MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho MÓDULO 18 Exercícios de Revisão III
QUESTÃO 1 Uma instituição financeira abaixou a sua taxa de juros de 2,5% para 2,0%. Assinale a opção que apresenta, em porcentagem, a redução sobre a taxa inicial. a) 0,5 b) 5 c) 7,5 d) 15 e) 20
RESOLUÇÃO A redução foi de 0,5%. Calculando, em termos de percentagem sobre a taxa inicial, que era de 2,5%, 0,5 temos de redução. 2,5 20%
QUESTÃO 2 Observe os conjuntos A = {3,{3},5,{5}} e B = {3,{3,5},5}. Sabendo-se que n(x) representa o numero total de elementos de um conjunto X, e que P(X) é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto X, pode-se afirmar que: a) n(a B) = 3 b) n(a B) = 7 c) n(a B) = 2 d) n(p(a)) = 32 e) n(p(b)) = 16
RESOLUÇÃO Analisemos as alternativas: a) A B = {3,5} n(a B) = 2 b) A B = {3,{3},5,{5},{3,5}} n(a B) = 5 c) A B = {{3},{5}} N(A B) = 2 d) n(p(a)) = 2 n(a) = 2 4 = 16 e) n(p(b)) = 2 n(b) = 2 3 = 8
QUESTÃO 3 Se x = 7 200, y = 1024 40. 3 100 e z = 16 25. 625 50, pode-se afirmar que: a) x < y < z b) x < z < y c) y < x < z d) y < z < x e) z < x < y
RESOLUÇÃO x = 7 200 = 49 100 y = 1024 40. 3 100 = 2 400. 3 100 = 16 100. 3 100 = 48 100 z = 16 25. 625 50 = 2 100. 25 100 = 50 100 Como todos os expoentes são iguais, compararemos os números pela sua base, logo y < x < z.
QUESTÃO 4 O resultado da expressão (18700 2 + 20900 2 ) : (18700 x 20900) é aproximadamente igual a: a) 2,01 b) 2,03 c) 2,05 d) 2,07 e) 2,09
RESOLUÇÃO 18700 = 100. 11. 17 20900 = 100. 11. 19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 18700 20900 (100 11 17) (100 11 19) 100 11 (17 19 ) (17 19 ) 650 18700 20900 100 2 11 2 17 19 100 2 11 2 17 19 17 19 323 2,01
QUESTÃO 5 Observe o dispositivo abaixo. N x x x 1 No dispositivo acima, tem-se a decomposição tradicional em fatores primos de um numero natural N, em que a letra x está substituindo qualquer numero natural diferente de N, zero e um. Sendo y o numero total de divisores naturais de N, quantos são os valores possíveis para y? a) Três. b) Quatro. c) Cinco. d) Seis. e) Sete. x x x x
RESOLUÇÃO O enunciado nos diz que o número N tem quatro fatores primos (não necessariamente distintos). Analisaremos então os possíveis casos: CASO 1) N possui quatro fatores primos iguais, digamos p. N = p 4 d(n) = (4 + 1) = 5 CASO 2) N possui três fatores primos iguais, digamos p, e um fator primo q p. N = p 3. q d(n) = (3 + 1).(1 + 1) = 8 CASO 3) N possui dois fatores primos iguais, digamos p, e dois fatores primos q p. N = p 2. q 2 d(n) = (2 + 1).(2 + 1) = 9
RESOLUÇÃO CASO 4) N possui dois fatores primos iguais, digamos p, um fator q p e outro fator r p, r q. N = p 2. q. r d(n) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 CASO 5) N possui quatro fatores primos distintos, digamos p,q,r,s. N = p. q. r. s d(n) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 Não há outros possíveis casos, assim obtemos 5 possíveis valores para o número de divisores de N.
QUESTÃO 6 Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostado inicialmente, mais 25% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 25% do valor apostado inicialmente. Sabendo-se que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x e que foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido na jogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamente, o percentual de x obtido no final? a) 3,7 b) 4,7 c) 5,7 d) 6,7 e) 9,8
RESOLUÇÃO Como ganhar duas e perder duas significa multiplicar duas vezes pelo fator 1,25 e duas vezes pelo fator 0,25, a ordem não afeta o resultado final. Inicial: x 5 Ganha e ficam: 125% x 1,25x x 4 5 5 5 25 Ganha e ficam: 125% x x x 4 4 4 16 Perde e ficam: Perde e ficam: 25 1 25 25 25% x x x 16 4 16 64 25 1 25 25 25% x x x 0,098x 64 4 64 256 Logo, o percentual de x obtido no final é, aproximadamente, 9,8.
QUESTÃO 7 Uma expressão constituída por números de dois algarismos é do tipo, no qual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total de seis algarismos para toda a expressão. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos são todos distintos, o menor valor possível para toda a expressão é (Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo) a) 123 b) 132 c) 213 d) 231 e) 312
RESOLUÇÃO Para obtermos o menor valor possível os números que serão multiplicados devem começar por 1 e 2, e seus algarismos das unidades devem ser 0 e 3, respectivamente. O número que será subtraído deve ser o maior possível, ou seja, 98. 1 0 2 3 9 8 230 98 132
QUESTÃO 8 De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se foram feitos lotes de 5 DVDs sobram 2; se forem feitos lotes com 12 sobram 9 e se forem feitos lotes com 14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de modo a não haver sobra? a) 6 b) 8 c) 9 d) 13 e) 15
RESOLUÇÃO Sendo N a quantidade de DVDs, pode-se escrever: N = 5a + 2, a Z N + 3 = 5a + 5(a + 1) N = 12b + 9, b Z N + 3 = 12b + 12 = 12(b +1) N = 14c + 11, c Z N + 3 = 14c + 14 = 14(c + 1) Logo, N + 3 é múltiplo do MMC(5,12,14) = 420. N + 3 = 420k, k Z 500 < N < 1000 503 < N + 3 < 1003 503 < 420k < 1003 k = 2 N = 420. 2 3 = 837 N = 837 = 3 3. 31 A menor quantidade acima de 5DVDs por lote, de modo a não haver sobra é dada pelo menor divisor de 837 maior do que 5, ou seja, 9.
QUESTÃO 9 Sabe-se que: o número natural K dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; K dividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são os mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos algarismos de K é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
RESOLUÇÃO K = 56ª = 21B A = (xy) = 10x + y e B = (yx) = 10y + x 56(10x + y) = 21(10y + x) 7x = 2y Como x e y são algarismos, então x = 2 e y = 7. K = 56. 27 = 1512 A soma dos algarismos de K é 9.
QUESTÃO 10 O combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. O combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por: a) 5/3 b) 3/5 c) 2/5 d) 5/2 e) 3/2
RESOLUÇÃO Numa mistura de x litros de A e y litros de B, a quantidade de álcool é 0,2x + y. Se o percentual de álcool nesse combustível é 50%, então 0,2x y 1 x 1 5 0, 4x 2y x y y 0,6x x y 2 y 0,6 3