Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados

Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados. Erro em estado estacionário de sistemas de controle realimentados 2. Erro em estado estacionário de sistemas com realimentação não-unitária 3. Índice de desempenho 4. Simplificação de sistemas lineares pag. Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Na análise da resposta estacionária se está interessado no erro de regime estacionário e ss mostrado na figura.4.05 0.95 0.9 M p e ss y(t) t r 0.5 0. 0 td t s t pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Considere o sistema ilustrado abaixo R(s) + E a (s) G(s) Y (s) H(s) Veja que para H(s) =, o erro é dado por E(s) = E a (s) = + G(s) R(s) Ganho DC O ganho DC de uma função de transferência estável, sem pólos na origem, é definido por Ganho DC lim s 0 G(s) = G(0) Tipo do sistema O tipo do sistema em malha-fechada é definido pelo número de integradores (ou pólos em s = 0) da função de transferência em malha-aberta, G(s). Eg, sistema tipo 0: não há integrador... pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo degrau unitário, R(s) = /s, o erro é obtido como E(s) = + G(s) s Aplicando o Teorema do Valor Final, obtém-se o erro em regime estacionário: e ss (t) = e( ) = lim se(s) = lim s 0 s 0 + G(s) = + lim G(s) = s 0 + K p sendo K p a constante de erro de posição definida como K p lim s 0 G(s) = G(0) Para sistema Tipo 0, K p = Ganho DC, e o erro de regime estacionário é e ss (t) = + Ganho DC pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo rampa unitária, R(s) = /s 2, o erro é obtido como E(s) = + G(s) s 2 Usando Teorema do Valor Final e ss (t) = lim se(s) = lim s 0 s 0 s + sg(s) = lim sg(s) = s 0 K v sendo K v a constante de erro de velocidade definida como K v lim s 0 sg(s) Para sistema Tipo 0, K v = 0. Para sistema Tipo obtém-se e ss (t) = K v pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo parábola unitária, R(s) = /s 3, o erro é obtido como E(s) = + G(s) s 3 Usando Teorema do Valor Final e ss (t) = lim se(s) = lim s 0 s 0 s 2 + s 2 G(s) = lim s 0 s2 G(s) = K a sendo K a a constante de erro de aceleração definida como K a lim s 0 s 2 G(s) Para sistemas Tipo 0 ou, K a = 0. Para sistema Tipo 2 obtém-se e ss (t) = K a pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Erro em estacionário e ss em função dos coeficientes de erro Entrada em degrau Entrada em rampa Entrada em parábola Tipo r(t) = r(t) = t r(t) = t 2 /2 Tipo 0 + K a Tipo 0 K v Tipo 2 0 0 K a pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Efeito do ganho K sobre o erro e ss para um sistema Tipo 0 de 2a. ordem.5 k=400 k=200 k G(s) = k=00 (s+2)(s+6) k=50 0.5 k=20 k=0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Realimentação Não-Unitária Para o sistema abaixo com H(s) não-unitário, K pode ser visto como um conversor de unidades entre a saída do processo, Y (s) (e entrada, R(s)) e a saída do sensor, H(s) (por exemplo, converter velocidade para tensão...) R K + E a G Y H Suponha que H(s) seja um sistema de a. ordem, com ganho DC= K 2, ie H(s) = K 2 τs + K 2 funciona como um fator de conversão de unidades pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Realimentação Não-Unitária E(s) R(s) Y (s) = R(s) K G(s) + G(s)H(s) R(s) = + G(s)H(s) K G(s) R(s) + G(s)H(s) = + (H(s) K ) G(s) R(s) + G(s)H(s) Ajustando-se K = K 2 a fim de não haver erro em estado estacionário obtém-se para uma entrada degrau unitário e ss = lim s 0 se(s) = + K G(0) pag.0 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Erro em Estado Estacionário Realimentação Não-Unitária Exemplo Considere uma entrada degrau unitário no diagrama abaixo R K + E a G Y H com G(s) = 40/(s + 5) e H(s) = 2/(0.s + ). Selecionando-se K = K 2 = 2, obtém-se e ss = + K G(0) = + 2(8) = 7 pag. Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Índices de Desempenho Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações consideradas importantes do sistema Como escolher índices de Desempenho? ISE Integral do erro ao quadrado ISE = T 0 e 2 (t)dt compromisso entre respostas sub- e super-amortecidas ITAE Integral do erro absoluto vezes o tempo ITAE = T 0 t e(t) dt reduz a contribuição exagerada do erro nos primeiros instantes e enfatiza erro presente na resposta em regime pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Índices de Desempenho IAE Integral do erro absoluto IAE = T 0 e(t) dt bom para fins de estudo de simulação... ITSE Integral do erro ao quadrado vezes o tempo ITSE = T 0 te 2 (t)tdt O ITAE é o mais seletivo no sentido que o seu valor mínimo é facilmente identificável em função de parâmetros do sistema (como, eg, ζ) Um sistema de controle é dito ser ótimo quando o índice de desempenho selecionado é minimizado pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

MASTER 64 (a) A r(t) 0 t (b) A y(t) 0 (c) A e(t) 0 (d) A 2 e 2 (t) (e) 0 e 2 (t) dt 0 Figure 5.25 The calculation of the integral squared error Copyright 998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

MASTER 65 I 7 6 5 4 ITAE ITSE/0 3 2 ISE 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8.0.2.4.6.8 2.0 Figure 5.27 Three performance criteria for a second-order system Copyright 998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

Índices de Desempenho Os coeficientes que minimizam o índice ITAE para uma entrada degrau considerando a FT em malha fechada: T(s) = b 0 s n + b n s n +... + b s + b 0 são listados a seguir s + ω n s 2 +.4ω n s + ωn 2 s 3 +.75ω n s 2 + 2.5ωn 2s + ω3 n s 4 + 2.ω n s 3 + 3.4ωn 2 + 2.7ω3 n s + ω4 n s 5 + 2.8ω n s 4 + 5ωn 2s3 + 5.5ωn 3s2 + 3.4ωn 4s + ω5 n s 6 + 3.25ω n s 5 + 6.6ωn 2s4 + 8.6ωn 3s3 + 7.45ωn 4s2 + 3.95ωn 5s + ω6 n pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Muitos modelos de sistemas reais podem ser bastante complexos e são representados por FT de ordem elevada Por que não aproximá-los por modelos de ordem reduzida? Por exemplo, um sistema de 5a. ordem por um de 2a. ordem Uma Forma Simples eliminar pólos não-dominantes, com parte real muito maior que os demais pólos (dominantes). Espera-se que este pólo não afete significantemente a resposta transitória Exemplo G(s) = K s(s + 2)(s + 30) = K/30 s(s + 2) pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Aproximação por Resposta em Freqüência é mais sofisticada e tenta casar ao máximo a resposta em freqüência de uma função de transferência reduzida, L(s), com a do sistema original, H(s)... Sendo H(s) = K a ms m + a m s m + + a s + b n s n + b n s n + + b s +, n m L(s) = K c ps p + + c s + d g s g + + d s +, p g < n O método baseia-se na seleção de c i e d i tal que L(s) tenha uma resposta em freqüência muito semelhante a H(s), ie H(jω)/L(jω), para várias freqüências pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares A seleção dos parâmetros c e d é obtida fazendo e M (k) (s) = dk ds k M(s) (k) (s) = dk ds k (s) sendo M(s) e (s), respectivamente, o numerador e o denominador da relação H(s)/L(s) pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Defini-se ainda M 2q = 2q k=0 ( ) k+q M (k) (0)M (2q k) (0), q = 0,, 2,... k!(2q k)! 2q = 2q k=0 ( ) k+q (k) (0) (2q k) (0), q = 0,, 2,... k!(2q k)! Os parâmetros c e d são obtidos resolvendo o sistema de equações M 2q = 2q até o número necessário q para determinar os coeficientes desconhecidos pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Exemplo Sistema de 3a. ordem H(s) = + (/6)s + s 2 + (/6)s 3 } {{ } (s)= (0) (s) (0) (0) = Aproximar por um sistema de 2a. ordem L(s) = + d s + d 2 s 2 } {{ } M(s)=M (0) (s) M (0) (0) = M () (s) = d ds ( + d s + d 2 s 2 ) = d + 2d 2 s M () (0) = d pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Então continuando o processo para k tal que a derivada se anula: M (0) (0) = (0) (0) = M () (0) = d () (0) = /6 M (2) (0) = 2d 2 (2) (0) = 2 M (3) (0) = 0 (3) (0) = M 2q = 2q para q = e 2 (veja que para k > 2, M (k) (0) = 0) pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Para q = M 2q = M 2 = 2q k=0 ( ) k+q M (k) (0)M (2q k) (0) k!(2q k)! = ( ) M(0) (0)M (2) (0) 2 +( ) M(2) (0)M (0) (0) 2 = d 2 + d 2 d 2 = 2d 2 + d 2 + M() (0)M () (0) pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares De forma similar: 2q = 2 = 2q k=0 ( ) k+q (k) (0) (2q k) (0) k!(2q k)! = ( ) (0) (0) (2) (0) 2 +( ) (2) (0) (0) (0) 2 = + 2 36 = 49 36 + () (0) () (0) pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Fazendo M 2 = 2 2d 2 + d 2 = 49 36 Para q = 2, calculando M 4 e 4 e Fazendo M 4 = 4 obtém-se: d 2 2 = 7 8 Resolvendo o sistema de equações: d =.65 e d 2 = 0.625 L(s) = +.65s + 0.625s =.60 2 s 2 + 2.584s +.60 com pólos em.029 e.555 pag.25 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

Simplificação de Sistemas Lineares Bode Diagram Magnitude (db) 0 20 40 60 80 00 20 0 H(s) azul L(s) vermelho Phase (deg) 90 80 270 0 2 0 0 0 0 0 2 Frequency (rad/sec) pag.26 Controle de Sistemas Lineares Aula 4