MEEC, MAero Controlo por Computador 2014/2015 Primeiro Teste 5 de Novembro de 2014, 20 horas salas QA, Q01 Quotação: P1 a) 2 b) 2 c) 2; P2 a) 3, b) 1, c) 1, P3 4, P4 a) 1 b) 3 c) 1. Duração: 2 horas. Não é permitida a consulta de quaisquer elementos. P1. Considere o sistema discreto cuja função de transferência é G 1 (z) = 0,5z + 1 z 2 0,8z + 0,5 a) Escreva a equação de diferenças correspondente à função de transferência discreta G 1. b) Escreva um modelo de estado correspondente à função de transferência discreta G 1. c) Obtenha um modelo de estado para a associação em série de G 1 e G 2 que se mostra na figura P1-1, em que uma parte do estado do sistema global é o estado do modelo de G 1 que obteve na alínea b). A função de transferência G 2 é G 2 = 3 z 0,7 G1 G2 Fig. P1-1. Associação de dois sistemas em série. 1
x [m] P2. Considere um veículo que se desloca ao longo de uma recta com velocidade constante. No sistema de coordenadas associado à recta, o movimento do veículo é descrito pelo modelo x(t) = x 0 + v 0 t + w(t), (2-1) em que x é a posição do alvo no instante de tempo contínuo t, x 0 é a posição inicial do veículo, v 0 é a velocidade do veículo, e w é um erro de modelação dado por uma variável aleatória de média nula. Pretende-se estimar a posição inicial e a velocidade inicial do veículo a partir da observação da sua posição em alguns instantes. 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t [s] Fig. 2-1. Observations of the vehicle position as a function of time. a) Por forma a estimar x 0 e v 0, são feitas observações da posição x(t i ) do veículo em instantes t i conhecidos (fig. 2.1). Escreva sucessivamente: i. O funcional de mínimos quadrados para a estimativa de x 0 e v 0 ; ii. A equação verificada pelas estimativas em termos dos dados. iii. O valor numérico das estimativas, sabendo que i=1 t i = 55, 2 i=1 t i = 385, i=1 x(t i ) = 45 e x(t i )t i = 289 i=1. b) Calcule a matriz de covariância do erro de estimação e diga qual a estimativa mais precisa. 2
c) Suponha agora que a posição inicial é conhecida exactamente, sendo x 0 = 0, e que pretendemos analisar o método dos mínimos quadrados quando são feitas muitas observações. Para tal, assume-se válida a aproximação da estimativa de mínimos quadrados em termos da esperança matemática, que se encontra na ajuda abaixo. São feitas observações em sequência, tal que t k = kh, em que h é o intervalo de amostragem e assume-se que o ruído é colorido, sendo o modelo das observações x(k) = v 0 kh + e(k) + ce(k 1), em que e é uma sequência de ruído branco. Exprima a estimativa v 0 em termos do valor verdadeiro da velocidade e, se necessário, de outros parâmetros do sistema. Que conclusão tira? Ajuda: Dado o modelo de regressão linear y( k) '( k) o ( k) a estimativa de mínimos quadrados do vector o é aproximada, em termos da esperança matemática, por θ = [E[φ(k)φ (k)]] 1 E[y(k)φ(k)] P3. Considere duas situações bem conhecidas do laboratório e que se representam nas figuras P3-1 e P3-2. S ensor A /D y u Controlador do ângulo do veio do motor C D/A M otor V eio do motor B raço flexível Medida do ângulo do veio do motor A m plificador de potência Fig. P3-1. Situação A. Há um controlador de posição do ângulo do veio do motor. 3
S ensor A /D y u D/A M otor V eio do motor B raço flexível Fig. P3-2. Situação B. Não há um controlador de posição do ângulo do veio do motor. Na situação A, há um controlador da posição angular do veio do motor. A variável manipulada corresponde neste caso à referência de posição do veio do motor. A m plificador de potência Na situação B, pelo contrário, não há controlador da posição angular do veio do motor, e a variável manipulada é directamente a tensão aplicada ao motor através do amplificador de potência. Pretende-se: Indique sucintamente a lista dos principais passos para a identificação de um modelo de cada um dos sistemas. Explique claramente as diferenças entre os passos numa e noutra situação. P4. Considere um robot móvel unidimensional que se desloca ao longo de uma recta graduada, tal como se mostra na figura P4-1. 0 x(kh) R Fig. P4-1. Robot móvel numa dimensão. Seja h o intervalo de amostragem e k o tempo discreto (k = 0, 1, 2, ). No instante kh, o robot está na posição x(kh) medida no referencial da recta. O robot está provido de um actuador tal que a sua velocidade é proporcional ao sinal de comando do actuador (ou seja, despreza-se a dinâmica da velocidade). Sendo u o comando da velocidade do robot (uma variável que toma valores entre 0%, que corresponde a dizer ao robot para estar parado, e 0%, que 4
corresponde a dizer ao robot para andar à velocidade máxima), a velocidade real do robot é dada por αu. Se a velocidade máxima do robot for 1 m/s, como esta velocidade corresponde a u = 0, então α = 0,01. O modelo do movimento do robot é descrito por ou seja Posição no instante (k + 1)h = Posição no instante kh + velocidade h, x((k + 1)h) = x(kh) + αu(kh)h Fazendo um abuso de notação que consiste em designar por x(k) o valor de x no instante kh, esta equação escreve-se de uma maneira mais compacta como A equação (4-1) é o modelo do movimento do robot. R + - e x(k + 1) = x(k) + αhu(k). (4-1) g u Movimento do robot x Fig. P4-2. Controlo realimentado da posição do robot. A figura P4-2 mostra um sistema de controlo por realimentação da posição do robot. Este consta de um bloco que calcula a diferença e(k) entre a referência de posição R (ou seja, a posição para onde queremos que o robot vá), suposta constante, e a posição do robot x(k) no instante discreto k. O sinal e(k), também chamado erro, é depois amplificado pelo ganho g para obter a variável manipulada do robot, u(k). O sistema de controlo de controlo é pois descrito pelas equações e(k) = R x(k), (4-2) u(k) = ge(k). (4-3) Pretende-se: a) A partir das equações (4-1), (4-2) e (4-4), obtenha uma equação de diferenças para o erro e(k). b) Com base na equação de diferenças que obteve em a), diga para que valores do ganho g é que o erro tende para zero quando o tempo aumenta (ou seja, que o robot se aproxima da sua posição de referência). Dê a resposta com base em condições em α e h. 5
c) Diga para que valores do ganho é que o erro tende para zero sem que haja oscilações. 6