, então U, V + W = U, 0 = 0, mas W e V não precisam ser ortogonais a U. E9) Não, pois se V W forem ambos ortogonais a U, então U, V = U, W = 0, de modo que podemos ter V e W distintos tais que U, V = U, W. E10) Sim, pois U + V = 0 U + V = 0 U = V. E11) = arccos 6 35 o. E1) (1, 1, ).