Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Seja R a região interior ao círculo x y 4 e seja f definida f ( x, y) y 4 x. Calcule R f ( x, y) dx. dy. O gráfico de f é um hemisfério de raio r unidades e a região R forma a base deste hemisfério. O sólido acima de R e abaixo de f é, portanto, um sólido hemisférico de raio r unidades (ver figura); logo, seu volume vale: 1 4 16 r u.v. Portanto, R 4 x 16 y dx.dy 7
a QUESTÃO: (1,0 ponto) Considerando-se os conceitos de álgebra vetorial, calcule AxB C, sendo: A 1,0, 1, B,1, e C 5, 1, 0. 1 0-1 1 1 AxB C = 1 = 1. - 0. +(-). = - 0 +7 = 10-1 0 5 0 5-1 5-1 0 8
a QUESTÃO: (1,0 ponto) Para a superfície quádrica x 9y z 81: a) ache as interseções com x, y e z, se existirem; b) discuta a simetria; c) ache as seções perpendiculares aos eixos coordenados; d) ache os traços; e) identifique a superfície; f) esboce o gráfico. Cálculos e Respostas: Dividindo por 81, vemos que a equação tem a forma x y z a b c 1, onde a=9, b= e c=9. a) As interseções com x são (9,0,0). Não há interseção com y. As interseções com z são (0,0, 9). b) Todas as variáveis estão elevadas ao quadrado; logo, a superficie é simétrica em relação a todos os três planos coordenados, todos os eixos coordenados e a origem. c) A interseção com o plano x k é a curva z 9y 81 k, que é uma hipérbole exceto quando k 9. Quando k 9, a interseção com o plano x k é o par de retas concorrentes z y. A interseção com o plano y k é o circulo x z 81 9k de raio 81 9k. A interseção com o plano z k é a curva x 9y 81 k, que é uma hipérbole exceto quando k 9, que é o caso de duas retas concorrentes x y. d) Os traços são achados fazendo k 0 em (c ). O traço yz é uma hipérbole z 9y 81. O traço xy é a hipérbole x 9y 81. O traço xz é o circuito x z 81. e) A superfície é um hiperbolóide de uma folha na verdade um hiperbolóide de revolução em torno do eixo y. 9
f) O gráfico está representado abaixo 10
4 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Seja 4 w x y z sen xy. Verifique por cálculo direto que w w xyz zyx w Neste caso, x 4 y e w x 4 y, z yz w de modo que 8x y. Por outro lado, xyz w 4x y z y.cos xy e w 8x yz cos xy xy.sen xy, x yx w de modo que 8x y. Portanto, zyx w w 8 x y xyz zyx 11
5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Seja t t R (5. sen t)i (5. cos t) j, S e i e j, e w e 5t. Ache: d a) R d b) R. S d c) ( ws) a) b) d R d R R. R 50. sent.cos t 50cos t. sent 0 5 5. sen.t i (5.cos.t) j (5. sen.t) (5.cos.t). 10.cos.t i (10. sen.t) j d dr ds t -t R.S =.S + R. = (10.cost)i - (10.sent) j. e i + e j + t -t + 5.sent i +(5.cost) j..e i -.e j = t -t t -t = 10.cost.e - 10.sent.e + 10.sent. e - 10.cost.e = t -t = 10(cost + sent)(e - e ) c) d (ws) 5e 5e dw S w 5t t e t i 5e i e 7t ds t j e j e t 5t (.e i e t 7t i e t j e j) t i 7e 7t j 1
6 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um ventilador de 5 HP é usado em uma sala grande para promover a circulação de ar. Admitindo-se que essa sala seja bem isolada e selada, determine o aumento da energia interna depois de uma hora de operação. Cálculos e Respostas: Por superposição, Q=0, com EP 0 e EC 0, a primeira lei fica W U. O trabalho realizado é: W s 7 W ( 5HP). 746.(1h ). 600 1,4x10 HP h O sinal negativo é usado, de acordo com convenção, porque o trabalho é realizado sobre o sistema. Finalmente, o aumento de energia interna é: 7 7 U ( 1,4x10 ) 1,4x10 ou 1,4 M 1
7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) A pressão estática inicial em um duto de ar, conforme figura, é medida com um piezômetro como 16 mm de água. Uma sonda Pitot no mesmo local indica 4 mm de água. a) Calcule a velocidade de ar a 0 C; b) Calcule também o número de Mach; c) Comente sobre a compressibilidade do escoamento. Cálculos e Respostas: a) A equação de Bernoulli é aplicada entre dois pontos na linha de corrente que termina no ponto de estagnação da sonda de Pitot. O ponto 1 esta a montante e p é a pressão total no ponto ; logo, sem nenhuma mudança de elevação, V1 P1 PT g A pressão medida com o piezômetro é 1 h 9810x0,016 157 Pa. Usamos a lei de gás ideal para calcular a densidade. p 157 101.000 kg 1,0 RT 87x(7 0) m em que a pressão atmosférica-padrão, que é de 101.000 Pa (já que nenhuma elevação foi dada), é adicionada, uma vez que a pressão absoluta é necessária na equação precedente. As unidades são checadas, usando-se Pa=N/m e =N.m. A velocidade é, então:.(0,04 0,016x9810 m V1 (pt p1) 11,4, p 1,0 s em que as unidades podem ser verificadas, utilizando-se kg=n.s /m. b) Para achar o numero de Mach, devemos calcular a velocidade do som, que é m c krt 1,4 x87x9 4 s V 11,44 b) O número de Mach é, então, M 0, 04 c 4 14
c) Obviamente, o escoamento pode ser assumido como incompressível, uma vez que M < 0,. A velocidade teria de ser muito maior antes de a compressibilidade ser significativa. 15
8 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Uma bola de 50 g é arremessada de uma janela com uma velocidade inicial de 8 m/s e um ângulo de 0 para cima em relação à horizontal. a) Determine a energia cinética da bola no ponto mais alto da trajetória. b) Calcule a velocidade da bola quando se encontra metros abaixo da janela. c) A resposta do item b depende da massa da bola ou do ângulo de arremesso, ou de nenhum dos dois? ustifique. a) No topo da trajetória, a componente vertical da velocidade da bola é zero, enquanto sua componente horizontal continua sendo vh v0.cos0, onde v 0 é o módulo da velocidade da bola. A energia cinética K da bola de massa m é, portanto, 1 1 K mvh (50x10 ). 8. cos0 1,. b) Quando a bola se move com uma velocidade v a uma distancia h m abaixo da janela, sua energia potencial é menor que o seu valor inicial, a diferença sendo 1 1 igual a mgh. A conservação de energia então fornece mv0 mv mgh, obtendo-se m v v0 gh 8 ().(9.8).() 11. s c) Pela expressão anterior, percebe-se que v não depende nem da massa da bola nem do ângulo inicial. 16
9 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Suponha que a mesma quantidade de calor, por exemplo, 60, é transferida por condução de um reservatório a 400 K para outro a: a) 100 K b) 00 K c) 00 K Calcule o valor da entropia em cada caso. Cálculos e Respostas: a) Se T c =100 K, S H Q T H H 60 0,65 400 K S Q T 60 C C, 6 C 100 K S SH SC 0,65,6 1, 95 b) Se T c =00 K, QC 60 SC 1, S 0,65 1, 0, 65 TC 00 K K c) Se T c =00 K, K S C Q T C C 60 00 0,87 K S 0,65 0,87 0, K 17
10 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um objeto de 5 kg numa superfície horizontal sem atrito é ligado a uma mola com constante 1000 N/m. O objeto é deslocado 50 cm horizontalmente e empurrado a uma velocidade inicial de 10 m/s, na direção do ponto de equilíbrio. a) Qual a frequência do movimento? b) Qual a energia potencial inicial do sistema bloco-mola? c) Qual a energia cinética inicial? d) Qual a amplitude da oscilação? w a) A frequência do movimento é: f,5hz k. x b) A energia potencial inicial é U0 (0,5).(1000).(0,5) 15 m.v 0 c) A energia cinética inicial é K 0 (0,5).(5).(10) 50 d) Com a conservação de energia temos: E U 0 K 0 k. x m x m 0,87 m 18