Matemática Financeira Aula 1 (manhã e tarde) 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira Aula 1 (manhã e tarde) 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira Objetivos de aprendizagem: Depois de ler e discutir este tópico você será capaz entender Fazer contas utilizando a regra de três e porcentagens Entender os princípios de Matemática Financeira Calcular valores futuros e presente em juros simples ecompostos Entender operações com taxas Profaª Msc. Érica Siqueira

Agenda do Curso Data Horário Período Tema da Aula 03/06/2017 08:30 10:30 Manhã Apresentação da Disciplina Revisão de Porcentagens Revisão de Regra de Três Simples e Composta Juros Simples Desconto de Duplicata Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples Juros Compostos 13:00 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos 03/06/2017 Tarde Convenção Linear (parte inteira e fracionária) 15:00 Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente Taxa Acumulada Taxa Nominal e Taxa Efetiva 08:30 Cálculo de Juros Simples e Compostos no Excel Pagamentos e Depósitos Constantes 17/06/2017 Manhã Fluxo de Caixa Payback Simples e Descontado 10:30 VPL TIR 17/06/2017 13:00 Sistema de Amortização: Price Sistema de Amortização: SAC Tarde Operação com Debentures 15:00 Dúvidas e Prova 3 Profa. Msc. Érica Siqueira

Usar HP12C Para estudar: Observações Slides como grandes tópicos Livros indicados na bibliografia Lista de Exercícios Na prova poderá utilizar todo material: livros, cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá utilizar celular 4 Profa. Msc. Érica Siqueira

Aplicações Gestão Financeira Planejamento Financeiro Investimentos Finanças Pessoais 5 Profa. Msc. Érica Siqueira

Revisão: Início 6 Profa. Msc. Érica Siqueira

Regra de Três Simples Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis. A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita. Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui. 7 Profa. Msc. Érica Siqueira

Porcentagens com Regra de Três Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto? Reais(R$) Porcentagem 400,00 100% 30,00 X 400 30 100 100 30 400 7,5% 8 Profa. Msc. Érica Siqueira

Diretamente Proporcional (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Área Energia 1,2 400 1,5 X 1,2 1,5 400 1,5 400 1,2 500 9 Profa. Msc. Érica Siqueira

Inversamente Proporcionais (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? Velocidade (km/h) Tempo (minutos) 8 50 16 X 8 16 50 8 50 16 25 10 Profa. Msc. Érica Siqueira

Regra de Três Composta Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente. A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples 11 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo Regra de Três Composta (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias. = 6 12 10 30 18 5 20 6 3600 1800 1800 6 3600. = 12 12 Profa. Msc. Érica Siqueira

Revisão de Porcentagem A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo. Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%. Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%). Se você gastar 2, então você gastou 2/10 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80% 13 Profa. Msc. Érica Siqueira

Taxas Unitárias e Percentuais Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual 0,05 = 5% 0,5 = 50% 0,8 = 80% 1 = 100% 14 Profa. Msc. Érica Siqueira

O percentual de um valor Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05 Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3 Por exemplo: 10% de R$ 1.000 0,10 * 1000 = R$ 100,00 15 Profa. Msc. Érica Siqueira

Para calcular o percentual Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três. Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários? Parte = 485 Todo = 1000 O primeiro passo é dividir a parte pelo todo 485 / 1000 = 0,485 Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual 0,485 x 100 = 48,5% 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias 16 Profa. Msc. Érica Siqueira

Acrescentar um Percentual Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo 200 + 40%, basta utilizar a fórmula 200 x (1 + 0.40) = 280 Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas 17 Profa. Msc. Érica Siqueira

Subtrair um Percentual Ex: Achar valor final após conceder descontos Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo: Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso). Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias 18 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exercícios de Porcentagem Calcule as porcentagens correspondentes: 2% de R$ 700 40% de 48 m 38% de 200 Kg 6% de R$ 50 37,6% de R$200 22,5% de R$60 19 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exercício de Porcentagem a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 20 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira 21 Profa. Msc. Érica Siqueira

Observações Estudar o valor do dinheiro no tempo Conceitos de juro, capital e tempo Habilidades matemáticas prévias: Porcentagem Frações, Potências, Raiz, Log 22 Profa. Msc. Érica Siqueira

Dinheiro no Tempo Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro); Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente). E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo. 23 Profa. Msc. Érica Siqueira

Capital O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Excel: Valor Presente 24 Profa. Msc. Érica Siqueira

Juro Remuneração do Capital O juroexiste porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Representação nas calculadoras financeiras: i 25 Profa. Msc. Érica Siqueira

Tempo Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias). Notação nas calculadoras financeiras: n a. a. = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre Conversão? Pode? 26 Profa. Msc. Érica Siqueira

Montante É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo O montante é calculado apenas no fim da capitalização. Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value) VF = VP + J 27 Profa. Msc. Érica Siqueira

Juro Simples e Composto Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 28 Profa. Msc. Érica Siqueira

Calculando Juros Simples J = C * i * n Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos? Qual o montante ao final de 2 anos? 29 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo do Montante em Juros Simples Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples. Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses S = P(1 + in) S = 6.000 (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200,00 30 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo do Valor Atual Juros Simples Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é: P = S/(1+ in) 31 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo da Taxa em Juros Simples Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que Na qual i é a Taxa a ser descoberta, J o valor de juros, C o capital e n a quantidade de períodos. 32 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo do Tempo em Juro Simples Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que Na qual i é a Taxa, J o valor de juros, C o capital e n a quantidade de períodos a ser descoberta. 33 Profa. Msc. Érica Siqueira

Taxas Proporcionais e Equivalente em JS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade No regime de juros simples, Taxas Proporcionai s e Taxas Equivalentes são consideradas a m esma coisa, sendo indiferente a classificação de duastaxas de juroscomo proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a resp eito ao regime de juros compostos. 34 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo 1 35 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo 2 36 Profa. Msc. Érica Siqueira

Desconto de Duplicata Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora). Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro. O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis) 37 Profa. Msc. Érica Siqueira

Desconto de Duplicata Juros Simples Fórmulas para cálculo: Valor do Desconto (D): D = VF.d.n Valor presente, abatendo o desconto VP = VF * (1 d *n) onde d é a taxa de desconto Exemplo: Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês? 38 Profa. Msc. Érica Siqueira

Resolução Dados retirados do problema VF = 1.600,00 n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês) d = 2,5% ao mês Valor do Desconto (D) =? Solução: Fórmula D = VF.d. n D = 1.600,00. 0,03. 4 = 192,00 39 Profa. Msc. Érica Siqueira

Juros Compostos Fonte: http://excelplanilhasprontas.com.br/ 40 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo do Montante em Juros Compostos Enquanto no Juros Simples temos uma função linear, no juros compostos temos uma função exponencial. Como ser observa na fórmula do Montante! " 1 # 41 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo Comparativo Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos. 42 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo Comparativo Dados: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. e n = 5 meses Juros Simples: S = P(1 + in) S = 6.000 (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200,00 Juros Compostos! " 1 # S = 6.000 * (1+ 0,04)⁵ S = 6.000 * 1,04⁵ S = 6.000 * 1,216653 S = R$ 7.299,92 43 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo do Valor Atual Juros Compostos Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros Compostos basta inverter a relação anterior, isto é: $ % & ' 44 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo da Taxa em Juros Compostos Para calcular a taxa também é possível deduzir a fórmula a partir da fórmula do montante:! " 1 # % 1 # ' ' % % = 1 # - 1 = ' % ( 1 45 Profa. Msc. Érica Siqueira

Cálculo do Tempo em Juro Compostos A quantidade de períodos (n) também pode ser deduzida a partir da fórmula do montante! " 1 # % 1 # Log % = Log 1 # Log % = n * Log1 # Log ) * = n Log& O LOG pode ser substituído, nesse caso, pelo LN 46 Profa. Msc. Érica Siqueira

Convenção Linear Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada. Exemplo: 47 Profa. Msc. Érica Siqueira

Convenção Linear Convenção Exponencial Convenção Linear 48 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exercício (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear. Resultados para Conferência: FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30 FV (Conv. Exponencial) = R$ 219.502,50 49 Profa. Msc. Érica Siqueira

Convenção Linear na HP A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções. Quando o período n é um número fracionário, é necessário verificar a letra C está aparecendo no visor A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas STO EEX. Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção exponencial. Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção linear. Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples, a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de juros 50 Profa. Msc. Érica Siqueira

Taxa Nominal e Efetiva Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa Nominal e Efetiva. Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso significa que a taxa nominal é 24% a.aporém a taxa efetiva, a qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12 Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a. 51 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exercício Taxa Nominal e Efetiva Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35. O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo é de 45,33% a.a. Calcule a taxa efetiva mensal e anual 52 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo de Taxa Acumulada Para calcular sucessivos aumentos, que produziram uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a taxa já esteja em índice Caso contrário, é preciso dividir a taxa por 100 53 Profa. Msc. Érica Siqueira

Taxa Acumulada de Inflação Mês IPCA (%) Janeiro 0,5 Fevereiro 0,4 Março 0,3 Abril 0,5 Maio 0,7 Junho 0,4 Julho -0,2 Agosto -0,5 Setembro 0,3 Outubro 0,7 Novembro 0,9 Dezembro 1 Qual a taxa de inflação acumulada no período de 12 meses da tabela ao lado? [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,005)x(1,007)x(1,004)x(0,99 8)x(0,995)x(1,003)x(1,007)x (1,009)x(1,01) 1] x 100. =5,1% 54 Profa. Msc. Érica Siqueira

Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente A taxa aparente é formada por dois componentes: a taxa real e a inflação. A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada da inflação Fórmula para achar a taxa real: 1 + i a = ( 1 + +i r ) * ( 1 + I ) Onde: i a = taxa aparente i r = taxa real I = inflação 55 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo de Taxa Real e Aparente (BrasilEscola) -Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual. Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21 1 + 0,32 = (1 + i r ) * (1 + 0,21) 1,32 = (1 + i r ) * 1,21 1,32/1,21 = 1 + i r 1,09 = 1 + i r i r = 1,0909 1 i r = 0,0909 i r = 9,09% A taxa real anual foi equivalente a 9,09%. 56 Profa. Msc. Érica Siqueira

Bibliografia I. Básica: Bibliografia 1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentos financeiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20). São Paulo: Atlas, 2008. 2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014. 3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo: Atlas, 1996. II. Complementar 1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000 2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: Lapponi Treinamento, 1997. 3. Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria e aplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 4.-MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo: Pearson/Makron Books, 2000. 5. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo: Pearson/Makron Books, 2000. 57 Profa. Msc. Érica Siqueira