Lei de Gauss Evandro Bastos dos antos 21 de Maio de 2017 1 Fluxo de Campo Elétrico Com a lei de Coulomb calculamos o campo elétrico utilizando uma distribuição de cargas. E a soma vetorial do campo elétrico gerado por cada carga era o campo elétrico devido à distribuição. Vamos considerar uma caixa, que pode conter (ou não) carga em seu interior. e houver carga no interior dessa caixa (superfície), haverá um campo elétrico. Que será divergente para cargas positivas (figura??) ou divergente para cargas negativas (figura??). E como podemos definir o fluxo de campo elétrico? As linhas de campo auxiliam a identificar que, ao colocar uma carga de prova positiva, em algum ponto fora da caixa. Iremos perceber que, se a carga de prova for em direção à caixa, teremos uma carga negativa dentro da caixa, consequentemente o fluxo de campo será para dentro. e a carga se movimentar na direção oposta à caixa, o fluxo de campo será para fora da caixa. Para entendermos um pouco melhor, vamos observar a figura??. No primeiro caso, todo o campo elétrico passa pela espira. No caso b), há uma componente do campo elétrico atravessando a espira e no caso c) nenhuma componente atravessa a espira. Assim, podemos definir o fluxo do campo elétrico (ou de qualquer outro campo vetorial) que atravessa uma espira (ou qualquer superfície) como sendo φ = E Aˆn. (1) Em que ˆn é o vetor normal à superfície e A é a área da superfície. e o vetor normal variar ao longo da superfície ou o campo elétrico variar espacialmente, temos que considerar φ = E(x, y, z) ˆndA. (2) φ é o fluxo de um campo elétrico qualquer sobre qualquer superfície. Figura 1: Caixa vazia 1
Figura 2: Carga positiva interna a uma superfície. As setas indicam as linhas de campo elétrico Figura 3: Carga negativa interna a uma superfície. As setas indicam as linhas de campo elétrico Figura 4: a) Campo paralelo ao vetor normal à espira, b) Campo a uma direção de 30 o ao vetor normal à espira, c) Campo perpendicular ao vetor normal à espira. 2
Figura 5: Esfera de raio R, com uma carga positiva em seu interior. Figura 6: Esfera de raio R, com uma carga positiva em seu interior. 1.1 A Lei de Gauss A lei de Gauss, para o cálculo do campo elétrico, servirá como uma alternativa à lei de Coulomb, especialmente em situações de alta simetria e que a lei de Coulomb seja de difícil aplicação. A lei de Gauss garante que o fluxo de campo elétrico total através de qualquer superfície fechada é proporcional à carga elétrica total no interior dessa superfície. Vamos considerar uma carga pontual q, colocada no centro de uma esfera imaginária de raio R. Como conhecemos pela lei de Coulomb o campo elétrico em qualquer ponto dessa esfera será: E = 1 q (3) 4π R 2 Nessa superfície vamos considerar uma pequena fração de sua área, da, figura??. Ao calcular o fluxo de campo elétrico que passa por essa área, vemos que o campo elétrico e o vetor normal a superfície esférica são paralelos. Então o fluxo é simplesmente o produto do campo pela áerea, φ = EA (4) = 1 q 4π R 2 (4πR2 ) (5) = q. (6) Concluímos que o fluxo não depende do raio de nossa esfera imaginária, muito menos de sua forma, apenas da carga em seu interior. De forma geral, em situações em que a superfície e o campo não apontam na mesma direção, temos que E ˆndA = q int (7) 3
em que q int é a carga interna total contida na superfície. A superfície imaginária recebe o nome de superfície gaussiana. Em situações de simetria, em que o campo e o versos ˆn tem a mesma direção, e o campo é constante em todos os pontos da superfície, podemos fazer No caso da esfera, temos que E da = q int. (8) E(4πR 2 ) = q int (9) q int E =. (10) (4πR 2 ) Que é o valor do campo conhecido. Observe que para o cálculo do campo é necessário simetria, para que o vetor E, possa ser retirado da integral. Porém a validade da lei de Gauss é independente da simetria. 1.2 Aplicação a um condutor Vamos calcular o campo elétrico dentro de um condutor. Para isso vamos considerar uma esfera condutora carregada, de raio R. Figura 7: Esfera condutora de raio R. e estamos no regiime eletrostático, podemos considerar que a força sobre as cargas é zero, F = 0. Então se logo, E = F q (11) E = 0. (12) Ou seja, para um condutor carregado, o campo elétrico no interior da superfície é nulo. Isso traz uma consequência importante. Vamos considerar uma superfície gaussiana, interna a esse condutor, porém tão próximo da superfície do condutor quanto podemos imaginar. 4
Figura 8: Gaussiana de raio r, interior a um condutor Aplicando a lei de Gauss, temos que E(4πR 2 ) = q int (13) q int 0 = (14) (4πR 2 ) q int = 0. (15) Isso significa que a carga elétrica dentro de um condutor é zero, então se o condutor está carregado, as cargas só podem estar situadas na superfície. Exercícios: Halliday, 8ed, problemas do cap 23: 1, 6, 20, 17, 24, 36, 44, 45 Halliday, 9ed, problemas do cap 23: 1, 4, 18, 19, 22, 34, 46, 47 Os problemas listados acima são equivalentes entre as edições. 5