Cap. 25 Capacitância Prof. Oscar Rodrigues dos Santos oscarsantos@utfpr.edu.br Capacitância 1
Capacitor Capacitor é um dispositivo que serve para armazenar energia elétrica. Tem a função de armazenar cargas elétricas para depois descarregá-las em um determinado momento específico. Aplicações: unidades de flash em máquinas fotográficas, laser pulsante, sensores de air bags, receptores de rádio e televisão (circuitos de corrente as capacitores podem lternada). Em eletrônica, podem ser utilizados para absorver variações na corrente e entregando um fluxo estável para os componentes ligados a ele. Vários tipos de capacitores. Capacitância 2
Capacitor Capacitor: dois condutores (placas) separados por um isolante ( ou imersos no vácuo). Quando o capacitor está carregado as placas possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos, +q e q, que fornece uma diferença de potencial fixa V entre as placas, dada por: V q C Diferença de potencial entre duas placas do capacitor C é a constante de proporcionalidade chamada de Capacitância do capacitor e depende da geometria das placas. Carga de um capacitor: valor absoluto q da carga de uma das placas. Unidade de Capacitância no SI é farad (F) Capacitor de placas paralelas 1 Farad (F) = 1 Coulomb por volt (C/V) Capacitância 3
Capacitor (a) Circuito formado por uma bateria B, numa chave S e as placas a e b de um capacitor. (b) Diagrama esquemático no qual os elementos do circuito são representados por seus símbolos. Quando a chave S é fechada passa a ter corrente elétrica entre os terminais devido ao campo elétrico criado pela bateria. Os elétrons se deslocam da placa a do capacitor para o terminal positivo da bateria e a placa a fica positivamente carregada. Os elétrons se deslocam do terminal negativo da bateria para a placa b e ela fica negativamente carregada. Isso ocorre até diferença de potencial do capacitor atinja o valor da bateria. Obs: Para análise futura: as cargas não podem passar de uma placa para a outra e o capacitor conserva a carga. Capacitância 4
Capacitância Para o cálculo da capacitância de capacitores com diferentes formas geométricas é conveniente seguir um método: Supor que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q; Calcular o campo elétrico entre as placas em função da carga, usando a lei de Gauss (q = ε 0 EA); Calcular V entre as placas a partir de E; Calcular C a partir dos valores de q e V. Capacitor de Placas Paralelas 0 A C d Capacitor de placas paralelas A: área da placa do capacitor; d: distância entre as placas Fig.: Capacitor de placas paralelas carregado com uma superfície gaussiana envolvendo a placa positiva e o caminho de integração para calcular V entre as placas. Capacitância 5
Capacitância Capacitor Cilíndrico C 2 0 ln L b a L>>b Capacitor Cilíndrico L: comprimento do capacitor; b: raio do cilindro externo; a: raio do cilindro interno. Fig.: Vista de perfil de um capacitor cilíndrico longo mostrando uma superfície gaussiana cilíndrica r e a trajetória de integração para o cálculo de V entre as placas. Capacitor cilíndrico: cabo coaxial Capacitância 6
Capacitância Capacitor Esférico C ab 4 0 b a Capacitor Esférico b: raio da casca esférica externa; a: raio da casca esférica interna. Fig.: Vista de perfil de um capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas. Capacitância 7
Capacitores Capacitor plano Capacitor eletrolítico Capacitância 8
Associação de capacitores Capacitores em Paralelo Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores em paralelo, V é a mesma entre as placas de todos os capacitores, e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores. n C eq C j j 1 n capacitores em paralelo Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais. V é igual para todos os capacitores q = q 1 + q 2 Fig.: (a) Três capacitores em paralelo. (b) Os dois capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente de capacitância C eq. Capacitância 9
Associação de capacitores Capacitores em Série Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores em série, a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada V. 1 n Ceq j 1 1 C j n capacitores em série Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial total V que os capacitores originais. q é igual para todos os capacitores V = V 1 + V 2 Fig.: (a) Dois capacitores em série. (b) Os dois capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente de capacitância C Capacitância 10 eq.
Energia armazenada em um Campo Elétrico A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor carregado é exatamente igual ao trabalho realizado para carregá-lo, ou seja, o trabalho necessário por uma força externa para separar cargas opostas e depositá-las em diferentes condutores. 2 q U 2 C Energia Potencial U 1 CV 2 2 A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associada ao campo elétrico que existe entre as placas. u 1 0E 2 2 Densidade de Energia (energia por unidade de volume) Unidade: J/m 3 Capacitância 11
Associação de capacitores Exemplo 1. (a) Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que aparece na figura abaixo, à qual é aplicada uma diferença de potencial V. Os valores das capacitâncias são C 1 = 12 µf, C 2 = 5,3 µf e C 3 = 4,5 µf. (b) A diferença de potencial aplicadas aos terminais de entrada é V = 12, 5 V. Qual é a carga de C 1? (c) Qual a energia armazenada em cada um dos capacitores? (3,57 µf; 31 µc) Capacitância 12
Associação de capacitores Exemplo 2. O capacitor 1, com C 1 = 3,55 F, é carregado por uma bateria de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é ligado, como na figura, a um capacitor descarregado 2, com C 2 = 8,95 F. Quando a chave S é fechada parte da carga de um dos capacitores é transferida para o outro. Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido. (6,35 C; 16 C) Capacitância 13
Associação de capacitores Exercício 1. Calcule a capacitância equivalente da combinação de capacitores da figura ao lado. (6 µf) (1) 2. (a) Determine a capacitância equivalente do circuito da Figura ao lado para C 1 = 10µF, C 2 = 5µF e C 3 = 4µF. (b) Qual a carga do capacitor 1 e 3 se V = 100 V e V 2 = 66,7V? (7,33 μf; 3,33 x 10-4 C e 4 x 10-4 C) (2) Capacitância 14
Exercício Associação de capacitores 3. O gráfico mostra o potencial elétrico V (x) em função da posição x para cada capacitor do circuito. O capacitor 3 tem uma capacitância de 0,80 F. Determine a capacitância do capacitor 1 e do capacitor 2. ( 2 F; 0,8 F) 4. Um capacitor tem placas paralelas cujas as placas tem uma área de 8,5 cm 2 e estão separadas por uma distância de 3 mm é carregado por uma bateria de 6V. A bateria é desligada e a distância entre as placas do capacitor é aumentada para 8mm. Determine (a) a nova diferença de potencial entre as placas; (b) a energia armazenada pelo capacitor no estado inicial; (c) a energia armazenada pelo capacitor no estado final; (d) a energia necessária para separar as placas. (16V; 4,5 x 10-11 J; 1,2 x 10-10 J; 7,52 x 10-11 J) Capacitância 15
Energia Potencial Elétrica Exercício 3. Um capacitor tem placas paralelas cujas as placas tem uma área de 8,5 cm 2 e estão separadas por uma distância de 3 mm é carregado por uma bateria de 6V. A bateria é desligada e a distância entre as placas do capacitor é aumentada para 8mm. Determine (a) a nova diferença de potencial entre as placas; (b) a energia armazenada pelo capacitor no estado inicial; (c) a energia armazenada pelo capacitor no estado final; (d) a energia necessária para separar as placas. (16V; 4,5 x 10-11 J; 1,2 x 10-10 J; 7,52 x 10-11 J) Capacitância 16
Capacitor com um dielétrico Fig.: Um tipo comum de capacitor utiliza placas dielétricas para separar os condutores. Quase todos os capacitores possuem entre suas placas condutoras um material isolante, ou dielétrico. Motivos: Resolve o problema mecânico de manter as duas placas metálicas separadas por uma distância pequena; Pode-se aumentar a diferença de potencial entre as placas, sem que haja ruptura dielétrica, acumulando maior quantidade de carga e energia; Aumenta a capacitância. Ruptura dielétrica: condução elétrica em um dielétrico quando submetido a um campo suficientemente elevado. Capacitância 17
Capacitor com um dielétrico Fig.: Dielétrico apolar entre as placas de um capacitor. (a) Círculos: átomos eletricamente neutros quando E 0 = 0 (capacitor descarregado). (b) O capo elétrico do capacitor separa ligeiramente as cargas das moléculas do material. (c) A separação produz cargas nas superfícies do material e criam um campo E que se opõe a E 0, resultando em um campo elétrico E menor que E 0 mas com mesma direção e sentido Os dielétrico enfraquecem o campo elétrico entre as placas de um capacitor. Desta forma, o potencial V também diminui e a capacitância C aumenta. Capacitância 18
Capacitor com um dielétrico Fig.: Equipamento usado por Farada em suas experiências com capacitores. Capacitor esférico formado por uma esfera centra de bronze e uma casca concêntrica feita de mesmo material. Rigidez dielétrica: Campo elétrico máximo que o material pode tolerar sem que ocorra a ruptura. C C 0 = constante dielétrica C: capacitância com um dielétrico; C 0 : Capacitância no vácuo. Capacitância 19
Capacitor com um dielétrico Fig.: (a) Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida por uma bateria B, o efeito de um dielétrico é aumentar a carga entre as placas. (b) Se a carga entre as placas é mantida fixa, o efeito do dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre as placas, como mostra o potenciômetro. Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica κ, a permissividade no vácuo ε 0 deve ser substituída por κε 0 em todas as equações. 0 0 Capacitância 20
Capacitor com um dielétrico Exemplo 3. Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pf é carregado por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V = 12,5 V entre as placas. A bateria é desligada e uma placa de porcelana (κ = 6,5) é introduzida entre as placas. Qual a variação da energia potencial do capacitor com a introdução da placa? (890 pj) Capacitância 21
Exercício Capacitor com um dielétrico 5. Qual é a carga armazenada nos capacitores de placas paralelas se a diferença de potencial da bateria é 12V? O dielétrico de um dos capacitores é o ar, o do outro, uma substância com κ = 3,00. Pra dois capacitores, a área das placas é 5 x 10-3 m 2 e distância entre as placas é de 2 mm. (7,9 x 10-10 C; 2,7 x 10-10 C) 6. Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual k = 5,5. A área das placas é 0,034 m 2 e a distância entre as placas é de 2 mm. O capacitor ficará inutilizado se o campo elétrico entre as placas exceder 200 kn/c. Qual é a máxima energia que pode ser armazenada no capacitor? (6,6 x 10-5 J) Capacitância 22