5.3 Experimentos fatoriais a dois fatores (Revisando...)

5. Experimentos Fatoriais 5.3 Experimentos fatoriais a dois fatores (Revisando...) Modelo de Efeitos Y ijk = µ+τ i +β j +(τβ) ij +ɛ ijk, i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n Ambos os fatores são supostos fixos e os efeitos de tratamento são definidos como desvios da média tal que a i=1 τ i = 0, b j=1 β j = 0, a i=1 (τβ) ij = 0 e b j=1 (τβ) ij = 0. Como são n replicações para cada combinação dos níveis de tratamento, tem-se N = abn observações. 1

Poderíamos também usar modelos de regressão que são particularmente úteis, quando os fatores são quantitativos. Ambos os fatores são de interesse tal que estamos interessados em testar H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ a = 0 versus pelo menos um deles é não-nulo; H 0 : β 1 = β 2 =... = β b = 0 versus pelo menos um deles é não-nulo e H 0 : (τβ) ij = 0, deles é não-nulo. i, j versus pelo menos um 2

Análise Estatística do Experimento Fatorial a b: dois fatores com a e b níveis, respectivamente. Agora, a soma de quadrados total, SQ T ot = a b n i=1 j=1 k=1 (Y ijk Ȳ... ) 2, é decomposta em SQ A }{{} a 1 + SQ B }{{} b 1 + SQ AB }{{} (a 1)(b 1) + SQ Res }{{} ab(n 1) A decomposição é construída somando-se e subtraindo-se as seguintes médias: ±Ȳ i.., ±Ȳ.j., ±Ȳ ij. e ±Ȳ... 3

SQ A = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ i.. ȳ... ) 2 SQ B = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ.j. ȳ... ) 2 SQ AB = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 SQ Res = a b n i=1 j=1 k=1 (y ijk ȳ ij. ) 2 4

Supondo o modelo EF a dois fatores, podemos verificar que E[QM A ] = σ 2 + bn a 1 a τi 2 i=1 E[QM B ] = σ 2 + an b 1 b βj 2 j=1 E[QM AB ] = σ 2 + n (a 1)(b 1) a b i=1 j=1 (τβ) 2 ij e E[QM Res ] = σ 2 5

Fórmulas de cálculo SQ T ot = i j k y 2 ijk y2... abn SQ A = 1 bn SQ B = 1 an ai=1 y 2 i.. y2... abn bj=1 y 2.j. y2... abn SQ SubT otals = 1 n ai=1 bj=1 y 2 ij. y2... abn Esta soma também contém SQ A e SQ B. Desse modo, SQ AB = SQ SubT otals SQ A SQ B. SQ Res = SQ T ot SQ A SQ B SQ AB = SQ T ot SQ SubT otals 7

5.4 Modelo Fatorial: o caso geral. Os resultados para o experimento a dois fatores podem ser estendidos para o caso geral em que existem r fatores (r 2) de interesse com a 1 níveis para o primeiro fator, a 2, para o segundo,..., a r, para o r-ésimo fator. Novamente, observe que deve-se ter pelo menos duas replicações para cada cela n 2 para determinar a soma de quadrados do erro, se todas as interações são incluídas no modelo. Se todos os fatores são fixos, podemos formular e testar hipóteses sobre os efeitos principais e de interação usando ANOVA. Se existem n replicações para cada combinação possível destes r fatores, segue que o total de observações será dado por N = n r f=1 a f, com a f representando o número de níveis do f-ésimo fator. 8

Estatísticas de teste podem ser construídas dividindo-se os quadrados médios correspondentes com o quadrado médio dos resíduos. Por exemplo, considere o modelo de análise de variância a três fatores. Y ijkl = µ + τ i + β j + γ k + (τβ) ij + (τγ) ik + (βγ) jk + (τβγ) ijk + ɛ ijkl i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., c l = 1, 2,..., n ɛ ijkl NID(0, σ 2 ). Supondo que os fatores A, B e C são fixos, tem-se a seguinte tabela ANOVA. 9

Aqui, a decomposição é construída somandose e subtraindo-se as seguintes médias: ±Ȳ i..., ±Ȳ.j.. e ±Ȳ..k. duas vezes cada uma, ±Ȳ ij.., ±Ȳ i.k., ±Ȳ.jk., ±Ȳ ijk. e ±Ȳ... três vezes. SQ T ot = i j k l y 2 ijkl y2... abcn 11

SQ A = 1 bcn i y 2 i... y2... abcn SQ B = 1 acn j y 2.j.. y2... abcn SQ C = 1 abn k y 2..k. y2... abcn 12

SQ AB = 1 cn i j y 2 ij.. y2... abcn SQ A SQ B = SQ SubT otais(ab) SQ A SQ B SQ AC = 1 bn i k y 2 i.k. y2... abcn SQ A SQ C = SQ SubT otais(ac) SQ A SQ C SQ BC = 1 an j k y 2.jk. y2... abcn SQ B SQ C = SQ SubT otais(bc) SQ B SQ C 13

SQ ABC = 1 n SQ BC i j k y 2 ijk. y2... abcn SQ A SQ B SQ C SQ AB SQ AC = SQ SubT otais(abc) SQ A SQ B SQ C SQ AB SQ AC SQ BC Exemplo 5.3: Um engarrafador de refrigerantes está interessado em obter alturas de preenchimento mais uniformes nas garrafas produzidas pela sua fábrica. Teoricamente, a máquina preenchedora enche cada garrafa até o alvo de altura correto, mas na prática, existe uma variação em torno deste alvo, e o engarrafador gostaria de entender melhor a fonte desta variação e, se possível, reduzi-la. No processo de preenchimento pode-se controlar três variáveis: % de carbonatação (A), pressão de operação da máquina (B) e garrafas produzidas por minuto (velocidade da linha de produção)(c). A velocidade e a pressão são fáceis de controlar, mas a porcentagem de carbonatação é mais difícil de ser controlada durante o processo de fabricação, pois ela varia com a temperatura. Porém, para propósitos de um experimento, esta porcentagem será controlada em 10, 12 e 14%. Dois níveis de pressão são escolhidos: 25 psi e 30 psi e, também duas velocidades de produção são usadas no experimento, a saber, 200 e 250 bpm. Duas replicações de cada combinação dos níveis dos fatores serão rodadas tal que ao todo o número de observações é N = 2 3 2 2 = 24. Os dados resultantes deste experimento estão na tabela a seguir. 14

% de carbonat. 25 psi 30 psi 200 250 200 250 10-3 -1-1 1-1 0 0 1 12 0 2 2 6 1 1 3 5 14 5 7 7 10 4 6 9 11 Usando um nível de significância de 5%, teste os efeitos principais e de interação do modelo fatorial completo. Os dados foram salvos no arquivo garrafa.txt. dados=read.table( c://flavia//dox//garrafa.txt,header=t) fit=aov(h as.factor(pressao)*as.factor(vel)*as.factor(carb),data=dados) summary(fit) FV Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) pressão 1 45.38 45.38 64.059 3.74e-06 *** velocidade 1 22.04 22.04 31.118 0.00012 *** carbonatação 2 252.75 126.37 178.412 1.19e-09 *** pressão:vel. 1 1.04 1.04 1.471 0.24859 vel.:carb. 2 0.58 0.29 0.412 0.67149 pressão:carb. 2 5.25 2.63 3.706 0.05581. pressão:vel.:carb. 2 1.08 0.54 0.765 0.48687 Residuals 12 8.50 0.71 Total 23 336.625 Ao nível de significância de 5%, apenas os efeitos principais são significativos. A figura a seguir ilustra os efeitos estimados: a primeira ilustra o efeito devido à porcentagem de carbonatação, a segunda o efeito devido à pressão e, a terceira o efeito devido à velocidade da linha de produção. O quarto gráfico ilustra a interação entre % e pressão indicando que é razoável a suposição de paralelismo. 15

Ajustando o modelo reduzido, considerando apenas os efeitos principais, obtemos fv Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) carb 2 252.75 126.38 145.89 2.95e-12 *** pressao 1 45.37 45.37 52.38 7.18e-07 *** vel 1 22.04 22.04 25.45 7.20e-05 *** Residuals 19 16.46 0.87 Os gráficos a seguir mostram a análise dos resíduos para o modelo reduzido, indicando que suposições e modelo são adequados, pois nada de anormal se verifica nesses gráficos. 18

5.5 Ajuste de Superfícies e Curvas de Resposta A ANOVA trata todos os fatores como se fossem qualitativos, mesmo quando eles não são. Muitos experimentos envolvem pelo menos um fator quantitativo tal que o experimentador pode ter uma equação que relaciona a resposta ao fator. Esta equação pode ser usada para fins de interpolação, isto é, para prever a resposta para níveis intermediários do fator, dentro do campo de variação dos níveis usados no experimento. Quando pelo menos dois fatores são quantitativos, podemos ajustar uma superfície de resposta para prever y dado uma combinação dos níveis dos fatores. 20

Métodos de regressão linear são usados para ajustar tais superfícies aos dados experimentais. Exemplo: Voltemos ao experimento para investigar efeito de temperatura e material sobre a vida das baterias. O fator temperatura é quantitativo e o fator material é qualitativo. Existem 3 níveis de temperatura. Podemos calcular um efeito linear e um efeito quadrático da temperatura para estudar como a temperatura afeta a vida da bateria. Ajustando uma ANOVA ao modelo fatorial completo vimos que todos os efeitos são significativos. 21

Agora, vamos rodar um modelo de regressão para explicar a vida da bateria em função da temperatura e material usando valores codificados para os níveis dos fatores da seguinte forma: temperatura 15 70 125 A -1 0 1 Observe que os valores originais de temperatura podem ser resgatados usando-se temp = 70 + 55A. material i ii iii B1 1 0-1 B2 0 1-1 Como desejamos estudar também o efeito quadrático da temperatura, o modelo a ser ajustado é Y = β 0 + β 1 A + β 11 A 2 + β 3 B1 + β 4 B2 +β 13 A B1 + β 14 A B2 + β 11.3 (A 2 ) B1 +β 11.4 (A 2 ) B2 + ɛ 22

Observe que devido à codificação, após o ajuste do modelo, teremos as seguintes equações de previsão. Material i: ŷ = (ˆβ 0 + ˆβ 3 ) + (ˆβ 1 + ˆβ 13 )A + (ˆβ 11 + ˆβ 11.3 )A 2 Material ii: ŷ = (ˆβ 0 + ˆβ 4 ) + (ˆβ 1 + ˆβ 14 )A + (ˆβ 11 + ˆβ 11.4 )A 2 Material iii: ŷ = (ˆβ 0 ˆβ 3 ˆβ 4 ) + (ˆβ 1 ˆβ 13 ˆβ 14 )A + (ˆβ 11 ˆβ 11.3 ˆβ 11.4 )A 2 Os dados estão no arquivo bateria2.txt e os nomes das variáveis B1 e B2 são m1 e m2, respectivamente e A2 representa A 2. 23

dados=read.table( c://flavia//dox//bateria2.txt,header=t) fitreg=lm(vida A+A2+m1+m2+A*m1+A*m2+A2*m1+A2*m2, data=dados) summary(fitreg) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -60.750-14.625 1.375 17.938 45.250 Coefficients Estimate Std. Error t value P r(> t ) (Intercept) 107.583 7.501 14.342 3.79e-14 *** A -40.333 5.304-7.604 3.53e-08 *** A2-3.083 9.187-0.336 0.73975 m1-50.333 10.608-4.745 6.05e-05 *** m2 12.167 10.608 1.147 0.26148 A:m1 1.708 7.501 0.228 0.82156 A:m2-12.792 7.501-1.705 0.09962. A2:m1 41.958 12.992 3.229 0.00325 ** A2:m2-14.042 12.992-1.081 0.28936 Residual standard error: 25.98 on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7652, Adjusted R-squared: 0.6956 F-statistic: 11 on 8 and 27 DF, p-value: 9.426e-07 A seguir apresentam-se os gráficos de diagnósticos dos resíduos indicando que as suposições de normalidade, variância constante e modelo são adequadas. 24

Assim, voltando aos níveis reais dos fatores, temos, Material i: ŷ = 169.38 2.49 temp + 0.013 temp 2 Material ii: ŷ = 159.62 0.18 temp + 0.42 temp 2 Material iii: ŷ = 132.64 + 0.89 temp 0.43 temp 2 A figura a seguir mostra o comportamento da previsão de vida da bateria em função da temperatura, segundo o tipo de material. Este gráfico é chamado curvas de resposta. O segundo gráfico foi produzido ao ajustar o modelo ANOVA a dois fatores para ilustrar a interação entre temperatura e material. Compare os dois! 26

Se vários fatores no modelo fatorial são quantitativos, uma superfície de resposta pode ser usada para modelar a relação entre y e os fatores de planejamento. Além disso, os efeitos dos fatores quantitativos podem ser representados por um polinômio de primeiro grau dos efeitos. As interações dos fatores quantitativos podem ser particionadas em componentes de um grau de liberdade. Exemplo 5.5: A vida efetiva de uma ferramenta de corte instalada numa máquina parece ser influenciada pela velocidade do corte e pelo ângulo da ferramenta. Três níveis de velocidade e três ângulos são selecionados e um modelo fatorial 3 2 é conduzido com duas replicações. Os dados (codificados) estão apresentados na tabela a seguir e foram salvos no arquivo tesoura.txt. 28

dados=read.table( c://flavia//dox//tesoura.txt,header=t) fit=aov(vida as.factor(a)*as.factor(vel), data=dados) summary(fit) FV Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) ang 2 24.33 12.167 8.423 0.00868 ** vel 2 25.33 12.667 8.769 0.00770 ** vel:ang 4 61.33 15.333 10.615 0.00184 ** Residuals 9 13.00 1.444 A seguir, apresentamos os gráficos diagnósticos do modelo, a partir dos quais podemos concluir que as suposições e o modelo são adequados. 30

Como ambos os fatores investigados são importantes para explicar a vida da ferramenta e além disso, são quantitativos, podemos ajustar um modelo de regressão e depois construir o gráfico da superfície de resposta em função dos níveis dos fatores. Ajustaremos aqui um modelo de regressão incluindo os efeitos quadráticos tanto na variável velocidade, como na variável ângulo. A codificação usada aqui será x 1 = (vel 150)/25 e x 2 = (ang 20)/5 tal que ambas assumirão os valores -1, 0 e 1 na ordem crescente de magnitude dos valores reais dos níveis. Ajustando-se o modelo de segunda ordem y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 12 x1x2 + β 11 x 2 1 + β 22x 2 2 + ɛ verificamos que o mesmo produz resultados pobres, parecendo não ajustar-se bem aos dados. 32

Multiple R-squared: 0.4651, Adjusted R-squared: 0.2422 F-statistic: 2.086 on 5 and 1 2 DF, p-value: 0.1377. Parte da razão do ajuste pobre do modelo de segunda-ordem aos dados é que somente 4 graus de liberdade para interação são contados no modelo. Também, para o termo β 12 x 1 x 2 existem três outros termos que poderiam ser ajustados, a saber, β 11.2 x 2 1 x 2, β 1.22 x 1 x 2 2 e β 11.22x 2 1 x2 2. 33

Resultados do ajuste do modelo incluindo os demais termos de interação. fit RC=lm(vida A+B+A*B+A2+B2+A2*B+A*B2+A2*B2,data=dados) summary(fit RC) Coefficients Estimate Std. Error t value P r(> t ) (Intercept) 2.000e+00 8.498e-01 2.353 0.043065 * A 3.500e+00 6.009e-01 5.824 0.000252 *** B 2.000e+00 6.009e-01 3.328 0.008824 ** A2-1.077e-15 1.041e+00 0.000 1.000000 B2 1.000e+00 1.041e+00 0.961 0.361768 A:B -1.000e+00 4.249e-01-2.353 0.043065 * B:A2-1.000e+00 7.360e-01-1.359 0.207306 A:B2-4.000e+00 7.360e-01-5.435 0.000414 *** A2:B2-3.000e+00 1.275e+00-2.353 0.043065 * Residual standard error: 1.202 on 9 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8952, Adjusted R-squared: 0.802 F-statistic: 9.606 on 8 and 9 DF, p-value: 0.001337. Obs.: Estes resultados não são os mesmos que aparecem no e- xemplo 5.5 da sétima edição. Porém, estão de acordo com o ajuste do mesmo exemplo da quinta edição. Aparentemente, deve ser um erro de edição. As figuras a seguir mostram os gráficos de superfície de resposta ajustada (na escala original dos fatores) e as curvas de resposta constante. 34

5.6 Blocagem num Experimento Fatorial Até aqui consideramos Experimentos Fatoriais no contexto de um experimento completamente aleatorizado. Algumas vezes, não é possível, ou prático, aleatorizar completamente o experimento. A presença de um fator de ruído pode exigir que o experimento seja realizado em blocos. Considere um experimento fatorial a 2 fatores (EF2) com n replicações, a níveis do fator A e b níveis do fator B. Modelo de efeitos Y ijk = µ+τ i +β j +(τβ) ij +ɛ ijk, i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n 36

Suponha que para rodar este experimento, uma particular matéria-prima seja requerida. Esta matéria-prima está disponível em lotes que não são suficientemente grandes para permitir que todas as abn combinações de tratamento e suas replicações sejam observadas num mesmo lote. No entanto, se cada lote é grande o suficiente parar observar as ab combinações de tratamento, então, um plano alternativo é rodar cada conjunto de replicações usando um lote separado de matéria-prima. Consequentemente, os lotes representam uma restrição sobre a aleatorização. 37

O modelo de efeitos é y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + η k + ɛ ijk i = 1, 2,..., a, j = 1, 2,..., b e k = 1, 2,..., n. η k é o efeito do k-ésimo bloco. A ordem na qual os tratamentos são observados é aleatória em cada bloco. A tabela a seguir apresenta a ANOVA deste modelo. 38

A decomposição da soma de quadrados total é construída adicionado-se e subtraindo-se as seguintes médias: ±Ȳ i.., ±Ȳ.j., ±Ȳ ij., ±Ȳ..k e ±Ȳ... duas vezes tal que a soma de quadrados devida aos blocos é dada por SQ Bl = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ..k ȳ... ) 2 = ab n k=1 (ȳ..k ȳ... ) 2 = 1 ab n k=1 y 2..k y2... N N = abn. 40

Exemplo 5.6 Um engenheiro está estudando métodos para melhorar a habilidade em detectar alvos sobre um alcance de radar. Ele considera dois fatores importantes: quantidade de ruído de fundo e tipo de filtro. Ele conduziu um experimento usando 3 níveis de ruído (baixo, médio e alto), dois tipos de filtro (F1 e F2) e 4 operadores (O1, O2, O3, O4). Os dados, dispostos na tabela a seguir, foram salvos no arquivo radar.txt. ruído F1O1 F2O1 F1O2 F2O2 F1O3 F2O3 F1O4 F2O4 baixo 90 86 96 84 100 92 92 81 médio 102 87 106 90 105 97 96 80 alto 114 93 112 91 108 95 98 83 41

dados=read.table( c://flavia//dox//radar.txt,header=t) names(dados) [1] alcance ruido filtro op fit=aov(alcance ruido*filtro+op,data=dados) summary(fit) FV Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) ruido 2 335.6 167.8 15.132 0.000253 *** filtro 1 1066.7 1066.7 96.192 6.45e-08 *** ruido:filtro 2 77.1 38.5 3.476 0.057507. op 3 402.2 134.1 Residuals 15 166.3 11.1 Lembre que blocos (operadores) representam uma restrição em aleatorização e a sua inclusão no modelo devese à possível redução na variabilidade do erro experimental. Testes sobre o efeito de blocos não são de interesse. O R calcula a razão F e P -valor para este fator de ruído, mas estes podem não ser apropriados devido à restrição em aleatorização. De qualquer modo, podemos perceber que neste exemplo, a blocagem, de fato, é útil na redução de variabilidade. 42

Observação: O modelo assume que a interação entre blocos e tratamentos é desprezível. Isto foi suposto previamente no capítulo 4 que tratou de experimentos em blocos aleatorizados. Se tais interações existem, elas não podem ser separadas do termo de erro. De fato, o termo de erro consistirá das interações (τ η) s, (βη) s e (τβη) s. No exemplo anterior, a aleatorização foi restrita a cada operador. Na prática, uma variedade de fenômenos pode levar a restrições de aleatorização, tais como tempo e lote de matéria-prima. Por exemplo, se não pudéssemos rodar o experimento fatorial completo em um dia, então uma possibilidade seria rodar replicações completas do mesmo em dias diferentes. Neste caso, cada dia seria um bloco. 43

No caso de duas restrições em aleatorização, cada uma com p níveis, se o número de combinações de tratamento no EFk é igual a p 2, então o EF pode ser conduzido usando-se um Quadrado Latino p p. Por exemplo, considere uma modificação no experimento do radar. Os fatores são ruído (3 níveis) e filtro (2 níveis), resultando em 6 combinações. Operadores são considerados blocos. Suponha agora que há uma segunda restrição em aleatorização, pois apenas 6 observações podem ser obtidas a cada dia. Assim, considerando-se seis operadores e seis dias, o experimento poderá ser conduzido usando-se um quadrado latino 6 6 como mostrado na tabela a seguir. 44

O modelo de efeitos para este plano é y ijkl = µ + α i + τ j + β k + (τβ) jk + θ l + ɛ ijkl i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, j = 1, 2, 3, k = 1, 2, l = 1, 2, 3, 4, 5, 6 com τ j e β k os efeitos de ruído de fundo e filtro, respectivamente, e α i e θ l as restrições em aleatorização de dias e operadores. A tabela anova resultante do ajuste deste modelo é dada a seguir. 46

Exercício 4.28: A produção em um processo químico foi medida usando-se cinco lotes de matéria-prima, cinco concentrações de ácido, cinco tempos de repouso (A,B,C,D,E) e cinco concentrações de catalisação (α, β, γ, δ, ɛ). O quadrado grego-latino a seguir foi usado. Analise os dados deste experimento. Use um nível de significância de 5% e tire suas conclusões. 48

dados=read.table( e://dox//exer428.txt,header=t) fit=aov(prod acido+lote+tempo+conc,data=dados) summary(fit) fv Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) acido 4 24.4 6.10 1.0427 0.442543 lote 4 10.0 2.50 0.4274 0.785447 tempo 4 342.8 85.70 14.6496 0.000941 *** conc 4 12.0 3.00 0.5128 0.728900 Residuals 8 46.8 5.85 Logo, concluímos que os níveis do fator tempo de repouso afetam a resposta média. O próximo passo aqui seria realizar comparações múltiplas entre as diferentes médias para cada nível do fator tempo. A seguir, os gráficos de resíduos indicam a adequação do modelo ajustado. 49

Exercício 4.29 Suponha que no exercício 4.21 o engenheiro suspeita que as estações de trabalho usadas pelos quatro operadores podem representar uma fonte adicional de variação. Um quarto fator, estação de trabalho (α, β, γ, δ) pode ser introduzido e outro experimento é conduzido, produzindo o quadrado grego-latino a seguir. Analise os dados deste experimento (use α = 0.05) e tire suas conclusões. 51

dados=read.table( e://dox//exer429.txt,header=t) fit=aov(y ordem+operador+latina+grega,data=dados) summary(fit) fv Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) ordem 3 0.5 0.167 0.0182 0.9960 operador 3 19.0 6.333 0.6909 0.6157 latina 3 95.5 31.833 3.4727 0.1669 grega 3 7.5 2.500 0.2727 0.8429 Residuals 3 27.5 9.167 Logo, concluímos que o fator de interesse (letra latina) não afeta a resposta média. A seguir, os gráficos de resíduos indicam a adequação do modelo ajustado. Lembre-se que são poucos dados. 52