Potências de 10 Ordem de Grandeza Extraído e adaptado do Livro de Física Contexto & Aplicações Vol 1, A. Máximo e B. Alvarenga, Ed. Scipione Por que usamos as potências de 10 Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000000005 cm ou que uma dada célula tem cerca de 2 000 000 000 000 de átomos, dificilmente seremos capazes de assimilar estas ideias. Isto ocorre porque estes números estão afastados dos valores que os nossos sentidos estão acostumados a perceber estão fora do nosso quadro de referências. No estudo da Física encontraremos, frequentemente, grandezas como estas que são expressas por números muito grandes ou muito pequenos. A apresentação escrita ou oral desses números, da maneira habitual, tal como foram escritos acima, é bastante incômoda e trabalhosa. Para contornar o problema, é usual apresentar estes números em forma de potências de 10, como veremos a seguir. Este tipo de notação, além de mais compacta, nos permite uma rápida comparação destes números entre si e facilita a realização de operações matemáticas com elas. Como escrevemos os números na notação de potências de 10 (notação científica N. C. ) Consideremos um número qualquer como, por exemplo, 842. Seus conhecimentos, das propriedades de números e operações em Matemática, lhe permitirão compreender que este número pode ser expresso da seguinte maneira: 842 = 8,42 100 = 8,42 10 2 Observe que o número 842 foi expresso como produto de 8,42 por uma potência de 10 (no caso 10 2 ). Tomemos outro número; por exemplo, 0,0037. Podemos escrever: 0,0037 = 3,7 1000 = 3,7 = 3,7 10 3 103 Novamente, temos o número expresso pelo produto de um número compreendido entre 1 e 10 (no caso, 3,7) por uma potência de 10 (no caso, 10-3 ). Baseando-nos nestes exemplos, chegamos à seguinte conclusão: Um número qualquer pode sempre ser expresso como o produto de um número compreendido entre 1 e 10 por uma potência de 10 adequada. Procure exercitar-se no uso desta regra, analisando os dois exemplos seguintes: 62300 = 6,23 10 000 = 6,23 10 4 0,00002 = 2 100 000 = 2 10 5 = 2 10 5 1
Observação Uma regra prática para se obter a potência de 10 adequada é a seguinte: a) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda; este número nos fornece o expoente de 10 positivo. Assim: 62 300 = 6,23 10 4 4 casas b) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a direita; este número nos fornece o expoente de 10 negativo. Assim: 0,00002 = 2 10 5 5 casas Nesta representação de potências de 10, os números citados no início desta seção poderão ser escritos, compactamente, e de maneira mais cômoda, do seguinte modo: Raio do átomo de hidrogênio = 5 10 9 cm Número aproximado de átomos de uma célula = 2 10 12 Operações com potências de 10 Você pode perceber facilmente que seria complicado e trabalhoso efetuar operações com os números muito grandes, ou muito pequenos, quando escritos na forma comum. Quando estes números são escritos na notação de potências de 10, estas operações tornam-se bem mais simples, seguindo as leis estabelecidas na Matemática, para as operações com potências. Os exemplos seguintes o ajudarão a recordar estas leis: a) 0,0021 30 000 000 = (2,1 10 3 ) (3 10 7 ) = (2,1 3) (10 3 10 7 ) = 6,3 10 4 b) 7,28 105 4 10 8 = 7,28 4 105 = 1,82 10 3 108 c) (5 10 3 ) 3 = 5 3 (10 3 ) 3 = 125 10 9 d) 2,5 10 5 = 25 10 4 = 25 10 4 = 5 10 2 2
Observe como se procede na adição Nos exemplos apresentados, só apareceram as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Quando estivermos tratando com adição e subtração, devemos ter o cuidado de, antes de efetuar a operação, expressar os números com os quais estamos lidando na mesma potência de 10. Considerando os exemplos seguintes: a) 6,5 10 3 3,2 10 3 Neste caso, como os números já estão expressos na mesma potência de 10, poderemos efetuar a operação diretamente, como segue: b) 4,23 10 7 + 1,3 10 6 6,5 10 3 3,2 10 3 = (6,5 3,2) 10 3 = 3,3 10 3 Devemos, inicialmente, expressar as parcelas em uma mesma potência de 10. Isto pode ser feito escrevendo a primeira parcela como uma potência de 10 6, da seguinte maneira: 4,23 10 7 + 1,3 10 6 = 42,3 10 6 + 1,3 10 6 = = (42,3 + 1,3) 10 6 = 43,6 10 6 = 4,36 10 7 O cálculo pode ser efetuado de outra maneira, expressando a segunda parcela como uma potência de 10 7 : 4,23 10 7 + 0,13 10 7 = (4,23 + 0,13) 10 7 = 4,36 10 7 Ordem de grandeza (O. G.) Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, não há necessidade ou interesse em conhecer, com precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de seu valor. Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa sua medida, isto é: Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima deste número. Portanto, a ordem de grandeza de 92 é 10 2 porque 92 está compreendido entre 10 e 100, mas está mais próximo de 10 2. Da mesma forma, a ordem de grandeza de 0,00022 = 2,2 10 4 é 10 4. Assim, conhecendo as ordens de grandeza de diversas medidas, é fácil compará-las e podemos rapidamente distinguir a menor ou a maior entre elas e aquelas que são aproximadamente iguais. Frequentemente temos condição de obter a ordem de grandeza sem cálculos laboriosos, mesmo não possuindo o valor da grandeza medida, como veremos no exemplo 2 a seguir. 3
Exemplo 1 São dadas as seguintes medidas de comprimento: 3 10 3 m 4 10 2 m 7 10 6 m 7 10 6 m a) Qual a ordem de grandeza de cada uma delas? Na medida 7 10 6, considerando apenas o algarismo 7, sabemos que sua ordem de grandeza é 10. Logo, a ordem de grandeza de 7 10 6 será: 10 10 6 = 10 5 Podemos proceder da mesma forma para determinar a ordem de grandeza das outras medidas: 3 10 3 1 10 3 = 10 3 4 10 2 10 10 2 = 10 3 7 10 6 10 10 6 = 10 7 b) Qual a ordem crescente das medidas fornecidas? É evidente, observando a ordem de grandeza de cada uma, que temos: 7 10 6 < 3 10 3 < 4 10 2 < 7 10 6 Exemplo 2 Determine a ordem de grandeza do número de gotas de água que cabe em uma banheira. Devemos, inicialmente, determinar a ordem de grandeza do volume de uma banheira comum. Evidentemente, o comprimento da banheira estará compreendido entre 1m e 10m, isto é, entre as seguintes potências de 10: 10 0 m e 10 1 m. É fácil perceber, também, que esse comprimento está mais próximo de 1m. Logo, a ordem de grandeza do comprimento é 1m ou 10 0 m. Com raciocínio semelhante, concluímos que as medidas, tanto da largura, quanto da profundidade da banheira, estão mais próximas de 1m, isto é, a ordem de grandeza de ambas é 1m ou 10 0 m. Logo, a ordem de grandeza do volume da banheira é: 1 m 1 m 1 m = 1 m 3 Para encontrar a ordem de grandeza do volume da gota de água, vamos imaginar que essa gota tem a forma de cubo. A aresta desse cubo está compreendida entre 1mm (10 3 m) e 1cm (10 2 m), mas é claro que, para uma gota comum, essa aresta estará mais próxima de 1mm. Logo, a ordem de grandeza da gota é: 10 3 m 10 3 m 10 3 m = 10 9 m³ A ordem de grandeza do número de gotas que cabe na banheira será, portanto: Isto é, 1 bilhão de gotas! 1m³ 10 9 m³ = 109 gotas Na aula teórica veremos outro método para determinar essa ordem de grandeza. 4
Exercícios de fixação 1) Cite duas vantagens de escrever os números na notação de potências de 10. 2) Complete as igualdades seguintes, conforme o modelo: 3,4 10 5 = 340 000 a) 2 10 3 b) b) 8 10 5 3) Usando a regra prática sugerida no texto, escreva os números seguintes em notação científica e determine sua ordem de grandeza. a) 382 b) 21 200 c) 62 000 000 d) 0,042 e) 0,75 f) 0,000050 4) a) Dados os números 3 10 6 e 7 10 6, qual deles é o maior? b) Coloque os números a seguir, 4 10 5, 2 10 2 e 8 10 7, em ordem crescente de seus valores. 5) Efetue as operações indicadas. a) 10 2 10 5 b) 10 15 10 11 c) 2 10 6 4 10 2 d) 10 10 : 10 4 e) 10 15 10 11 f) 4,8 10 3 1,2 10 4 g) (10 2 ) 3 h) (2 10 5 ) 2 i) 16 10 6 6) Efetue as operações indicadas: a) 5,7 10 4 + 2,4 10 4 b) 6,4 10 7 8,1 10 7 7) Para adicionar ou subtrair dois números expressos em potências de 10, cujos expoentes são diferentes, o que deve ser feito antes de efetuar a operação? 8) Efetue as operações indicadas: a) 1,28 10 5 + 4 10 3 b) 7,54 10 8 3,7 10 7 5