Estudaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétricas e simétricas.

CAPÍTULO VII RETA Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 7.1. EQUAÇÕES DA RETA Estudaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétricas e simétricas. 7.1. 1. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Podemos associar cada ponto P(x, y, ) do espaço a um vetor cujo representante tem origem em O e extremidade no ponto P, indicado por OP = x i + y j + k ou, também, por OP = (x, y, ). Dados dois pontos A e P distintos, existe uma só reta r que passa por eles. Os pontos A e P definem a direção da reta. Uma equação da reta é obtida quando se conhecem as coordenadas de dois pontos fixos distintos ou, então, as coordenadas de um ponto fixo e a sua direção. A direção de uma reta é dada por um vetor v 0 paralelo a ela. v A u P r x i k O j y Fig. 7.1 Seja A o ponto fixo de r e P um ponto qualquer da reta. O vetor OP é a soma dos vetores OA e u. Isto é, OP = OA + u. O sentido e o comprimento de u variam conforme a localiação de P em r. Se r tem a direção de v, então v < u. Assim, existe real tal que u = v, que substituído na sentença acima, tem-se: OP = OA + v chamada de equação vetorial da reta r. 75

Vemos, pela equação vetorial, que a cada valor do parâmetro corresponde um só ponto P de r. Sendo OP = (x, y, ), OA = ( xa, ya, A) e v = (a, b, c) 0, então a equação vetorial é r: (x, y, ) = ( xa, ya, A) + (a, b, c),. (1) Nota: Se forem dados dois pontos distintos da reta A ( x A, y A, A ) e B ( x B, y B, B ), podemos tomar o vetor v como sendo v = AB = ( xb xa, yb ya, B A). Exemplificando: 1) Obter a equação vetorial da reta r, conhecendo-se os seus pontos A(2, 1, 0) e B(5, 0, 1). Temos que v = AB = (3, 1, 1). Utiliando o ponto fixo A, segue de (1) que: r: (x, y, ) = (2, 1, 0) + (3, 1, 1),. 7.1.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Partindo da equação vetorial (1), temos que : r: (x, y, ) = ( xa, ya, A) + ( a, b, c),. r: (x, y, ) = ( xa a, ya b, A c), Estabelecendo a igualdade das respectivas coordenadas, teremos as equações: x xa a r: y ya b,, (2) A c chamadas de equações paramétricas de r. Exemplificando: 2) Considerando a solução do exercício 1 acima, dê as equações paramétricas da reta r. x 23 r: y 1 1,. 0 1 7.1.3. EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA Considerando a Fig.7.1, vemos que u = OP OA = (x, y, ) ( xa, ya, A). O vetor u = (x x A, y y A, A ) é paralelo ao vetor direção da reta v = (a, b, c). Se a, b e c não forem eros, as raões entre as componentes de u e v são tais que: 76

x xa y ya Z * r :, a, b, c (3) a b c a forma (3) é chamada de equação simétrica de r. Exemplificando: 3) Obter a equação simétrica da reta r com direção v = (3, 1, 1), sabendo-se que o ponto A(2, 1, 0) pertence a r. Consideremos P(x, y, ) um ponto qualquer da reta r. Então, u = (x 2, y 1, 0) é paralelo a v = (3, 1, 1). Assim, x2 y1 r : 3 1 1 Nota: Se, por acaso, apenas a componente a for igual a ero, então a equação simétrica da reta é descrita pela equação: y ya A r:, x xa. b c y i x x A k j r x v = (0, b, c) Fig 7.2 Se apenas a componente b = 0, então a reta r esta contida no plano y = y A paralelo ao plano x. Se apenas a componente c = 0, a reta r esta contida no plano = A paralelo ao plano xy. Se a = b = 0 a equação simétrica da reta deve ser descrita por r: x xa, y ya. E, nesse caso, é paralela ao eixo. y r x x A i k j y ya y x v = (0, 0, c) Fig 7.3 77

A reta r: x xa, A tem vetor v = (0, b, 0) e é paralela ao eixo y. A reta r: y ya, A tem vetor v = (a, 0, 0) e é paralela ao eixo x. EXEMPLO 7.1 1) Dados o ponto A(2,1,3) e o vetor v = (3, 6, 7), obtenha as equações vetorial, paramétricas e simétrica da reta que contém o ponto A e tem a direção de v. a) Equação vetorial (1) r: (x, y, ) = (2, 1, 3) + (3, 6, 7),. b) Equações paramétricas x 2 3 r: y 1 6,. 3 7 c) Equação simétrica x2 y1 3 r :. 3 6 7 2) Dados os pontos A(3, 1, 2) e B(4, 0, 3), obtenha as equações vetorial, paramétricas e simétrica da reta r que contém os ponto A e B. Precisamos do vetor direção da reta r. Visto que não importam o módulo e nem o sentido desse vetor, tomaremos v = AB = (1, 1, 1). Considerando o ponto fixo A, segue que: d) Equação vetorial (1) r: (x, y, ) = (3, 1, 2) + (1, 1, 1),. e) Equações paramétricas x 3 r: y 1,. 2 f) Equação simétrica x3 y1 2 r :. 1 1 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7.1 1) Obtenha a equação simétrica da reta r, conhecendo-se os seus pontos A e B, sendo: a) A(1, 2, 5) e B(1, 3, 2) b) A(0, 1, 2) e B(1,1, 2) y 2 5 R. a), x 1 b) y 1, 2 5 3 2) Obtenha as equações paramétricas da reta r, sabendo-se que o ponto A pertence a r e que 78

r tem a direção de v : a) A(1, 2, 5) e v = (2, 1, 3) R. a) x = 1 + 2, y = 2 + e = 53, b) A(0, 2, 0) e v = (1, 1, 0) R. b) x =, y = 2 e = 0, 3) Obtenha a equação simétrica da reta s, sabendo-se que o ponto A pertence a s e que s é paralela a reta r: x1 y3 4 x y1 2 a) A(0, 1, 2) e r : R. s : 2 1 1 2 1 1 x1 1 x5 1 b) A(5, 4, 1) e r:, y 1 R. s:, y 4 1 2 1 2 4) Obtenha a equação vetorial da reta t, tal que o ponto P(1, 0, 2) pertence a t e que t é x1 x y1 ortogonal as retas r:, y 1 e s :. 2 1 1 2 2 R. (x, y, ) = (1, 0, 2) + (2, 3, 4),. 5) Dada a equação vetorial r: (x, y, ) = (1, 1, 2) + (2, 3, 4),, pede as equações paramétricas e simétrica de r. R. x = 1+2, y = 13 e = 2+4, 1 1 2 r: x y 2 3 4 6) Determinar, no sistema referência (O, i, j, k ), a posição das retas de equações: y 1 3 x 3 a) x 1,. b) y 2, 2 4 3 2 x y 1 c) 3,. d) x 1, y 2 2 2 e) x 0, 4. f) y 2, 2 R. a) contida no plano x = 1, paralelo plano y. b) contida no plano y =2, paralelo plano x. c) contida no plano = -3, paralelo plano xy. d) paralela ao eixo. e) paralela ao eixo y. f) paralela ao eixo x. 7) Dê uma equação da reta r, sabendo-se que P(1,2,0) r e que r é paralela a reta s: (x,y,) = (3,2,1) + (3,5,2),. R. r: (x,y,) = (1,2,0) + (3,5,2), 8) Determine a equação vetorial da reta que intercepta o eixo x no ponto de abscissa a (a>0) e o eixo y no ponto de ordenada b (b>0). R. r: (x,y,) = (a,0,0) + ( a,b,0), 9) Determine uma equação simétrica da reta que possui O(0,0,0) e A(1, 1/2, 1/3). R. x = 2y = 3 10) Dê as equações das retas que coincidem, respectivamente, com os eixos x, y e do sistema de referência. R. eixo x: (x,y,) = (0,0,0) + t(1,0,0), t, eixo y: (x,y,) = (0,0,0) + t(0,1,0), t e eixo : (x,y,) = (0,0,0) + t(0,0,1), t. 79

x 2 y1 3 11) Verifique se o ponto A(2,1, 3) pertence a reta. 2 1/2 4 R. Sim. 12) Verifique se o ponto B(1,8,3) pertence a reta x = 2+3t, y = 4+t e =108t. R. B não pertence a reta. 7.2. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS As retas r: X A + u, e s: X B + v,, podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Se forem paralelas ou concorrentes serão coplanares, pois existe um plano que as contém. Se forem reversas não serão coplanares. Coplanares-Concorrentes Coplanares-Paralelas B u r A u r I v s v s A s B B Não coplanares v Reversas A u r Fig 7.4 Critério para determinar se as retas são concorrentes, paralelas ou reversas: Construir o determinante com as coordenadas dos vetores u, v e AB. (produto misto) 1º) Se det(u, v, AB ) = 0, então as retas r e s são coplanares: a) u paralelo v, tem-se que as retas r e s são paralelas. Caso A r e A s, segue que r s (coincidem). Caso A r e A s, segue que r // s (distintas). b) u não paralelo v, tem-se que as retas r e s são concorrentes. 2º) Se det(u, v, AB ) 0, então as retas r e s não são coplanares. São reversas. EXEMPLO 7.2 1) Verifique a posição relativa das retas r:( x, y, ) (1,2,3) (1,3, 2), e x1 y 1 s :. 2 6 4 Temos que u = (1, 3, 2) e v = (2, 6, 4) são, respectivamente, os vetores direção das retas r e s. O vetor AB = (0, 2, 4) é obtido a partir dos pontos A(1, 2, 3) de r e B(1, 0, 1) de s. 80

Assim, det(u, v 1 3 2,AB ) = 2 6 4 0 2 4 = 0. Logo, as retas são coplanares. Os vetores u e v são paralelos, pois as suas coordenadas são proporcionais: 1 3 2 (1) 1 (2) (3) 1. Substituindo A(1, 2, 3) r na reta s, vemos que e, 2 6 4 2 6 4 portanto, A s. Assim, as retas r e s são paralelas distintas. 2) Verifique a posição relativa das retas r:( x, y, ) (1,2,3) (1,3, 2), e x1 y4 7 s :. 2 6 4 Temos que u = (1, 3, 2) e v = (2, 6, 4) são, respectivamente, os vetores direção das retas r e s. O vetor AB = (2, 6, 4) é obtido a partir dos pontos A(1, 2, 3) de r e B(1, 4, 7) de s. det(u, v 1 3 2, AB ) = 2 6 4 = 0. Logo, as retas são coplanares. 2 6 4 Os vetores u e v são paralelos, pois as suas coordenadas são proporcionais. (1) 1 (2) 4 (3) 7 Substituindo A(1, 2, 3) r na reta s, vemos que e, portanto, A s. 2 6 4 Assim, as retas r e s são paralelas coincidentes. 3) Verifique a posição relativa das retas r:( x, y, ) (2,1,1) (1,3, 2), e x1 y2 3 s :. 1 6 4 Temos que u = (1,3,2) e v =(1,6,4) são, respectivamente, os vetores direção das retas r e s. O vetor AB = (1,3, 2) é obtido a partir dos pontos A(2,1,1) de r e B(1,2, 3) de s. Assim, det(u, v 1 3 2, AB ) = 1 6 4 = 0. Logo, as retas são coplanares. Os 1 3 2 vetores u e v não são paralelos, pois as suas coordenadas não são proporcionais: 1 3 2. Então, as retas r e s são concorrentes. 1 6 4 Nota: Veremos em 7.3 um procedimento para se obter o ponto de intersecção de retas. 81

4) Verifique a posição relativa das retas r:( x, y, ) (2,1,1) (1,3, 2), e x2 y2 3 s :. 1 3 4 Temos que u = (1,3,2) e v =(1,3,4) são, respectivamente, os vetores direção das retas r e s. O vetor AB = (0,1, 2) é obtido a partir dos pontos A(2,1,1) de r e B(2,2, 3) de s. Assim, det(u, v 1 3 2, AB ) = 1 3 4 = 6. Logo, as retas não são coplanares. 0 1 2 Neste caso, são reversas. 7.3. INTERSECÇÃO DE RETAS Dadas duas retas r: X A + u, e s: X B + v,. Se verificarmos que det(u, v, AB ) = 0 e que u e v não são vetores paralelos, segue que as retas são coplanares concorrentes. Mostraremos, através do exemplo abaixo, os procedimentos para se obter o ponto I de intersecção das retas r e s. EXEMPLO 7.3 1) Obtenha o ponto de intersecção das retas r: ( x, y, ) (2,1,1) (1,3, 2), x1 y2 3 e s :. 1 6 4 a) Verificar a posição relativa das retas dadas. São concorrentes (Ex. 7.2.(3)). b) Escrever as retas em suas respectivas equações paramétricas: x 2 x 1 r: y 1 3, e s: y 2 6, 1 2 3 4 c) Montar um sistema de duas equações nas incógnitas e, identificando-se os x, y ou das equações paramétricas: 2 1 2 1 1 1 3 2 6 1 e 0. 1 3 2 6 1 2 3 4 2 1 d) Verificar se os valores encontrados satisfaem a terceira equação: 1 2(1) = 3 + 4(0) (verdade) e) Substituir 1 nas equações paramétricas de r (ou 0 nas equações de s) para obter o ponto de interseção x 2 x 2 ( 1) 1 r: y 1 3,, r: y 1 3( 1) 2 I(1, 2, 3). 1 2 1 2( 1) 3 O ponto de intersecção das retas r e s é I(1, 2, 3). 82

2) Obtenha o ponto de intersecção das retas r:( x, y, ) (0,2,1) (1,0,2), e s:( x, y, ) (0,1,0) (3,0,0),. Temos que u = (1, 0, 2) e v = (3, 0, 0) são, respectivamente, os vetores direção das retas r e s. O vetor AB = (0, 1, 1) é obtido a partir dos pontos A(0, 2,1) de r e B(0, 1, 0) de s. Assim, det(u, v 1 0 2,AB ) = 3 0 0 = 6. Logo, as retas são reversas. Portanto, 0 1 1 elas não se interceptam. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7.4. PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS Dadas duas retas r: X A + u, e s: X B + v,. Se u v = 0, então as retas r e s serão ortogonais: a) Concorrentes se det(u, v, AB ) = 0 (coplanares - perpendiculares) e b) Reversas se det(u, v, AB ) 0 (não coplanares). s s B B Fig. 7.5 v v X u r u r X A A EXEMPLO 7.4 x1 y2 3 x y 2 1 1) Dadas as retas r : e s :, verifique se 1 6 4 2 3 4 elas são ortogonais reversas. Temos que u = (1, 6, 4) e v = (2, 3, 4) são os vetores direção das retas r e s, respectivamente. A(1,2, 3) é ponto de r e B(0,2, 1) é ponto de s. Assim, AB =(1,0,2). Vejamos: a) u v = (1).2 + (6).3 + (4).4 = 0, logo, as retas r e s são ortogonais. 83

b) det(u, v 1 6 4, AB ) = 2 3 4 = 6 ( 0). 1 0 2 As retas r e s são ortogonais reversas. x1 y1 3 x 2 y4 5 2) Dadas as retas r : e s :, verifique se 1 6 4 2 3 4 elas são ortogonais reversas. Temos que u = (1, 6, 4) e v = (2, 3, 4) são os vetores direção das retas r e s, respectivamente. A(1,1,3) é ponto de r e B(2,4, 5) é ponto de s. Assim, AB =(3,3, 8). Vejamos: a) u v = (1).2 + (6).3 + (4).4 = 0, logo, as retas r e s são ortogonais. b) det(u, v 1 6 4, AB ) = 2 3 4 = 0. 3 3 8 As retas r e s são ortogonais coplanares, logo, são concorrentes - perpendiculares. O ponto de intersecção das retas r e s é I(0, 7, 1). (ver Ex. 7.3.(1)) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7.2 1) As retas r, s e t são concorrentes num ponto. Obter uma equação da reta t, sabendo-se x 2 y1 3 que P(2, 2, 3) pertence a reta t e que r : e s : x 1, y 0. 1 1 2 R. t:( x, y, ) (1,0,1) (1,2, 4), 2) As retas s, r e t são concorrentes num ponto. Obter uma equação da reta t, sabendo-se y 2 que t é ortogonal as retas r:, x 1 e s : x 1, 0. 3 2 R. t:( x, y, ) (1,2,0) (2,0,0), 3) Verifique a posição relativa entre a reta r: (x, y, ) = (1,2,3) + (2,1,3),, e a) s: (x, y, ) = (1,4,1) + (4,2,6), R. r // s b) s: (x, y, ) = (1,4,1) + (2,0,1), R. r e s são reversas c) s: (x, y, ) = (3,3,6) + (2,0,1), R. r e s são concorrentes d) s: (x, y, ) = (3,3,6) + (0,-3,1), R. r e s são perpendiculares 4) Determine, se houver, o ponto de intersecção das retas: a) r: (x, y, ) = (1,2,3) + (2,1,3),, e s: (x, y, ) = (3,3,6) + (2,0,1),. b) r: (x, y, ) = (1,2,3) + (2,1,3),, e s: (x, y, ) = (3,3,6) + (0, 3,1),. c) r: (x, y, ) = (2,1,3) + (1,3,1),, e s: (x, y, ) = (3,4,4) + (3, 1,0),. R. a) I(3,3,6) b) I(3,3,6) c) I(3,4,4) 5) Os pontos A(3, 5, 2) e B(1, 1, 2) pertencem a reta r e C(9,17,3) e D(4,2,13) pertencem a reta s. Qual é a posição relativa entre r e s?. R. r e s são paralelas 84