Razões e Proporções RANILDO LOPES 1
1- Razão Em nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e quando fazemos comparações, estamos relacionando dois números. Na linguagem matemática, todas essas comparações são expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim ratio, e significa divisão. Temos, então: Uma razão é uma divisão entre dois números. São exemplos de razões: 3 ou 3:5 5 Comparação De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos Um dia de sol, para cada dois de chuva De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática 4,5 ou 4,5:2 2 Razão 5 1 20 4 1 2 2 1 10 5 2
1- Razão Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si. Por exemplo: Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de sumo de laranja e 2 litros de água. O sumo de laranja está para a água na razão de 3:2 ou na razão 3/2. 3
1- Razão A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias. Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João? Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5). 4
1- Razão Numa razão, os termos (números) têm um nome próprio, tendo em conta o sítio onde se escrevem. Por exemplo: Na razão 3/5 ou 3:5 o número 3 chama-se antecedente e o número 5 chama-se consequente. 5
1- Razão Num mapa, a escala é a razão entre a distância no mapa e a distância real correspondente. No mapa da figura, a distância entre Cascais e Estoril é de 1,6 cm. A distância real entre as duas localidades é de 3,2 km. Qual é a escala do mapa? 6
1- Razão Na escala de um mapa o antecedente da razão costuma ser 1 e as unidades utilizadas são as mesmas, nos dois termos da razão. 1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril) 3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e Estoril) A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente deve ser 1, temos de dividir os termos da razão por 1,6. (1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000) A escala do mapa é 1:200000. 7
Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e largura, ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma unidade e nesse caso, a razão é um número puro. Ex: Se temos que determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m 2 e a de basquete possui uma área de 240 m 2, vamos escrever: 2 180m 3 Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete: 2 240m 4 Se as grandezas não são da mesma espécie (quilômetros percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Para irmos de uma cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3 horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas grandezas. Não podemos esquecer a unidade resultante desta divisão: 240km 80 km / h 3h 8
Exercícios 1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, determine a largura (em metros). 2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador, com 1,73m de altura foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de altura dos jogadores desse time? 3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da conta em um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham dinheiro e, por isso, cada uma das outras teve que pagar R$ 5,00 a mais do que o previsto. Qual foi o valor da conta? 9
2- Proporção Em uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de Matemática, portanto também poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 estão representando em 30 o mesmo que 40 em 120. Escrevemos: 10 40 30 120 Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte: em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 2 9 4 18 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36 10
2- Proporção 2 7 Considera a razão. Se multiplicares ambos os termos da razão pelo mesmo número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão: 2 3 6 7 3 21 Quando escrevemos a igualdade proporção. 2 6 7 21 temos uma Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões. 11
2- Proporção A proporção 2 6 7 21 deve ler-se: 2 está para 7 assim como 6 está para 21. Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm um determinado nome de acordo com o sítio onde se encontram escritos. Os números 2 e 21 são chamados os extremos. Os números 7 e 6 são chamados os meios. 12
2- Proporção Multiplica os extremos da proporção Produto dos extremos: 2 x 21 = 42 2 6 7 21 Multiplica os meios da proporção Produto dos meios: 7 x 6 = 42 2 6 7 21 O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES. 13
2- Proporção Exercício Numa escola, a razão do número de professores para o número de auxiliares é de 16:2. Que conclusão podemos tirar da informação dada? RESPOSTA Como a razão entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada 16 professores existem 2 auxiliares. 14
2- Proporção Se o número total de professores e auxiliares for igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares têm a escola? RESPOSTA: Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores. Então, para 108 trabalhadores haverá x professores. 18 108 16 108 1728 x x x 16 x 18 18 A escola tem 96 professores e 108 96 = 12 auxiliares. 96 15
Uma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou proporção múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a soma dos numeradores está para a soma dos denominadores assim como qualquer numerador está para o seu respectivo denominador. 6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8 3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4 Divisão Proporcional Divisão em partes diretamente proporcionais Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. 16
Divisão Proporcional Divisão em partes diretamente proporcionais Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. 1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa? 2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu. 17
Divisão Proporcional Divisão em partes inversamente proporcionais Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados. Exercício: João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias e Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça? 18
Grandezas Proporcionais A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou inversa. Esquematicamente, se duas grandezas são diretamente proporcionais podemos representá-las como: x y ou x y Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. 19
Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais Se duas grandezas forem inversamente proporcionais podemos representá-las como: x y ou x y Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. 20
3- Regra de Três Regra de três simples Exercícios 1 Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45 kwh, quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho para 20 minutos? W = P.T, onde: W - energia consumida; P - potência do eletrodoméstico considerado; Exercícios 2 T - tempo de utilização do eletrodoméstico. Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e 27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distância. Se um gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo ciclista mais lento. V = E/T, onde: V - velocidade; E - espaço; T - tempo. 21
3- Regra de Três Regra de três composta Exercícios 1 Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 7 operários, trabalhando 9 dias? Exercícios 2 Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7 horas por dia, quantas máquinas seriam necessárias para realizar esta obra em 12 dias, funcionando 10 horas por dia? 22
VALEU! PESSOAL 23