Revisado por: A. Patrícia Grajales Spilimbergo e Cláudia Piva FRACTAIS Algumas definições... Fractal: Um fractal é um objeto que pode ser obtido geometricamente ou aleatoriamente através de processos recursivos, respeitando a condição de autossemelhança, ou seja, uma parte do fractal ampliada ou reduzida é idêntica à figura vista como um todo. Muitas das estruturas dos fractais podem ser encontradas em formas da natureza. (NUNES, 2006, f. 29). Iteração: é um conjunto de procedimentos repetidos em série para construir um fractal. (NUNES, 2006, f. 30). Utilizando o software educacional GeoGebra, construiremos dois fractais: a curva de Koch, e uma variação dela: o floco de neve de Koch, e o triângulo de Sierpinski. Além de vivenciarmos uma experiência com a geometria fractal, cujas particularidades são desconhecidas por muitos, estaremos abordando alguns conceitos matemáticos contemplados no Ensino Médio através da análise destas construções.
Curva de Koch 1) Inicialmente, devemos ocultar os eixos ordenados. Para isso, você deve clicar na seta que aparece ao lado da escrita janela de visualização e selecionar o primeiro ícone que aparece. 2) Acima da barra de ferramentas, selecione opções, rotular e menos para os objetos novos. Assim, o GeoGebra não mostrará na janela de visualização os nomes dos objetos que construiremos a seguir. Esta ação garantirá que o nosso fractal fique com melhor aspecto visual. 3) No terceiro ícone da barra de ferramentas, selecione a opção segmento. Clique duas vezes na janela de visualização, deixando um espaçamento entre um clique e outro, para criar um segmento f limitado pelos pontos A e B. Já que optamos por não rotular os objetos, observe os nomes dos pontos e do segmento à esquerda, na janela de álgebra. 4) Utilizando a opção círculo dados centro e raio, clique no ponto A e digite para o valor do raio a terça parte do comprimento do segmento AB, ou seja, f/3. Repita o mesmo procedimento para o ponto B. 5) Com a ferramenta interseção de dois objetos, clique em uma das circunferências e, em seguida, no segmento AB. Repita o procedimento para a outra circunferência. Assim, você criará os pontos C e D. 6) Com a opção círculo dados centro e um de seus pontos, clique no ponto C e no ponto D, criando uma circunferência com centro em C e que passa pelo ponto D. Na sequência, clique primeiro no ponto D e depois no ponto C, obtendo, assim, uma circunferência com centro em D e que passa pelo ponto C. 7) Utilizando a ferramenta interseção de dois objetos, clique nas duas últimas circunferências criadas (na janela de álgebra, à esquerda, elas foram nomeadas por e e g). Assim, você terá os pontos de interseção E e F. 8) Na janela de álgebra, clique nas bolinhas azuis que aparecem ao lado da equação de cada circunferência. Assim, você ocultará as circunferências de sua construção. Oculte também o ponto E (ponto de interseção das circunferências que se encontra na parte inferior). 9) Selecione a opção segmento. Clique na seta que aparece ao lado da escrita janela de visualização e escolha uma cor de sua preferência (você também pode alterar a tonalidade através da barra deslizante que aparece logo abaixo das opções de cores). Clique nos pontos: A e C, C e F, F e D e D e B. 10) Ainda com a opção segmento selecionada, clique nos pontos C e D e mude a cor para branco. Altere também a largura da linha através do ícone que aparece ao lado da opção para alterar a cor.
11) Assim, fizemos a primeira iteração da curva de Koch. Sua construção deve estar de acordo com a imagem a seguir: Para facilitar o nosso trabalho, criaremos uma nova ferramenta do GeoGebra para fazer as próximas iterações. Para isso: selecione a opção Ferramentas que se encontra acima da barra de ferramentas e escolha criar uma nova ferramenta. Para a criação de uma nova ferramenta, precisamos definir objetos finais e iniciais. Os objetos finais são os elementos que constituem a iteração propriamente dita, ou seja, o resultado do processo de iterar. Os objetos finais são aqueles necessários para que se possa fazer a iteração. 12) Na janela que se abrirá, defina os segmentos h, i, j, k e l e os pontos C,D e F como objetos finais. Clique em próximo e defina os pontos A e B como objetos iniciais. Clique novamente em próximo e nomeie a ferramenta como Curva de Koch. Clique em concluído e localize a nova ferramenta na barra. 13) Na guia Arquivo, selecione a opção Novo para abrir uma janela em branco do GeoGebra. 14) Repita os procedimentos dos passos 1 e 2. Construindo um triângulo equilátero de lado definido... 15) Com a opção segmento com comprimento fixo, crie um segmento com a medida 9. Altere a cor do segmento para preto e a espessura da linha para a menor de todas. 16) Selecione círculo dados centro e raio. Clique no ponto A e digite 9 para o raio. Em seguida, clique no ponto B e também digite 9 para o raio. Se necessário, ajuste a tela para visualizar melhor: utilize ctrl - para reduzir e ctrl + para ampliar.
17) Com a ferramenta interseção de dois objetos, clique em uma das circunferências e, em seguida na outra, criando os pontos C e D. 18) Na janela de álgebra, oculte as circunferências e o ponto D (ponte de interseção que se encontra na parte inferior). 19) Una os pontos A e C e C e B com a opção segmento. Pronto, já temos um triângulo equilátero. Construindo o floco de neve de Koch... 20) Agora, utilizando a ferramenta curva de Koch que você criou anteriormente, clique, em sentido horário, nos vértices comuns a cada um dos lados do triângulo. Esta ação, resultará em uma estrela de 6 pontas. Matematicamente, um polígono côncavo de 12 lados. 21) Repita o procedimento do passo anterior, utilizando a ferramenta curva de Koch em cada um dos 12 lados do polígono. Esta é a segunda iteração do fractal. Faça também a terceira. Discussão: 1. Complete a tabela a seguir: Figura inicial (iteração 0) 1ª iteração 2ª iteração 3ª iteração Número de segmentos Comprimento de cada segmento 2. Observando os comprimentos dos segmentos escritos em ordem decrescente, o que é possível afirmar? 3. Qual será o comprimento de cada segmento após a 4ª iteração? E após a 6ª? 4. É possível definir uma lei que nos permita calcular o comprimento do segmento após qualquer quantidade de iterações?
Triângulo de Sierpinski 1) Na guia Arquivo, selecione Novo. Assim como fizemos com a curva de Koch, oculte os eixos e impeça que o GeoGebra rotule os objetos que você irá construir na nova janela. 2) Construa um triângulo equilátero conforme os passos de número 15 a 19 que utilizamos na curva de Koch. Porém, utilize 10 para a medida do segmento. 3) Utilizando a ferramenta ponto médio ou centro, clique nos vértices do triângulo, dois a dois, para marcar o ponto médio de cada um dos lados do triângulo. 4) Com a opção polígono selecionada, clique em um dos pontos médios, clique no segundo, no terceiro e, novamente no primeiro. Escolha uma cor de sua preferência para o triângulo recém-criado. Esta é a primeira iteração do triângulo de Sierpinski: observe que, além do triângulo colorido, você tem três triângulos brancos, que chamaremos de triângulos remanescentes. Pare e pense: quais são as características destes novos triângulos? 5) Até o momento, a tela do GeoGebra deve estar semelhante à esta: Assim como fizemos no passo 11 da curva de Koch, selecione a opção criar nova ferramenta. Defina o triângulo colorido (pol1) e os pontos médios como objetos finais. Clique em próximo e defina os pontos A, B e C (vértices do triângulo equilátero inicial) como objetos iniciais. Clique em próximo e nomeie a ferramenta como Triângulo de Sierpinski. 6) Utilizando a ferramenta que você acabou de criar, clique nos três vértices de cada um dos triângulos remanescentes. Esta é a segunda iteração do triângulo de Sierpinski.
7) Repita o procedimento anterior para fazer a terceira e a quarta iterações. Anote a quantidade de triângulos coloridos e triângulos remanescentes após cada iteração. Discussão: PARTE I 1. Calcule a área do triângulo equilátero inicial, considerando a medida que definimos para o lado (10 u.c.). 2. Sabendo a área do triângulo inicial, como podemos calcular a área do triângulo colorido que se formou após a primeira iteração? E a área de cada um dos triângulos colorido formados após a segunda iteração? 3. Escreva, em ordem decrescente, as quatro primeiras áreas obtidas. O que você observa? 4. Como podemos calcular a área do triângulo após a 6ª iteração? 5. Elabore uma expressão matemática que permita calcular a área dos triângulos formados após a n- ésima iteração. 6. Compare essa expressão com a que elaboramos para a curva de Koch: o que há de semelhante entre elas? Como elas são conhecidas no meio matemático? Que propriedades elas possuem? PARTE II 1. Complete a tabela abaixo com o número de triângulos remanescentes após cada iteração. Número da iteração (n) 0 1 2 3 4 Número de triângulos remanescentes (t) 2. Quantos triângulos restarão após a 7ª iteração? E após a 9ª iteração? Qual é a maneira mais prática para calcular estes valores? 3. Podemos dizer que n e t são variáveis que determinam uma função? Se sim, quem é a variável dependente e quem é a variável independente? Por quê? 4. Escreva uma lei através da qual é possível calcular o número de triângulos remanescentes após uma determinada quantidade de iterações. 5. Complete a tabela abaixo com os números das iterações que geraram as quantidades de triângulos remanescentes indicadas. Número da iteração (n) Número de triângulos remanescentes (t) 1 3 27 243 729
6. Reflita: o que há de diferente nos cálculos que completam esta tabela comparando-os aos da tabela anterior? 7. Neste caso, quem são as variáveis dependente e independente? Qual é a lei da função? 8. Que relação há entre esta função e a função anterior? Após construirmos dois fractais clássicos, agora é a sua vez! Utilizando as potencialidades do GeoGebra, crie o seu próprio fractal. Seguem algumas dicas: Não é preciso ser algo complexo: opte por coisas simples. Para iniciar, utilize uma figura geométrica (triângulo, quadrado, círculo, etc). Você também pode utilizar um ponto ou um segmento de reta. Explore a barra de ferramentas do software: ela possui muitas funcionalidades que lhe ajudarão nesta tarefa. Procure descobrir a função de cada um dos ícones. Lembre-se da condição de autossemelhança: cada parte, ampliada ou reduzida, deve ser igual ao todo. Utilize a criação de uma nova ferramenta para fazer as iterações de seu fractal.