PROJETO KALI - 2015 MATEMÁTICA B AULA 1 Introdução Estudar e entender Matemática exige do aluno um esforço contínuo. Os conteúdos mais básicos são usados no aprendizado dos mais complexos e o raciocínio lógico aumenta a nossa capacidade de entendê-los. Desenvolveremos o raciocínio lógico e usaremos a lógica matemática para resolver problemas. Vamos aprender procedimentos que nos ajudam a interpretá-los e resolvê-los. Os números naturais Uma das maneiras de desenvolver o raciocínio lógico é saber lidar e ter uma certa intimidade com os números. Vamos começar pelos Naturais! Este primeiro conjunto de números contém aqueles que utilizamos para contar coisas, representar a quantidade de unidades que estão agrupadas. Matematicamente, representamos da seguinte forma: N = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, }, lembrando que as reticências indicam a infinidade de elementos. Podemos analisar o número natural algarismo por algarismo. Vejamos alguns exemplos: Ou seja: 12 = 1x10 + 2x1 100 = 1x100 + 0x10 + 0x1 Outro exemplo: 2015 = 2x1000 + 0x100 + 1x 10 + 5x1 Essa composição dos números naturais pode ser visualizada através do famoso material dourado. Essa ferramenta possui peças representando unidades, dezenas, centenas e milhares, como na figura abaixo Doze: 12 duas unidades uma dezena Cem: 100 nenhuma unidade nenhuma dezena uma centena FONTE 1 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/im agem/000000476/md.00000460.jpg
Desenvolvendo o raciocínio lógico O raciocínio lógico é importante por, entre outros, aumentar nossa capacidade de assimilação, entendimento e interpretação dos mais diversos conteúdos. Está ligado, também, a saber organizar as situações cotidianas e clarear as ideias, possibilitando ao indivíduo não somente resolver os problemas, mas fazê-lo melhor e mais facilmente. Nestes, sobretudo os matemáticos, o nível de atenção deve ser altíssimo para conseguirmos chegar em uma solução e não sermos pegos de surpresa no caminho nas famosas pegadinhas. Observação Chamamos de pegadinhas aquelas exceções facilmente esquecidas ou aquelas frases de duplo sentido que interferem na interpretação. Porém, como diria Chapolim Colorado: Não criemos pânico!, basta ter disciplina e paciência. Proposições e operações lógicas Proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que faz uma afirmação, podendo ser verdadeira ou falsa. Duas proposições possuem relações entre si, as chamadas operações lógicas. Operações lógicas são relações entre proposições, que expressam a dependência de um fato em relação a outro. Vejamos as mais importantes: condicional e bicondicional. Condicional A relação entre duas proposições é condicional quando é estabelecida uma condição entre elas: o acontecimento de uma implica no acontecimento da outra. O contrário não é necessariamente verdadeiro. Simbolizamos por: A B. ( A implica B ) Se ocorrer o fato A, ocorrerá o B (por consequência). Exemplo 1: Se eu faltar no Kali em duas aulas consecutivas, serei expulso do Projeto. Fato A: Faltar em duas aulas. Fato B: Ser expulso do Kali. Pelas regras do Projeto, é fato que, se houver duas faltas seguidas, o aluno é expulso. Mas o contrário não é verdadeiro: a ocorrência de B não exige que tenha ocorrido A. O aluno pode ser expulso por outros motivos. Bicondicional Na relação bicondicional, além de um fato implicar em outro, o contrário também é verdadeiro. Ou seja, além de garantir que A B, também garante que B A. Simbolizamos por: A B. ( A se e somente se B ) Só ocorre o fato A se ocorre B e vice-versa. Exemplo 2: Estarei vivo se, e somente se, eu não estiver morto. Fato A: Estar vivo. Fato B: Não estar morto. Apesar de parecer reduntante, são duas afirmações diferentes e tornam válida a relação bicondicional. Você só está vivo se não está morto e vice-versa (só não está morto se está vivo).
Tabela verdade (Condicional) Como já foi dito, as proposições podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas e elas podem ter relações entre si. Pensando na relação condicional, podemos montar uma tabela com todos os resultados possíveis da sentença A B. A B A B V V V F V V V F F F F V Exemplos Veremos agora exemplos de exercícios que são resolvidos com a ideia de analisar a veracidade das proposições e a relação entre elas. Exercício 1 (IBMEC) Para responder a essa questão, considere que todo indivíduo que contrai dengue apresenta febre alta e dores musculares. Carlos e Silvio deram entrada num hospital, com suspeita de dengue. Carlos apresentava febre alta e dores musculares, enquanto Sílvio se queixava de dores musculares, mas não apresentava febre. A partir dessas informações, pode-se concluir que: a) Carlos e Sílvio certamente contraíram dengue. b) Carlos certamente contraiu dengue, e Sílvio pode ou não ter contraído a doença. c) Carlos certamente contraiu dengue, e Sílvio certamente não contraiu a doença. d) Carlos pode ou não ter contraído dengue, o mesmo ocorrendo com Sílvio. e) Carlos pode ou não ter contraído dengue, e Sílvio certamente não contraiu a doença. Logo no início do enunciado, é dito que todo indivíduo que contrai dengue apresenta febre alta e dores musculares. Porém, não podemos afirmar que quem tem febre alta e dores musculares necessariamente contraiu dengue, já que outras doenças também possuem esses sintomas. Ou seja: Fato A: Contrair dengue. Fato B: Ter febre alta e dores musculares. É verdadeira a seguinte relação: A B. As alternativas que garantem que algum deles tem dengue estão erradas, pois não podemos afirmar com certeza. Assim, restam apenas as alternativas D e E, que diferem na situação de Sílvio. Devemos perceber que ele não pode ter dengue, pois não apresenta febre, fato necessário para garanti-la.
Exercício 2 (IBMEC) Considere as duas sentenças a seguir: (1) Se o filme já começou, então o telefone está (2) O telefone está desligado se, e somente se, o cidadão é educado. Sabendo que a sentença 1 é falsa e a sentença 2 é verdadeira, é correto concluir que: a) o filme já começou, o telefone não está desligado e o cidadão é educado. b) o filme já começou, o telefone está desligado e o cidadão é educado. c) o filme já começou, o telefone não está desligado e o cidadão não é educado. d) o filme não começou, o telefone está desligado e o cidadão é educado. e) o filme não começou, o telefone não está desligado e o cidadão não é educado. Exercício Analisemos os fatos: Fato A: Filme ter começado. Fato B: O telefone estar Fato C: O cidadão é educado. Sabendo que (1), A B, é falsa, concluímos que, se A é verdadeiro, B é falso. Por (2), B C, ser verdadeira, temos que C é falso. a) Está errada. Não faz sentido, por (2) ser verdadeira, que o telefone esteja ligado e que o cidadão seja educado. b) Está errada. Por (1) ser falsa, se o filme já começou, o telefone não está c) Está correta. d) Está errada. Não podemos afirmar com certeza que, se o filme não começou, o celular está e) Está errada. Não podemos afirmar com certeza que, se o filme não começou, o celular não está (IBMEC) Se a afirmação Se não é verdade eu dizer que eu não saiba onde ela não está, então ela não sabe dizer onde eu não estou. é falsa, então a) eu sei onde ela não está e ela sabe onde eu não estou. b) eu sei onde ela está e ela sabe onde eu não estou. c) eu sei onde ela não está e ela sabe onde eu estou. d) eu sei onde ela está e ela sabe onde eu estou. e) eu não sei onde ela não está e ela não sabe onde eu não estou. Observações: (1) Algo que não é verdade só pode ser mentira. (2) Se sei onde você está, sei também onde você não está, pois você só pode estar em um lugar em um certo instante. Logo, se não sei onde você não está, também não sei onde você está.
Proposição A: Se não é verdade eu dizer que eu não saiba onde ela não está. Proposição B: Ela não sabe dizer onde eu não estou. Sabendo disso, analisemos o primeiro trecho da sentença: Se é mentira eu dizer que eu não sabia onde ela não está. Já que é falso, então sei onde ela não está (I) (mas isso não garante que sei onde está). Portanto, a afirmação original se resume a: Se eu sei onde ela não está, então ela não sabe dizer onde eu não estou. Agora devemos considerar a afirmação falsa como foi proposto no enunciado. Lembremos, então, da Tabela Verdade. Como queremos que essa condicional seja falsa, temos que aplicar a terceira linha da tabela a seguir: A B A B V V V F V V V F F F F V Logo, devemos tomar a proposição B como falsa. Ela não sabe dizeronde eu não estou Ela sabe dizer onde eu não estou (II). Assim, por (I) e (II) a alternativa correta é a A. Para saber mais: Atividade! Muitas atividades foramcriadas pelo ser humano para aperfeiçoar o raciocínio lógico. Um jogo muito interessante é o PUZZLE. Assim como qualquer exercício de lógica, o Puzzle permite que cada pessoa crie sua própria linha de raciocínio para resolver o problema dado. Diante das restrições do jogo, veremos algumas técnicas para atingir a meta e contamos com vocês para descobrir novas. Como funciona? A primeira coluna do tabuleiro indica a quantidade de quadrados consecutivos que devem ser pintados em cada linha; a primeira linha, a quantidade qe deve ser pintada em cada coluna. Observemos alguns exemplos: 1 1 2 2 1 2 1 Temos as seguintes opções: Há também opções: A ordem também importa. Tente resolver o seguinte tabuleiro: 2 2 5 1 1 4 1 4 4 2 2 4 4 1 1 1 1