Matemática e Música; um casamento perfeito Josimara Lima Furtado dos Santos Mauro José Dos Santos Escola Estadual 29 de Novembro RESUMO Esta pesquisa aborda a relação entre a Matemática e a Música, desde uma visão histórica sendo Pitágoras o primeiro a mostrar essa relação através do experimento do monocórdio até o Estudo de Progressão Geométrica (PG) aplicado em sala de aula em turma de 1º Ano do Ensino Médio. Para desenvolvimento desse trabalho foi feito uma abordagem histórica sobre a matemática e a música, demonstrações da matemática na música e por fim a apresentação da escala musical no teclado e sua demonstração na matemática. Palavras-Chave: Matemática. Música. Progressão Geométrica. INTRODUÇÃO A relação entre Matemática e Música vem de uma longa data, desde que Pitágoras, na Antiguidade, esticou uma corda e observou que ao pressionar a metade da corda obtinha a mesma nota da corda solta, porém, uma oitava acima, ou seja, com o som mais agudo. E trabalhando com as outras divisões desta corda descobriu-se que as principais consonâncias e combinações de sons mais agradáveis eram as quartas e quintas puras. Esta pesquisa traz uma abordagem da relação entre Matemática e Música, que ao observar a história dessas duas áreas, verifica-se que no desenvolvimento da teoria musical a Matemática exerce um papel fundamental para entendimento dos princípios musicais. O interesse por este assunto, surgiu pela observação na área musical, na qual se utiliza muito a Matemática em sua teoria de construção. Um fato curioso é que os professores de
música lidam com esta área facilmente, sem mesmo deterem conhecimentos matemáticos específicos e amplos. O presente trabalho, tem como objetivo buscar a relação existente entre a Matemática e a Música, bem como a interdisciplinaridade entre essas áreas que ajude a tornar a aprendizagem mais significativa, como Ausebel (apud, Moreira,1999) se refere, não ficando apenas na memorização de fórmulas. O assunto matemático aqui abordado relacionado à música é Progressão Geométrica. Ainda é importante dizer que os outros assuntos podem ser abordados, por exemplo: Teoria de grupos e Séries de Fourier. Desenvolvimento 1. ABORDAGEM HISTÓRICA DA RELAÇÃO MATEMÁTICA E MÚSICA 1.1. O experimento do monocórdio e a música na escola pitagórica
O estudo da Matemática e da Música tem como destaque o experimento de Pitágoras 1 que está descrito ao longo deste texto, dando ênfase a este pelo fato de registros, porque o monocórdio foi a primeira experiência a ser registrada na história da ciência. Os registros da escola pitagórica nos mostram que Pitágoras foi também um fundador científico da música, pois segundo Abdounur (2002) os primeiros sinais de casamento entre a matemática e a música surgem no século VI a.c., quando Pitágoras, através de experiência com sons do monocórdio, descobre o quarto ramo da matemática: a música, sendo os outros três: aritmética, geometria e astronomia. Segundo Abdounur (2002), o monocórdio é um instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa possuindo, ainda, um cavalete móvel colocado sob a corda para dividí-la em duas seções, instrumento (figura 1) este que provavelmente foi inventado por Pitágoras. Figura 1: (Fonte: MEGA, 2003: 16) Pitágoras já tocava lira desde criança, com perfeição, vindo a ensinar que o melhor meio de purificar a alma era a música, afirmava que o universo era uma escala, ou um número musical, cuja própria existência se devia à sua harmonia 2. Através de observações na lira, os pitagóricos concluíram que entre a altura dos sons e a largura da corda da lira havia uma relação que determinava a existência da harmonia musical e ainda identificaram que os intervalos musicais se colocam de maneira que admite expressão matemática através de progressões aritméticas. 1 Diz uma lenda que Pitágoras foi um filho de profecia, onde uma sacerdotisa do deus Apolo, disse ao casal (seus pais), que teriam um filho de grande beleza e de inteligência extraordinária, que seria um dos homens mais sábios de todos os anos. Então no mesmo ano o casal teve um filho, e este chamou-se Pitágoras. 2 < http://pet.mtm.ufsc.br>
Pitágoras em seu experimento observou que pressionando um ponto situado a 3 4 do comprimento da corda em relação a sua extremidade, ao tocar a seguir ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Ao exercer uma pressão de 2 3 do tamanho original da corda, ouvia-se uma quinta acima e a 1 2 obtinha-se uma oitava do som original. Partindo dessa experiência, os intervalos passam a se chamar consonâncias pitagóricas. Naquela ocasião se mostrou significativa a descoberta da relação entre razão de números inteiros e tons musicais, isso gerou uma dúvida fundamental para Pitágoras, onde dar-se-ia o desenrolar da relação matemática/música. Sendo assim, associou os intervalos musicais referentes às consonâncias perfeitas oitava, quinta e quarta -, as relações simples 1 2, 2/3 e 3 4. Os pitagóricos sustentavam a doutrina de que Tudo é número e harmonia, por isso a questão de comparar tudo aos números. Para Pitágoras o intervalo fundamental da escala era a oitava, por isso os pitagóricos a tomam como universo da escala. Então o problema seria dividir a oitava em sons onde determinaria a linguagem musical para se expressar. Sendo assim, tornou-se natural que a partir de uma nota determinante da oitava-universo junto à sua oitava superior caminhariam por intervalos de quintas ascendentes e descendentes, onde retornaria à nota equivalente. A partir disso temos como exemplo, que ao começar pela nota fá, após uma quinta teremos um dó, que seguindo por mais uma quinta ascendente obteremos um sol, logo depois um ré, depois lá, logo em seguida mi e por fim o si. Neste caso forma-se uma sequência de fá, dó, sol, ré, lá, mi e si, mas ao ser remanejada à oitava inicial, tem-se a sequência dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, dó, sendo a mesma constituída por quintas puras, que é uma relação de comprimento de 2/3 e denomina-se como gama pitagórica. É importante destacar que as notas são colocadas com essa nomenclatura para maior facilidade de compreensão, mas na época em que foram criadas não tinham esses nomes. Este processo anterior é denominado quintas ascendentes e quartas descendentes, onde se limitam ao espaço da oitava referência sem repetição de notas. Citando como exemplo, o teclado que temos hoje, ao atribuirmos comprimento 1, e percorrendo uma escala de dó à dó por quintas ascendentes, teremos as notas; sol com comprimento 2/3, ré com 8/9, lá com 16/27, mi com 64/81, si com 128/243 etc e no percurso descendente, as notas fá com 4/3, etc., originando então a seguinte configuração:
dó ré mi fá sol lá si dó 1 8/9 64/81 3/4 2/3 16/27 128/243 1 2 Pelo fato do si e do mi possuírem relações diferentes com o dó, pois possuíam números relativamente grandes, essa gama veio a ser substituída de forma gradativa no século XVI, que então passou a surgir os graus conjuntos que possui a seguinte seqüência, 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 9/8, 256/243, que corresponde a escala musical com intervalos de tom, tom, semitom, tom, tom, tom, semitom temperados. 2. TEORIA ELEMENTAR DA MÚSICA 2.1 Princípios básicos da Música Segundo Priolli (1983) música é a arte dos sons, sendo essa arte a de manifestar os diversos afetos de nossa alma mediante o som (expressão sonora e harmônica dos sentimentos), combinando-o de acordo as variações de altura, proporcionado segundo a sua duração e ordenado sob as leis da estética musical. A música é constituída de três elementos fundamentais que são: Melodia, Ritmo e Harmonia. A Melodia é a combinação dos sons sucessivos, ou seja um som após o outro, formando assim um sentido musical. Já o Ritmo é a ordem que os sons obedecem na divisão musical, isto é o movimento dos sons regulados pela sua maior ou menor duração. E por último, a Harmonia que consiste na execução de vários sons ouvidos ao mesmo tempo,
caracterizado como sons simultâneos, caminhando em sentido vertical, como exemplo os acordes. Para expressar profundamente qualquer sentimento descrito por meio de música, esses três elementos têm participação imprescindível nessa construção. Sendo a música a arte dos sons, é fundamental dizer quais são as propriedades que o som possui. Mas antes de mostrar suas propriedades, é importante saber que o som se divide em duas partes: Som Determinado e Som Indeterminado (Teoria Musical, CCB). O Som Determinado é o som musical e o Som indeterminado é um ruído qualquer. Os sons musicais são representados graficamente, no papel, por sinais chamados notas. Essas notas musicais, são sete: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si. Na música a palavra nota representa dois significados: representa o som no papel e a altura do som (a nota dó, a nota ré, etc.). Em virtude da duração ser uma propriedade do som e é necessário sua presença em uma partitura musical, vejamos o seguinte: Para determinar a duração dos sons existem as figuras que são os sinais que os representam. São sete figuras, sendo elas: Figura 7: (Fonte: LACERDA, s.d.: 09)
A semibreve é a figura que possui maior valor, as outras figuras sempre vão obedecendo à uma razão 1 2 ou seja as figuras vão sempre tendo a metade do valor da anterior, observe: Figura 8: (Fonte: LACERDA, s.d.: 09) Para encontrar os valores dessas figuras é necessário ter Fórmula de Compasso que serve para determinar os valores das notas, pois as mesmas não têm valores definidos. Esta Fórmula de compasso é representada por uma fração, que pode ter como numeradores os números 2, 3 e 4 para compassos simples e 6, 9 e 12 para compassos compostos. O denominador determina a unidade de tempo (qualidade) que é a figura que vale um tempo e o numerador (quantidade) que é quantas notas precisam para preencher o compasso. Para denominador utilizam-se os números: 1 representa a (semibreve) 2 representa a (mínima) 4 representa a (semínima) 8 representa a (colcheia) 16 representa a (semicolcheia) 32 representa a (fusa)
64 representa a (semifusa) Visão didático-pedagógica das relações em matemática/música Levando em consideração que hoje em dia as crianças já nascem inseridas dentro de uma ecologia cognitiva e afetiva, naturalmente complexa, que permite o acesso à diversas situações. É possível trabalhar em sala de aula, utilizando-se de aplicações da Matemática e Música. Por exemplo, ao somar valores de figuras musicais, o indivíduo estará utilizando soma de frações, que para ele tem um significado, ou seja, é útil. Outros exemplos ainda podem ser abordados, como temperamento com progressão geométrica (escala cromática), som com função matemática, altura musical com frequência, intensidade musical com amplitude de onda, Série Harmônica com Séries de Fourier. Nas quais o aluno consegue ver significados no que está proposto para ele aprender. Segundo Abdounur (2002): A possibilidade de construir experimentos utilizando das tecnologias abre horizontes não somente para o aprendizado de conceitos outrora inacessíveis sem arcabouço teórico suficiente, mas permite tal aprendizagem, pelo menos em nível informal (Abdounur, 2002:289). É importante que ao trabalhar com Matemática e Música, leve-se em consideração o assunto que o público possui maior domínio. Sendo assim, ministrar oficinas para músicos, não é difícil, pois o público-alvo já tem aptidão musical, porém se o público não tiver ainda essa aptidão, faz-se necessário construir a vivência musical, fazendo pontes dos conceitos musicais à Matemática, descobrindo assim as relações existentes entre essas áreas, ciência/ arte.
No geral, a Matemática oferece suportes suficientes para a evolução dos sistemas musicais, ao mesmo tempo que a música manifesta arquétipos também presentes na Matemática, que contribuem mutuamente para a evolução coletiva ciência/ arte. 3. ESTUDO DA APLICAÇÃO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Temos consciência de que apenas um trabalho não faz com que todos os alunos gostem de Matemática, mas uma coisa é certa, com algo significativo ele sentirá mais prazer em aprender Matemática. Ou seja, será mais uma nova abordagem que ele não conhece. Sendo assim, os alunos do 1 ano do Ensino Médio da escola Estadual 29 de Novembro teriam que aprender o conteúdo de Progressão Geométrica. Iniciamos a explicação de Progressão Geométrica dizendo que as figuras musicais formam uma PG de razão 1 2, ou seja, q = 1 2, no compasso quaternário. Observe:
Os alunos acharam interessante, principalmente aqueles que tinham um certo grau de conhecimento musical. E houve comentários do tipo: Nunca parei para pensar que a Música tivesse relação com a Matemática. Logo, então partimos para a construção da escala cromática musical. Assim: sabemos que a música é composta por sete notas musicais, sendo elas: DÓ, RÉ, MI, FÁ, SOL, LÁ e SI. Mas o que muitas vezes não sabem é que para formar uma escala musical, por exemplo, precisa-se de toda uma teoria Matemática. Para construir uma escala cromática em Música, é necessário dizer que a escala trata-se duas notas iguais, separadas por uma oitava, ou seja, toda escala começa e termina com a mesma nota, sendo iniciada com uma frequência f (nota mais grave) e terminada com uma frequência 2 f (nota mais aguda). Assim para se construir a escala cromática, divide-se a oitava em doze partes, onde na Música são criados doze intervalos iguais, que são chamados de semitons. Figura 15: (Fonte: FAGUNDES, 1993: 56) Sendo assim, sejam duas frequências F 1 e F 2, o intervalo entre elas é dado pelo quociente F 2/F 1. Então podemos escrever que: F 1= i.i.i.i.i.i...= F 2 i multiplicado por si mesmo 12 vezes. Tomando como exemplo de uma oitava de Lá 2 à Lá 3.
i multiplicado por si mesmo 12 vezes e i = 1,0594631 na escala temperada, temos: 220 (1,0594631) 12 = 440 Figura 16: (Fonte: <http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm> acesso em: 04 jan. 2006: 18:30 hs) Logo, F 2 F1 440 220 12 (1,0594631) 1 (212 ) 12 Portanto a frequência de cada nota na escala cromática será 12 2 vezes maior que a sua anterior. Sendo assim, então se define uma progressão geométrica de razão igual a 12 2. Para mostrar isto, considere a montagem da escala cromática na tabela 1 na página seguinte onde se inicia na nota lá central do piano (f = 220 Hz ): (Bolema, 2003: 110).
NOTA SÍMBOLO TERMOS DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA an = 220 ( 12 (n 1) 2 ) FREQÜÊNCIA (Hz) Lá A a1 = 220 220 Lá# / Sib A# / Bb a2 = 220. ( 12 2 ) 1 = 233,081880... 233 Si B a3 = 220. ( 12 2 ) 2 = 246,941650... 247 Dó C a4 = 220. ( 12 2 ) 3 = 261,625565... 262 Dó# / Ré b C# / Db a5 = 220. ( 12 2 ) 4 = 277,182630... 277 Ré D a6 = 220. ( 12 2 ) 5 = 293,664767... 294 Ré# / Mib D# / Eb a7 = 220. ( 12 2 ) 6 = 311,126983... 311 Mi E a8 = 220. ( 12 2 ) 7 = 329,627556... 330 Fá F a9 = 220. ( 12 2 ) 8 = 349,228231... 349 Fá# / Solb F# / Gb a10 = 220. ( 12 2 ) 9 = 369,994422... 370 Sol G a11 = 220. ( 12 2 ) 10 = 391,995435... 392 Sol# / Láb G# / Ab a12 = 220. ( 12 2 ) 11 = 415,304697... 415 Lá A a13 = 220. ( 12 2 ) 12 = 440 440 Tabela 1: (Fonte: BOLEMA, 2003: 110) Depois de mostrado a PG, na construção da escala cromática musical, toquei a escala no teclado, onde para eles foi muito interessante poder ouvir essa PG. E ter levado o teclado para aula fez com que prestassem atenção no conteúdo para saber quando utilizar. Após a explicação, tocamos uma música para a turma, aplaudiram-me dizendo que só assim a aula não foi cansativa.
Conclusão Observamos que essas áreas distintas possuem vínculos muito fortes, no qual deveriam ser mais explorados. Este trabalho apresentou as Progressões Geométricas podendo ainda ser exploradas: Série Harmônica, Teoria de Grupos e Série de Fourier. Mostrando essa relação, entre a matemática e a música, a matemática se torna mais atrativa no cotidiano escolar, pois qual a criança, adolescente ou até mesmo adulto, hoje, que não gosta de música! Sendo assim a música é um estimulante ao aluno para aprender matemática. A matemática ensinada através da música faz com que o aluno se interesse pela aula ou pelo conteúdo, porque o indivíduo quer saber qual a relação entre essas áreas: ciência e arte. Portanto, de acordo com Ausebel (apud, Moreira, 1999) a matemática se torna significativa, porque não ficou só na memorização de fórmulas, ideia que Polya também defende. Ao trabalhar com a matemática e a música na sala de aula, coloquei em prática a teoria dos autores pesquisados, levando para a sala um teclado, no qual pude explicar de maneira agradável Progressões Geométricas e explorar o termo geral da P.G. Foi gratificante ver a motivação e o interesse dos alunos em aprender essas duas áreas que são de fundamental importância e belas. O interesse dos alunos foi geral, que queriam saber mais. Contudo este trabalho contribuiu muito para meu conhecimento profissional, foi uma pesquisa de grande valia e prazerosa, mostrou-me um instrumento alternativo e valioso para o ensino-aprendizagem da matemática. Que legal! Música tem tudo a ver com a Matemática. BIBLIOGRAFIA
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