3a Olimpı ada Vic osense de Matema tica

3a Olimpı ada Vic osense de Matema tica Gabarito do Banco de Questo es OLIMPÍADA LIM IMPÍADA VIÇ VIÇOSENSE SE DE MAT MA MATEMÁTICA TE a Nı vel 1-1 Fase 1. Soluc a o: Como a espessura de cada folha e 0, 1 mm, a altura de um pacote com 500 folhas e 500 0, 1 mm = 50 mm. Logo, a altura de cada pilha sera de 60 50 mm = 3.000 mm = 3 m. 1. Soluc a o: O nu mero total de alunos nos dois o nibus e 5 + 31 = 88 e 88 = 44. Para que cada o nibus tenha o mesmo nu mero de alunos, 5 44 = 13 alunos devem passar do primeiro para o segundo o nibus. 3. Soluc a o: Na figura abaixo retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balanc a continua equilibrada e restam tre s saquinhos no prato a esquerda e seis bolas no prato da direita. Logo, o peso de tre s saquinhos e igual ao peso de seis bolas. Daı concluı mos que o peso de um saquinho e igual ao peso de duas bolas. 4. Soluc a o: Na expressa o (13 5) (53 + ) 5 fazendo a troca inversa, ou seja, trocando todos os algarismos 5 por 3, todos os algarismos 3 por 5, o sinal de pelo sinal de + e o sinal de + pelo de obtemos: (15 3) + (35 ) 3 = 5 + 0 3 = 5 3 = 5. 5. Soluc a o: Com as figuras recortadas podemos reconstruir o hexa gono da seguinte forma: Logo, o perı metro do hexa gono que Larissa recortou e : 5 + 3 + 10 + 5 + 3 + 10 + 3 = 39 cm. 1

6. Solução: Em 1 ano há 365 dias que corresponde a 5 semanas e 1 dia. Pelo enunciado, a cada semana Ricardo toma 3 comprimidos. Logo, em um ano ele poderá tomar no máximo 5 3 + 1 = 15 comprimidos. Como cada caixa possui 0 comprimidos, então, em 1 ano, Ricardo precisará de 15 =, 85 caixas. 0 Assim, Ricardo deverá comprar pelo menos 8 caixas num ano.. Solução: O refresco é composto por 0% de um litro, ou seja, 0, litros de suco e por 80% de um litro, ou seja, 0,8 litros de água. Logo, a mistura final tem 0, litros de suco e 3 + 0, 8 = 3, 8 litros de água. A porcentagem de suco em relação ao volume da mistura é, então, volume de suco volume total volume do suco volume total = 0, 4 = 40 = 0, 05 = 5%. 8. Solução: O número total de alunos dessa classe é + 18 = 40, dos quais 60% foram prestar trabalho comunitário, isto é, 0, 6 40 = 4. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando todos os alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de duas vagas para as alunas. 9. Solução: Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará 15 8 = 10 metros. 10. Solução: Sendo x metros o comprimento da pista, Jussara já percorreu x + 00 metros e 3 ainda faltam percorrer mais 300 metros para que ela chegue a metade. Assim, Logo, a pista tem 3km. x 3 + 00 + 300 = x 500 = x x 3 = x 6 x = 3.000. 11. Solução: Se a florista Patrícia vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar um total de 49 1, 5 = R$1, 5. O peso das flores depois da desidratação é ( ) 1 5 49 = 49 = 14 kg. Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura um total de 14 3, 5 = R$ 45, 50.s. Assim, Patrícia ganha mais no processo sem a desidratação. 1. Solução: Dalila pode montar as fileiras com 5 morangos e nenhuma jabuticaba; 4 morangos e 1 jabuticaba; 3 morangos e jabuticabas e morangos e 3 jabuticabas.

No primeiro caso, há 1 modo de montar a fileira e no segundo há 5 casos. Sendo M morangos e J jabuticaba, no terceiro caso temos as seguintes possibilidades para fileira: MJMJM, MJMMJ, MMJMJ, JMMJM, JMJMM, JMMMJ e JMJMJ, ou seja, de maneiras. Logo, Dalila pode fazer 1 + 5 + = 13 fileiras diferentes. 13. Solução: (a) Como o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores das frações é 30 podemos escrever: (b) 4 3 = 40 30 Ordenando, obtemos: Assim, concluímos que: ( 1 1 ) ( 1 1 3 ) 4 5 = 4 30, 4 6 = 0 30, 3 5 = 18 30, 6 5 = 36 30 1 30 < 18 30 < 0 30 < 4 30 < 36 30 < 40 30. ( 5 < 3 5 < 4 6 < 4 5 < 6 5 < 4 3. ) ( ) 1 1 4 1 1 5 = 1 3 3 4 4 5 = 1 5. e 5 = 1 30. 14. Solução: Pensando a partir do final, vemos que, se o vidro está cheio depois de 60 segundos, ele tinha de estar pela metade um segundo antes. Logo, o vidro estava pela metade aos 59 segundos. 15. Solução: Sejam p a quantidade de pregos, q a de parafusos e r a de ganchos, então: { p + 3q + r = 4 p + 5q + 4r = 44 Somando as duas equações, temos 3p + 8q + 6r = 68. E a compra da Matheus pesou 1p + 3q + 4r = 4(3p + 8q + 6r) = 4 68 = g. 16. Solução: (a) O maior produto é 30, pois ao examinar os produtos dos números naturais cuja soma é 11 obtemos: 10 + 1 = 11 e 10 1 = 10; 9 + 9 = 11 e 9 = 18; 8 + 3 = 11 e 8 3 = 4 + 4 = 11 e 4 = 8; 6 + 5 = 11 e 6 5 = 30. 3

(b) Se m é um número natural tal que 3 m = 81 = 3 4, então m = 4. Logo, m 3 = 4 3 = 4 4 4 = 64. (c) Somando 3 a todos os membros da expressão dada obtemos a 1 + 3 = b + + 3 = c 3 + 3 = d + 4 + 3 a + = b + 5 = c = d +. Portanto, c é o maior valor. 1. Solução: De acordo com a figura abaixo: o quarto é quadrado, com uma área de 16 m, suas dimensões são 4 m 4 m. Da mesma forma, as dimensões do quintal quadrado são m m. A sala tem uma área de 4 m e uma dimensão igual à do quarto; portanto, as dimensões da sala são 6 m 4 m. Assim, as dimensões totais da casa são 10 6 m e a área total da casa é de 60 m. Logo, a cozinha tem uma área de 60 16 4 4 = 16 m. 18. Solução: A tabela abaixo representa todas as possibilidades para que o número de cabeças seja 5 (lembramos que banquinhos não têm cabeça e há pelo menos uma pessoa e uma vaca). Cabeça de Cabeça de Pés Pés de banquinhos vacas pessoas (vacas e pessoas) ( - pés, vacas e pessoas) 1 4 1 10 3 14 8 3 16 6 4 1 18 4 A última coluna representa as possibilidades para o número de pés de banquinhos que há no curral. Como cada banquinho tem 3 pés, o número total de pés de banquinhos deve ser um múltiplo de 3. O único múltiplo de 3 que aparece na última coluna é 6, correspondente a banquinhos. Logo no curral havia 3 vacas, pessoas e banquinhos. 19. Solução: Da sala, 3 4 56 = 4 alunos gostam de Matemática e 5 56 = 40 alunos gostam de Português. Como são, no total, 56 alunos, cada um gostando de pelo menos uma das matérias, 4 + 40 56 = 6 gostam de ambas matérias. 4

0. Solução: Poderíamos pensar que, como a lagarta consegue subir no total 1 cm por dia, levaria 5 dias. Entretanto, cinco dias antes, no septuagésimo dia, ela terá subido 0 cm e o esforço do próximo dia fará com que ela suba os 5 cm finais. Logo, a resposta é a lagarta estará no topo do mastro ao final do 1 o dia (antes do inicio da 1 a noite). 1. Solução: Das 1horas às 1h50min. há 50 60 = 3.000 segundos. Sabemos que no instante zero, às 1 horas, todas as luzes estão acesas. No caso das luzes azuis sabemos que: 140 segundos depois estarão apagadas, 80 = 140 segundos depois estarão acesas, 40 = 3 140 segundos depois estarão apagadas, 560 = 4 140 segundos depois estarão apagadas. Logo, nos instantes múltiplos ímpares de 140 serão apagadas e nos instantes múltiplos pares de 140 serão acesas. Como 1 {{ 140 < 3.000 < {{ 140, será apagada será acesa concluímos que às 1h50 as luzes azuis estarão apagadas. De maneira similar, como 83 {{ 36 < 3.000 < 84 {{ 36, será apagada será acesa concluímos que às 1h50 as luzes verdes estarão apagadas. Já no caso da amarelas temos: e portanto estarão acesas às 1h50. 66 45 {{ será acesa < 3.000 < 6 45 {{ será apagada. Solução: O número 9 3 é divisível por, pois 9 3 = 8 3. 9 3 não é divisível por 5, pois 5 não é um fator de 9 3. 9 3 é divisível por 8, pois pois 9 3 = {{ 3 6 3. =8 9 3 não é divisível por 9, pois 9 não é um fator de 9 3. 9 3 é divisível por 6, pois pois 9 3 = {{ 3 8. =6 5

3. Solução:) Juntando os quatro trapézios, formamos um quadrado de área.500 cm. Como o buraco quadrado no meio tem área 30 30 = 900 cm, a área de cada um dos 4 trapézios, em cm, é (.500 900) 4 = 1.600 4 = 400. 4. Solução: Seja T a quantidade total de dinheiro no jogo. Assim, no início, os jogadores possuíam: 18 T, Guilherme 6 18 T e Henrique 5 18 T. E, no final, eles possuíam: 6 15 T, Guilherme 5 15 T e Henrique 4 15 T. Para comparar essas frações, usamos o denominador comum de 18 e 15, a saber, 90. Desse modo, no início: E, no final: 18 T = 35 90 T, Guilherme 6 18 T = 30 90 T e Henrique 5 18 T = 5 90 T. 6 15 T = 36 90 T, Guilherme 5 15 T = 30 90 T e Henrique 4 15 T = 4 90 T. Logo, foi quem ganhou um total de 1 T, que corresponde a 1 reais, de modo que 90 1 T = 1, ou seja, o total T de dinheiro no início o jogo foi T = 90 1 = R$ 1.080. Assim, 90 no final da partida, os jogadores possuiam, em reais, Guilherme Henrique 6 15 de 1.080 = 43, 5 T de 1.080 = 360, 15 4 T de 1.080 = 88. 15 5. Solução: (a) AO trajeto de M a N compreende 14 comprimentos e 1 larguras das lajotas. Logo, seu comprimento é 14 6 + 1 4 = 84 + 48 = 13 cm. Como as duas formiguinhas percorrem a mesma distância, cada uma deve andar 13 = 66. 6

(b) Vamos acompanhar, desde o início, o percurso feito por Maricota até completar os 66 cm : comprimentos + 1 largura + 3 comprimentos + largura {{{{{{{{ 6=1 4+1=16 18+16=34 8+34=4 comprimentos + 1 largura + 1 comprimento + 1/ largura. {{{{{{{{ 1+4=54 4+54=58 6+58=64 +64=66 6. Solução: Na loja A Festa do Chá existem cinco tipos diferentes de xícaras de chá e três tipos diferentes de pires. (a) Vamos escolher uma xícara primeiro. Então, para completar o conjunto, podemos escolher qualquer um dos três pires. Logo, temos 3 conjuntos diferentes com a mesma xícara. Como existem cinco xícaras diferentes, temos 15 conjuntos diferentes (15 = 5 3). (b) Começamos com qualquer um dos 15 conjuntos do item anterior. Existem quatro maneiras diferentes de completá-los com uma colher de chá. Portanto, o número de todos os conjuntos possíveis é 60 (já que 60 = 15 4 = 4 5 3). (c) Existem três casos possíveis: uma xícara e um pires, uma xícara e uma colher ou um pires e uma colher. O número de possibilidades do primeiro caso foi calculado no item (a) e são 15. Fazendo um cálculo similar constatamos que no segundo caso há 4 5 = 0 possibilidades e no terceiro há 4 3 = 1 possibilidades. Portanto, no total é possível 15 + 0 + 1 = 4 compras diferentes.. Solução: (a) Para ir de Alegria a Candura devemos ir primeiro a Brisa, pois não estradas diretas, e assim temos {{ 6 estradas de Alegria a Brisa {{ 4 estradas de Brisa a Candura = 4 possibilidades.

(b) Consideremos dois casos: nosso trajeto passa por Brisa ou por Delírio, o primeiro caso foi calculado no item (a) e nos forneceu 4 caminhos. No segundo caso teremos 3 {{ estradas de Alegria a Delírio Logo, no total há 30 trajetos diferentes possíveis. {{ = 6. estradas de Delírio a Candura 8. Solução: (a) Como 10 3 = 0, existem 0 cartões cujos números são múltiplos de 3. Mais precisamente, esses cartões são os de número 3 = 1 3, 6 = 3, 9 = 3 3, 1 = 4 3,..., 04 = 68 3, 0 = 69 3 e 10 = 0 3. (b) Há 105 cartões pares. Por outro lado, entre os 0 múltiplos de 3 há 0 = 35 pares. Logo, 105 35 = 0 são pares mas não múltiplos de 3. 9. Solução: A resposta é não, pois a soma de 1 até 10 é 55 e uma mudança de sinal em qualquer um deles muda esta soma por um número par, já que estaremos subtraindo o mesmo número duas vezes. Consequentemente, a soma tem que permanecer ímpar e portanto não pode ser 0. 30. Solução: É claro que existem 5 números de um algarismo todo-ímpares : 1, 3, 5, e 9. Podemos colocar um algarismo ímpar à direita de qualquer número todo-ímpar com um algarismo de cinco maneiras. Assim, temos 5 5 = 5 números todo-ímpares de dois algarismos. Fazendo um raciocínio análogo concluímos que há 5 5 5 = 15 números todo-ímpares de três algarismos e há 5 5 5 5 = 65 números todo-ímpares todo-ímpares de quatro algarismos. 8