Análise de Circuitos Elétricos para Engenharia Sérgio Haffner Luís A. Pereira http://slhaffner.phpnet.us/ haffner@ieee.org slhaffner@gmail.com Desenvolvido para ser utilizado como notas de aula para a disciplina de Circuitos Elétricos do curso de graduação em Engenharia Elétrica. Novembro 2007
Sumário Introdução [5 páginas] 5 Revisão [20 páginas] 1 1 Relações de triângulo 1 1.1 Triângulo qualquer 1 1.2 Triângulo retângulo 1 1.3 Triângulo inscrito em uma semicircunferência 1 2 Números complexos 2 2.1 Forma retangular 2 2.2 Forma Polar 3 3 Funções senoidais 4 3.1 Definições 4 3.2 Defasagem 5 4 Resposta completa de um circuito RLC série 5 4.1 Determinação da resposta natural (regime transitório) 6 4.2 Determinação da resposta forçada (regime permanente) 7 4.3 Determinação da resposta completa (supondo resposta superamortecida) 8 5 Resposta completa de um circuito RLC série/paralelo 10 5.1 Determinação da resposta natural (regime transitório) 11 5.2 Determinação da resposta forçada (regime permanente) 12 6 Análise nodal e de malhas 15 6.1 Análise nodal 15 6.2 Análise de malhas 18 I Análise de redes no domínio da freqüência [33 páginas] 1 I.1 Análise fasorial 1 I.1.1 Representação fasorial 2 I.1.2 Impedância [Ω] e admitância [Ω -1 ou siemens] 4 I.1.3 Associação de Impedâncias 6 I.1.4 Superposição 9 I.2 Métodos de solução fasorial 10 I.2.1 Circuitos equivalentes 10 I.2.2 Transformação estrela-triângulo 20 I.2.3 Circuitos divisores 22 I.2.4 Métodos analíticos de solução 23 I.2.5 Diagrama fasorial 25 I.3 Locus de tensão, corrente e impedância 29 I.4 Ressonância senoidal 32 I.4.1 Definições 32 I.4.2 Ressonância paralela 32 I.4.3 Ressonância série 32 II Potência e energia em regime permanente senoidal [20 páginas] 1 II.1 Potência e energia 1 II.2 Valores eficazes 5 II.3 Potências ativa, reativa, aparente e complexa 7 II.4 Máxima transferência de potência 12 II.5 Potência desenvolvida e circuitos equivalentes 14 III Circuitos polifásicos [25 páginas] 1 Introdução SHaffner/LAPereira Versão: 14/11/2007 Página 2 de 5
III.1 Conceitos básicos 1 III.2 Técnicas de resolução de circuitos 12 III.2.1 Relação tensão/corrente em sistemas trifásicos 14 III.3 Potência polifásica 18 IV Circuitos acoplados magneticamente [29 páginas] 1 IV.1 Auto indutância 1 IV.2 Indutância mútua 1 IV.3 Polaridade das tensões induzidas 3 IV.4 Circuitos equivalentes 10 IV.5 O transformador linear 15 IV.6 O transformador ideal 16 IV.6.1 Expressões gerais do transformador ideal 16 IV.6.2 Transformador ideal em regime permanente senoidal 17 IV.7 Circuitos acoplados representados através de transformador 19 ideal IV.8 Autotransformadores ideais 21 V Análise de circuitos pela transformada de Laplace [59 páginas] 1 V.1 Introdução 1 V.2 Definição 1 V.3 Algumas funções especiais 3 V.3.1 Função degrau unitário u(t) 3 V.3.2 Função impulso unitário δ(t) 5 V.4 Transformadas funcionais 6 V.4.1 Co-seno e seno 6 V.4.2 Funções usuais 7 V.5 Algumas propriedades da transformada de Laplace 8 V.5.1 Linearidade 8 V.5.2 Derivação no tempo 8 V.5.3 Integração no tempo 9 V.5.4 Deslocamento no tempo 9 V.5.5 Mudança de escala no tempo 9 V.5.6 Convolução no tempo 9 V.5.7 Derivação em freqüência 9 V.5.8 Deslocamento em freqüência 9 V.5.9 Resumo das propriedades da transformada de Laplace 10 V.6 Teoremas do valor final e do valor inicial 12 V.6.1 Teorema do valor final (TVF) 12 V.6.2 Teorema do valor inicial (TVI) 13 V.7 Determinação da transformada inversa 14 V.7.1 Expansão em frações parciais de funções racionais próprias 15 V.7.2 Raízes reais e simples 16 V.7.3 Raízes reais repetidas 18 V.7.4 Raízes complexas conjugadas distintas 20 V.7.5 Raízes complexas conjugadas repetidas 22 V.8 Plano s diagrama de pólos e zeros 22 V.9 A transformada de Laplace na análise de circuitos 23 V.9.1 Relação tensão corrente nos elementos simples 23 V.9.2 Representação de circuitos acoplados magneticamente 34 V.10 Função de transferência 37 V.11 Resposta em freqüência 42 V.11.1 Curvas de amplitude e fase em freqüência 44 V.11.2 Diagramas logaritmicos (Bode) 47 V.11.3 Traçado do diagramas de Bode 49 Introdução SHaffner/LAPereira Versão: 14/11/2007 Página 3 de 5
VI Análise de Fourier [44 páginas] 1 VI.1 Introdução 1 VI.2 Série de Fourier 1 VI.3 Análise de circuitos elétricos em regime permanente não 5 senoidal VI.4 Influência da simetria nos coeficientes de Fourier 12 VI.4.1 Simetria de funções pares 13 VI.4.2 Simetria de funções ímpares 14 VI.4.3 Simetria de meia onda 15 VI.5 Potência média de funções periódicas 23 VI.6 Valor RMS de uma função periódica 25 VI.7 Espectros de amplitude e de fase 26 VI.8 Fatores de distorção 28 Bibliografia [1 página] 1 Observação: Em função de acréscimos e correções, a divisão em seções e a numeração das páginas poderão sofrer alterações. Introdução SHaffner/LAPereira Versão: 14/11/2007 Página 4 de 5
Introdução Estas notas de aula têm como objetivo apresentar, de forma resumida, o conteúdo integral das disciplinas Circuitos Elétricos B e Circuitos Elétricos II EE que correspondem ao segundo curso de análise de circuitos elétricos para o curso de graduação em Engenharia Elétrica. Estas notas não detalham em profundidade todos os aspectos relacionados com o tema, mas podem ser utilizadas para balizar estudos nesta área, cuja bibliografia qualificada é bastante abundante até mesmo em português. O curso de Circuitos Elétricos B, para o qual estas notas foram elaboradas, é ministrado após um curso inicial no qual se estuda o comportamento de circuitos elétricos compostos por fontes de tensão e corrente, controladas ou não, resistores, indutores e capacitores, aplicando-se as diversas técnicas de análise conhecidas para análise no domínio do tempo. Também neste curso inicial, analisa-se o comportamento dos circuitos RL, RC e RLC no domínio tempo e em regime permanente senoidal. Desta forma, estes são os requisitos para o bom desenvolvimento dos conteúdos desta disciplina, juntamente com o conhecimento da Transformada de Laplace (requisito para o Capítulo 5) e da Série de Fourier (requisito para o Capítulo 6). Esta disciplina está dividida em seis capítulos, precedidos e uma revisão, conforme descrito a seguir. A Revisão abrange a geometria do triângulo e as relações trigonométricas; os números complexos; a função senoidal; a resposta completa de circuitos RLC e a análise nodal e de malhas. No Capítulo I a análise fasorial é aplicada para a análise do regime permanente senoidal em circuitos elétricos. São desenvolvidos os conceitos de fasor tensão e corrente; impedância e admitância e descritas as principais técnicas de análise de circuitos elétricos (superposição, circuitos equivalente, transformação estrela-triângulo, circuitos divisores de tensão e corrente, diagrama fasorial e lócus) e apresentado o conceito de ressonância senoidal. No Capítulo II são desenvolvidos os conceitos de potência e energia de forma geral e em regime permanente senoidal. Utilizando a definição da potência complexa, são definidas as potências aparente, ativa e reativa e apresentadas as condições de máxima transferência de potência. Uma seção adicional é dedicada à análise das relações entre a potência desenvolvida nos circuitos elétricos e nos seus equivalentes. No Capítulo III são apresentados os circuitos polifásicos juntamente com suas respectivas definições e técnicas de solução. Apresenta-se, também, o conceito de potência polifásica. O Capítulo IV é dedicado à análise dos circuitos com acoplamento magnético. O conceito de auto-indutância é revisado e o de indutância mútua apresentado juntamente com os circuitos equivalentes utilizados para a análise do regime permanente senoidal. São detalhados os circuitos equivalentes do transformador linear, do transformador ideal e do autotransformador ideal. O Capítulo V é dedicado à análise de circuitos elétricos por intermédio da transformada de Laplace. Inicialmente, apresenta-se um resumo sobre a transformada de Laplace direta e inversa e suas principais propriedades. A seguir descreve-se a aplicação da transformada de Laplace na análise de circuitos elétricos, inclusive com acoplamento magnético. Define-se, também, função de transferência e apresenta-se uma introdução à resposta em freqüência e ao diagramas de Bode. No Capítulo VI desenvolve-se a aplicação da série de Fourier na análise de circuitos elétricos em regime permanente não senoidal. O conceito de potência elétrica média é generalizado para qualquer função periódica, bem como o de valor RMS. Para finalizar são apresentados os principais fatores de distorção. O curso de Circuitos Elétricos II EE é o segundo curso de uma série de três e abrange os quatro primeiros capítulos descritos anteriormente. A partir de 2004, foram introduzidos resultados de simulações de alguns exemplos e exercícios propostos. A plataforma utilizada para simulação foi o MATLAB com SIMULINK em função de dois fatores principais: versatilidade (pois uma grande variedade de problemas relacionados com a área de Engenharia pode ser resolvida com este programa) e disponibilidade no meio acadêmico. Os arquivos utilizados nas simulações estão disponíveis em: http://slhaffner.phpnet.us/circuitos_b/matlab/ MATLAB e SIMULINK são marcas registradas da The MathWorks, Inc. Introdução SHaffner/LAPereira Versão: 14/11/2007 Página 5 de 5
Bibliografia 1. J. David Irwin (2004). Análise de circuitos em engenharia. Makron Books. 4 a Edição. 621.3192 I65a 2. James W. Nilsson e Susan A. Riedel (2003). Circuitos elétricos. LTC Editora. 621.3192 N712c 3. Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos. Bookman. 621.3192 A375f 4. Charles A. Desoer e Ernest S. Kuh (1979). Teoria básica de circuitos lineares. Ed. Guanabara Dois. 621.38132 D467b 5. Charles M. Close (1990). Circuitos lineares. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A. 621.31912 C645ca 6. Willian H. Hayt e Jack E. Kemmerly (1975). Análise de circuitos em engenharia. McGraw-Hill. 621.3192 H426a 7. Willian H. Hayt e Jack E. Kemmerly (1993). Engineering circuit analysis. McGraw-Hill. 621.3192 H426e 8. Charles A. Gross (1986). Power system analysis. John Wiley & Sons. 621.3191 G878p 9. Russel M. Kerchner e George F. Corcoran (1968). Circuitos de corrente alternada. Editora Globo. 621.3192 K39c 10. Richard C. Dorf e James A. Svoboda (2003). Introdução aos circuitos elétricos. LTC Editora. 11. L. Q. Orsini e D. Consonni (2002 e 2004). Curso de circuitos elétricos, Volumes 1 e 2. Editora Edgard Blücher Ltda. Bibliografia SHaffner/LAPereira Versão: 14/11/2007 Página 1 de 1