Tópicos de eletromagnetismo 2/2010 Prova 1 Soluções A C Tort 16 de Outubro de 2010 Problema 1 Lei de Gauss Um dodecaedro regular é um poliedro com doze iguais faces perfazendo uma área total área total A Suponha que uma carga q seja colocada no centro geométrico do dodecaedro (a) Calcule o fluxo do campo elétrico através de cada face do dodecaedro (b) Suponha que o campo elétrico seja aproximadamente uniforme em cada face do dodecaedro e calcule seu valor (c) Calcule, aproximadamente, a magnitude da força eletrostática entre a carga q e uma carga de teste q 0 no centro de uma face do dodecaedro (d) Suponha que uma segunda carga q seja colocada em um ponto exterior ao dodecaedro Determine o fluxo do campo elétrico criado por q através do dodecaedro (e) Suponha que esta segunda carga esteja a uma distância perpendicular D do centro geométrico de uma das faces Qual será agora, aproximadamente, a magnitude da força eletrostática sobre a carga de teste q 0 colocada no centro de uma face do dodecaedro Escreva as respostas em função dos dados do problema email: tort@ifufrjbr 1
SOLUÇÃO 1 : (a) Lei de Gauss: (b) (c) (d) (e) Φ = 0, Φ = q ǫ 0, Φ face = Φ 12 = q 12ǫ 0 EA = q ǫ 0, E = q F q 0 E = q 0q q está colocada em um ponto exterior à superfície gaussiana! F = q 0 q 4πǫ 0 d 2 q 0q Problema 2 Lei de Ampére A figura mostra uma espira condutora de raio R percorrida por uma corrente constante i 0 Também são mostradas algumas linhas de forçado campo indução magnética B representativas (a) Qual o valor da circulação de B se o caminho de integração coincide com a linha de força denotada por a? E se coincidir com a linha de força b? (b) O campo B sobre o eixo Z perpendicular ao plano que contém a espira e que passa por seu centro é dado por: Calcule: B = B z ẑ = µ 0 R 2 i 0 2 (R 2 + z 2 ) 3/2 ẑ + B z dz (c) Por que o caminho de volta pode ser ignorado? 2
a x b SOLUÇÃO 2 : (a) Pelo caminho fechado a a circulação de B vale µ 0 I, e pelo caminho b, µ 0 I (b) + B z dz = µ 0 i, um resultado aparentemente conflitante com a lei de Ampère, pois o caminho não é fechado O conflito é resolvido no item seguinte (c) O caminho de volta passa pelo infinito, onde o campo é nulo Problema 3 Lei de Faraday A figura abaixo mostra uma espira perfeitamente condutora, R = 0, quadrada, de lado l, que se move da esquerda para a direita, parcialmente imersa em um campo magnético uniforme e constante perpendicular ao plano da folha, apontando para dentro, descrito pela potencial vetorial A = (1/2)r B A espira tem indutância L A variável x(t) mede o quanto a espira está imersa no campo magnético no instante t (a) Calcule o campo indução magnética B (b) Mostre que a espira descreve um movimento harmônico simples (c) Obtenha uma expressão para a corrente induzida na espira x(t) B l v(t) 3
SOLUÇÃO 3 : (a) Portanto: (b) Solução padrão: constante: A = 1 2 r B = 1 ˆx ŷ ẑ 2 x y z 0 0 B z = 1 2 (yb z ˆx xb z ŷ) B = A = ˆx ŷ ẑ x y z yb z xb z 2 2 B z = B z ẑ como a espira é perfeitamente condutora, o fluxo magnético através da mesma deve ser Blx(t) + LI(t) = Φ 0 onde Φ 0 é uma constante A força sobre a parte móvel do circuito é dada por: A equação de movimento se escreve: F = I(t)lB ˆx m d2 x(t) A corrente induzida I(t) pode ser escrita como: = I(t)lB I(t)) = Φ 0 L + Blx(t) L Portanto, a equação de movimento pode ser rescrita como: ou ainda: d 2 x(t) = Φ 0lB l2 B 2 x(t), d 2 x(t) + l2 B 2 x(t) = Φ 0lB Este resultado é suficiente para mostrar que a espira descreve um MHS Solução alternativa: Portanto, Φ = 0 Segue que: Φ = Blx(t) + LI(t) = constante Convém mudar a notação: ẋ(t) v(t), logo: B l ẋ(t) + L I = 0 4
A força sobre a parte móvel do circuito é dada por: v(t) = L Bl di(t) e a equação de movimento permite escrever: F = I(t)lB ˆx, dv(t) Derivando uma vez mais em relação ao tempo: = I(t)lB m Ou ainda: d 2 v(t) = lb m di(t) = l2 B 2 m Lv(t) d 2 v(t) + l2 B 2 v(t) = 0 Como a velocidade da espira obedece a uma equação de OHS, ela será senoidal A posição x(t), que é a integral de v(t), também será uma função senoidal, logo, o movimento da espira é harmônico simples Se você derivar a equação diferencial para x(t) mais uma vez obterá esta equação, isto mostra que as duas soluções são equivalentes (c) A solução da equação diferencial para x(t) é dada por: x(t) = Φ ( ) 0 lb lb + C 1 cos t + C 2, onde o termo constante é a solução particular e o cosseno, a solução da homogênea As constantes C 1 e C 2 dependem das condições iniciais A corrente pode ser obtida com, por exemplo, a relação: I(t)) = Φ 0 L + lb x(t) L = 2 Φ 0 L + l B ( ) lb L C 1 cos t + C 2 5