/0/0 Lógica para computação Professor Marlon Marcon MÉODOS PARA DEERMINAÇÃO DE PROPRIEDADES SEMÂNICAS DE ÓRMULAS DA LÓGICA PROPOSICIONAL Introdução Um dos passos frequentemente utilizados no estudo da lógica corresponte à análise de mecanismos que verificam propriedades semânticas das fórmulas. Este capítulo analisa três métodos: o abela-verdade o Árvore semântica e negação o Método da abela- Método da força bruta; São consideradas todas as possíbilidades de valores associados aos símbolos proposicionais. Para uma fórmula de n linhas temos n possibilidades
/0/0 Método da abela- Exemplo: ª Lei de De Morgan (P Λ Q) ( P V Q) P Q (P Λ Q) ( P) V( Q) (P Λ Q) ( P V Q) Qualquer combinação de valores de P e Q na fórmula (P Λ Q) ( P V Q) será interpretada como : I[ (P Λ Q) ( P V Q)] = Método da abela- Exemplo: ª Lei de De Morgan (P V Q) ( P Λ Q) P Q (P V Q) ( P) Λ ( Q) (P V Q) ( P Λ Q) Qualquer combinação de valores de P e Q na fórmula (P V Q) ( P Λ Q) será interpretada como : I[ (P V Q) ( P Λ Q)] = Método da abela- Ex. Uma fórmula com 8 símbolos: 8 = 6 linhas P ((P Λ P ) ((P Λ P ) ((P 6 Λ P 7 ) P 8 ))) Um pouco grande para ser elaborada manualmente! Determina propriedades semânticas de uma fórmula a partir da estrutura de dados denominada árvore. Uma árvore é um conjunto de nós ou vértices ligados por arestas: 6 7 Os nós,, 6 e 7 são denominados folhas e o nó é a raiz Exemplo de árvore
/0/0 Passo : Rotular as arestas por I[P] = e I[P] =, os quais são os valores possíveis para P. Passo : Verificar o que pode ser concluído sobre o nó (I [P] = ) I [P] = I [P] = I [P] = I [P] = Nó = (P Q) ( Q P)?????? Passo : Verificar o que pode ser concluído sobre o nó (I [P] = ) I [P] = I [P] = Nó = (P Q) ( Q P) Passo : Como nada pode ser concluído somente com I [P] =, adiciona-se a arvore mais um nível, com as interpretações de Q. I [Q] = I [P] = I [P] = I [Q] =
/0/0 Passo : Verificar o que pode ser concluído a respeito do nó Nó = (P Q) ( Q P) I [Q] = I [P] = I [Q] = I [P] = Passo 6: Verificar o que pode ser concluído a respeito do nó Nó = (P Q) ( Q P) I [Q] = I [P] = I [Q] = I [P] = Como todas as folhas possuem o valor, é uma autologia O método da negação, ou é um método geral de demonstração; Considera-se inicialmente a negação daquilo que se deseja demonstrar; Dessa forma, como se obtém um absurdo, a conclusão é que a suposição inicial é falsa; Exemplo: Lei da transitividade para o conectivo ((P Q) Λ (Q R)) (P R) (autologia) Para prova que é tautologia, iremos supor, por absurdo que a fórmula não é uma tautologia. Se a suposição inicial diz que H não é uma tautologia e após uma sequência de deduções é concluído um absurdo, então a afirmação H não é uma tautologia é um absurdo, portanto a conclusão final é que H é uma tautologia.
/0/0 Para que H seja falsa, é necessário que a primeira parte deve ser e a segunda A partir desses valores: Nas subfórmulas P Q e Q R para que as interpretações sejam compatíveis, na primeira I[Q] = e na segunda I[Q] = A partir desses valores: Portanto, como não é possível que Q assuma simultâneamente os valores e, logo não é possivel que I[H] = Sendo assim, H é uma autologia. Demonstração da contradição Para provar que H é contraditória ou tautológica Supõe-se que H é satisfazível ou insatisfazível Se Existe I[H]= então I[H]= (e vice versa)
/0/0 órmulas com o conectivo: A B Só existe uma possibilidade de absurdo I[A]= e I[B]= órmulas com o conectivo: A ^ B Será verdadeira somente quando I[A]= e I[B]= Importante! Se uma asserção é negada, mas o absurdo não aparece, nada se pode concluir sobre a veracidade da asserção Isso é chamado Ausência do absurdo órmulas com o conectivo: A B Será falsa somente quando I[A]= e I[B]= órmulas com o conectivo: A B Existem duas possibilidades de absurdo I[A]= e I[B]= I[A]= e I[B]= Exercícios Prove por árvore semântica e por negação: ( H) H (P Q) (( P) ( Q)) (H G) ( H V G) H=(P^Q) (( PvQ)) é tautologia? Só se H levar a absurdo em ODAS as possibilidades 6