Introdução à Álgebra Max-Plus III Colóquio de Matemática da Região Sul

A. T. Baraviera e Flávia M. Branco Introdução à Álgebra Max-Plus III Colóquio de Matemática da Região Sul Florianópolis, SC 2014

A. T. Baraviera e Flávia M. Branco Introdução à Álgebra Max-Plus III Colóquio de Matemática da Região Sul Minicurso apresentado no III Colóquio de Matemática da Região Sul, realizado na Universidade Federal de Santa Catarina, em maio de 2014. Florianópolis, SC 2014

"... e a vida o que é? diga lá meu irmão ela é a batida de um coração... " (Luiz Gonzaga Júnior) Ao Pedro

Resumo Nesse texto introduzimos a álgebra max-plus, motivando brevemente a teoria e apresentando seus aspectos mais elementares; os conceitos de autovetor e autovalor são apresentados nesse contexto bem como a ideia de polinômios, seus gráficos e interseções. Fazemos também um breve desenvolvimento de formas quadráticas e conjuntos convexos no sentido max-plus. Palavras-chaves: max-plus. autovalor. autovetor. polinômio.

Lista de ilustrações Figura 1 Gráfico de p(x) = 2 (3 x)......... 37 Figura 2 Gráfico de q(x) = 2 (1 x) ( 1 x x x) 38 Figura 3 Gráfico de r(x) = ( 1 x) (x x)..... 39 Figura 4 Região max-plus (x x) (y y) = 1.... 48 Figura 5 Região max-plus x y 1 = 0........ 51

Sumário Introdução................... 11 1 Motivação................... 13 1.1 Tempo de Tarefas Combinadas......... 13 1.2 Ganho com Tarefas Repetidas......... 14 1.3 Crescimento Exponencial de Funções Reais.. 15 2 Conceitos Básicos............... 19 2.1 Semianel..................... 19 2.2 Álgebra Max-Plus................ 20 3 Álgebra Linear Max-Plus........... 23 3.1 Vetores...................... 23 3.2 Funções Lineares................ 24 3.3 Matrizes..................... 25 4 Autovalores e Autovetores Max-Plus.... 31 5 Polinômios Max-Plus............. 37 5.1 Raízes...................... 40 5.2 Interseção de Polinômios............ 41 5.3 Polinômios Min-Plus.............. 44 6 Formas Quadráticas Max-Plus........ 47 6.1 Definindo Regiões................ 47 6.2 Forma Quadrática................ 48 6.3 Forma Quadrática em R n............ 49 6.4 Outra Forma de Definir Regiões........ 50 7 Conjuntos Convexos.............. 55

7.1 Convexidade em R 2............... 55 7.2 Convexidade Max-Plus............. 56 Referências................... 61

11 Introdução Estas notas têm o objetivo de servir de apoio ao minicurso Introdução à Álgebra Max-Plus ministrado no III Colóquio de Matemática da Região Sul realizado na Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC, em Florianópolis. Não sendo especialistas no assunto (no qual chegamos por um caminho indireto) desejamos apenas fazer um texto de caráter bastante elementar, que sirva de motivação e de primeiro passo para que os leitores procurem depois bibliografia mais especializada e possam se aprofundar nesse rico assunto se sua curiosidade for despertada por essas poucas linhas. Um texto básico interessante é [3]; para algumas aplicações o leitor pode consultar, por exemplo, [1] e [4]. Por fim, uma outra sugestão é visitar a página maxplus.org que apresenta uma série de referências sobre o assunto, em diversos níveis de complexidade. Agradecemos aos organizadores do evento, em especial a Artur Lopes, pela oportunidade de apresentar esse mini-curso. Todo texto está longe de ser perfeito e esse não é uma exceção; o leitor que quiser nos comunicar erros, fazer comentários ou apenas discutir um pouco dos assuntos aqui apresentados pode entrar em contato por meio de nossos endereços eletrônicos baravi@mat.ufrgs.br fmbranco@mat.ufrgs.br. A. T. Baraviera Flávia M. Branco

13 1 Motivação A álgebra max-plus é basicamente a álgebra dos números reais (com uma extensão, que será feita no momento certo) munidos de duas operações binárias, a saber a b = max(a, b) e a b = a + b; existem algumas motivações distintas para a introdução desse objeto matemático, algumas vindo da área de pesquisa operacional, como veremos a seguir. 1.1 Tempo de Tarefas Combinadas Vamos imaginar, por exemplo, que em uma fábrica um determinado trabalhador i precisa esperar a conclusão das tarefas de dois de seus colegas, j e k, de forma a poder realizar sua parte do trabalho. Imagine que j leva um tempo T ij para concluir e entregar sua tarefa a i e k leva um tempo T ik para também concluir e entregar sua tarefa a i. Já i, para realizar sua própria tarefa, gasta um tempo a i. Qual é o tempo total envolvido no trabalho? Como i precisa esperar pelo trabalho de j e k para só então executar sua tarefa temos que o tempo total nesse caso será a i + max {T ij, T ik }. Na notação introduzida acima isso pode ser reescrito como a i (T ij T ik ). Se agora consideramos um conjunto maior de trabalhadores, é possível utilizar o mesmo formalismo para determinar o tempo total de execução de um trabalho e isso permite, entre outras coisas, estudar melhor o processo de forma a torná-lo, por exemplo, mais eficiente como um todo.

14 Capítulo 1. Motivação 1.2 Ganho com Tarefas Repetidas Imaginemos que numa dada situação certas tarefas sejam executadas em sequência e o ganho depende da ordem em que isso é feito. A informação do ganho pode então ser traduzida numa matriz A onde cada entrada A ij significa exatamente o ganho quando uma certa tarefa inicial i é seguida de outra tarefa j, ambas escolhidas em uma lista com d opções. Nesse caso, sabendo que devemos começar com uma tarefa i, executar alguma tarefa k e terminar com a execução de j, qual é o ganho total? Claramente é dado por A ik + A kj = A ik A kj E de que forma podemos escolher a tarefa intermediária k de forma a maximizar o ganho? Nesse caso queremos max k {A ik + A kj } = max {A ik A kj } = k k A ik A kj Como o leitor verá no capítulo sobre a álgebra linear max-plus, isso corresponde exatamente a entrada ij do produto matricial AA (no sentido max-plus). Naturalmente podemos fazer a mesma pergunta com q tarefas intermediárias k 1, k 2,..., k q : max k 1,k 2,...,k q {A ik1 + A k1k 2 + + A kqj} = = max k 1,k 2,...,k q {A ik1 A k1k 2 A kqj} = k 1,k 2,...,k q A ik1 A k1k 2 A kqj

1.3. Crescimento Exponencial de Funções Reais 15 E esse termo corresponde exatamente a entrada ij de A q+1. Desta forma, o formalismo de álgebra linear max-plus corresponde ao problema de se maximizar o ganho num processo como o descrito acima. 1.3 Crescimento Exponencial de Funções Reais De um ponto de vista puramente matemático, podemos ver essa álgebra como, por exemplo, a estrutura básica que descreve o crescimento exponencial de funções reais. Mais precisamente: dada uma função h: R R, tal que h(x) > 0, definimos o crescimento exponencial de h como sendo o limite (claro, na situação em que o referido limite existe) e(h) = 1 lim log h(x). x + x Para fixar ideias, considere o caso simples f(x) = e ax e g(x) = e bx. Da definição é imediato que e(f) = a e e(g) = b. Convidamos o leitor a obter e(x 2 e ax ). Já para uma função como h(x) = x não é difícil ver que e(x) = 0 e de fato isso seria verdade também para qualquer potência de x, o que é uma tradução precisa do fato que muitas vezes é lembrado na afirmação (nada incomum num curso de cálculo) de que uma potência cresce mais lentamente em função de x do que uma função exponencial. Exemplo 1.1. Qual é o crescimento exponencial da função real f(x) = e xsen x? Nesse caso 1 x log f(x) = 1 xsen x = sen x x

16 Capítulo 1. Motivação Bem, a função sen x não tem um limite quando x + (pois fica sempre oscilando entre 1 e +1). Portanto nesse caso não faz sentido falar em e(f). Então podemos agora, supondo f e g funções para as quais e(f) e e(g) estão bem definidos, indagar qual é o crescimento exponencial de fg ou f + g? Voltando aos nossos exemplos, note que (fg)(x) = e ax e bx = e (a+b)x e assim temos que a função fg cresce exponencialmente com uma taxa a + b, ou seja, e(f)+e(g). Portanto e(fg) = e(f)+e(g) = e(f) e(g). Para f+g, temos que (f +g)(x) = e ax +e bx = e max {a,b}x (1+e kx ), onde k = min {a, b} max {a, b} < 0. Logo, e(f + g) = max {e(f), e(g)} = e(f) e(g). De fato isso não é válido apenas nesses exemplos, mas sim em geral: Lema 1.1. Dadas duas funções reais f e g tais que e(f) e e(g) estão bem definidos, então e(f.g) = e(f) + e(g) = e(f) e(g) e e(f + g) = max {e(f), e(g)} = e(f) e(g) Demonstração. Para a primeira igualdade, note que 1 e(f.g) = e (f(x)g(x)) = lim x x 1 = lim x = lim x log f(x)g(x) x log f(x) + 1 log g(x) x 1 log f(x) + lim x x = e(f) + e(g) = e(f) e(g) 1 log g(x) x

1.3. Crescimento Exponencial de Funções Reais 17 Para a segunda igualdade, vamos esboçar as principais ideias da prova. Como e(f) e e(g) estão bem definidos, podemos pensar que, para valores suficientemente grandes de x, f(x) = C f e e(f)x e g(x) = C g e e(g)x onde C f e C g são tais que 1 lim x x log (C 1 f (x)) = 0 e lim x x log (C g(x)) = 0 Vamos assumir, sem perda de generalidade que e(f) e(g). Então: 1 e(f + g) = lim log (f(x) + g(x)) x x 1 = lim x x log (C f e e(f)x + C g e e(g)x ) = lim x como afirmamos. 1 (C x log f e e(f)x( 1 + (C g /C f )e (e(g) e(f))x)) 1 = lim x x log ee(f)x = e(f) = max {e(f), e(g)} = e(f) e(g) Exercícios 1) Obtenha o crescimento exponencial e(f) (se este estiver definido) para as seguintes funções: a) f(x) = e5x+sen (x) b) f(x) = 3x 2 5 x c) f(x) = 4x + (1/10) x

19 2 Conceitos Básicos Neste capítulo lembramos algumas definições básicas da álgebra e enunciamos as principais propriedades das operações e que foram brevemente mencionadas no capítulo anterior. 2.1 Semianel Um semianel é um conjunto S dotado de duas operações binárias + e tais que: 1 - (S, +) é um monóide comutativo com elemento identidade 0, ou seja: i) (a + b) + c = a + (b + c) ii) 0 + a = a + 0 = a iii) a + b = b + a seja: 2 - (S, ) é um monóide com elemento identidade 1, ou i) (a b) c = a (b c) ii) 1 a = a 1 = a 3 - A multiplicação é distributiva à direita e à esquerda: i) a (b + c) = (a b) + (a c)

20 Capítulo 2. Conceitos Básicos ii) (a + b) c = (a c) + (b c) 4 - A multiplicação por 0 anula S, ou seja, resulta no próprio elemento identidade de +: i) 0 a = a 0 = 0 Se o leitor deseja ver um exemplo de semianel então podemos exibir um velho familiar, o conjunto R munido das operações usuais de adição e subtração. No entanto há uma diferença: dado um número real qualquer x então temos que existe o oposto x, que também é real, e tal que x + ( x) = 0. Isso faz de R um conjunto ainda mais especial, uma estrutura que é chamada de anel. Portanto, ainda que esse seja um exemplo de semianel, podemos dar um exemplo mais genuíno, no sentido que em que não é um anel (ou seja, basicamente não tem a propriedade do oposto), mas deixamos isso para a próxima seção. 2.2 Álgebra Max-Plus Neste texto usaremos a notação R = R { } para o conjunto R estendido (com a inclusão de ), com a convenção x + ( ) = para todo ponto x R. Esse conjunto será dotado de duas operações: a b = max(a, b) a b = a + b.

2.2. Álgebra Max-Plus 21 Com essa notação, temos que a ( ) = a, mostrando que é o elemento neutro para a operação binária. Além disso, podemos reescrever a convenção acima como a ( ) =, o que verifica a condição (4) da definição de semianel. Para a operação temos que a 0 = a+0 = a para todo a R, mostrando que 0 é o elemento neutro da mesma. Deixamos como exercício para o leitor verificar as demais propriedades das operações e. Desta forma, definimos a álgebra max-plus como sendo o semianel munido das operações e sobre o conjunto de reais estendidos R. Algumas das principais propriedades dessa álgebra estão resumidas no resultado abaixo: Lema 2.1. Dados a, b e c em R, temos 1 - Associatividade: a (b c) = (a b) c e a (b c) = (a b) c 2 - Comutatividade: a b = b a e a b = b a 3 - Distributividade: a (b c) = (a b) (a c) 4 - Identidade aditiva: a ( ) = ( ) a = a 5 - Identidade multiplicativa: a 0 = 0 a = a 6 - Inverso multiplicativo: se a então existe um único b tal que a b = 0 7 - Elemento absorvente: a = a = 8 - Idempotência da adição: a a = a.

22 Capítulo 2. Conceitos Básicos Demonstração. Mostraremos aqui algumas das propriedades acima, deixando as demais como exercício para o leitor. A distributividade, por exemplo, segue naturalmente de a (b c) = a + max(b, c) = max(a + b, a + c) = (a b) (a c). Para o inverso multiplicativo, basta notar que para cada a real podemos tomar b = a (o que ocorreria se a =?) e então a b = a + ( a) = 0. Note que o elemento não tem oposto; exatamente por isso esse conjunto, dotado dessas operações, não é um anel (e assim temos um exemplo mais legítimo, que é semianel mas que não é anel). Exercícios 1) Obtenha o resultado das seguintes operações: a) (34 π) π b) ( 2 4 c) (7 8) ( 4) ( 63 3) d) (4 x) 3 = 9

23 3 Álgebra Linear Max-Plus Nesse capítulo desenvolveremos o formalismo da álgebra linear quando produto e adição usuais são trocados por suas versões max-plus. 3.1 Vetores Um vetor d-dimensional v é um elemento de R d, que é denotado por v = (v 1, v 2,..., v d ), ou, como também é usual, representado como um vetor coluna v = v 1 v 2. v d. Dados dois vetores u e v em R d e um escalar λ R d, podemos definir a soma vetorial como sendo u v := (u 1 v 1, u 2 v 2,..., u d v d ), e o produto por escalar como λ u := (λ u 1, λ u 2,..., λ u d ). como Não é difícil ver que o vetor (x 1, x 2 ) pode ser escrito (x 1, x 2 ) = ( ) ( ) x 1 (0, ) x 2 (, 0)

24 Capítulo 3. Álgebra Linear Max-Plus 3.2 Funções Lineares Definição 3.1. Dizemos que uma função f : R d R D é linear se 1) f(λ v) = λ f(v) 2) f(u v) = f(u) f(v) Exemplo 3.1. Considere f(x 1, x 2 ) = (a 1 x 1 ) (a 2 x 2 ), então não é difícil verificar que f é linear. O exemplo acima, na verdade, é a forma geral de uma função linear do espaço R 2 em R, como mostramos no lema abaixo. Lema 3.1. Uma função f : R 2 R é linear se e somente se f(x 1, x 2 ) = (a 1 x 1 ) (a 2 x 2 ) Demonstração. Dada uma função f : R 2 R linear então, como ( ) ( ) (x 1, x 2 ) = x 1 (0, ) x 2 (, 0) temos que ( ) ( ) f(x 1, x 2 ) = f( ) x 1 (0, ) x 2 (, 0) = ( ( x 1 f (0, )) ) ( ( ) ) x 2 f (, 0) = (a 1 x 1 ) (a 2 x 2 ) ( ) ( ) onde a 1 = f (0, ) e a 2 = f (, 0). A recíproca é deixada ao leitor como exercício.

3.3. Matrizes 25 3.3 Matrizes Uma matriz m n A é definida como no caso usual, um arranjo de m colunas e n linhas. Dadas duas matrizes m n A e B, definimos a soma matricial A B como sendo a matriz m n cujas entradas são (A B) ij := A ij B ij = max {A ij, B ij }. Dado λ R, podemos também definir a matriz λ A como sendo a matriz m n cujas entradas são (λ A) ij = λ A ij = λ + A ij. Das propriedades básicas das operações and, não é difícil verificar que as operações com matrizes satisfazem as seguintes propriedades: Lema 3.2. Dadas A, B e C matrizes m n e dado um λ R então temos: 1 - Existe uma matriz m n [ ] tal que A [ ] = A; 2 - A B = B A; 3 - A (B C) = (A B) C; 4 - λ A = A λ; 5 - λ (A B) = (λ A) (λ B). Demonstração. Vamos provar as propriedades 1, 4 e 5. As demais são deixadas como exercício para o leitor.

26 Capítulo 3. Álgebra Linear Max-Plus Para mostrar a propriedade 1, basta observar que, para qualquer elemento A ij da matriz A, max(a ij, ) = A ij. A propriedade 4 é verdadeira pois λ A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n.... = A m1 A m2... A mn = λ + A 11 λ + A 12 λ + A 1n λ + A 21 λ + A 22 λ + A 2n.... λ + A m1 λ + A m2... λ + A mn = A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n.... λ A m1 A m2... A mn Mostramos a propriedade 5 observando que: λ (A B) = = λ + max(a 11, B 11 ) λ + max(a 1n, B 1n ) λ + max(a 21, B 21 ) λ + max(a 2n, B 2n )... λ + max(a m1, B m1 ) λ + max(a mn, B mn )

3.3. Matrizes 27 = max(λ + A 11, λ + B 11 ) max(λ + A 1n, λ + B 1n ) max(λ + A 21, λ + B 21 ) max(λ + A 2n, λ + B 2n )... max(λ + A m1, λ + B m1 ) max(λ + A mn, λ + B mn ) = (λ A) (λ B) Dadas uma matriz m n denotada por A e uma matriz n l denotada por B definimos o produto matricial A B como sendo a matriz m l cujas entradas são (A B) ij = k (A ik B kj ) = max (A ik + B kj ). k Algumas propriedades básicas do produto matricial estão listadas no resultado abaixo. Lema 3.3. Sejam A uma matriz m n, B uma matriz n p e C uma matriz p q. Então temos que: 1 - (A B) C = A (B C) 2 - λ (A B) = A(λ B) = (A B) λ 3 - Se B e C são matrizes de mesma ordem então A (B C) = (A B) (A C) Demonstração. Para provar a propriedade 1, vamos considerar as matrizes m q dadas por D = (A B) C e E = A (B C)

28 Capítulo 3. Álgebra Linear Max-Plus e mostrar que (D) ij = (E) ij. De fato, p ) ) (D) ij = ((A B) il C lj = max ((A B) il + C lj l {1,,p} l=1 ( = max l {1,,p} ( = max l {1,,p} ( = max k {1,,n} max k {1,,n} max k {1,,n} max l {1,,p} ( = max k {1,,n} A ik + (A ik + B kl ) + C lj ) (A ik + B kl + C lj ) ) (A ik + B kl + C lj ) ) max l {1,,p} (B kl + C kl ) ) = n ) (A ik (B C) kj = (E) ij k=1 Pelo lema 3.2 temos que λ (A B) = (A B) λ então, para provarmos 2, basta mostrarmos que λ (A B) = A(λ B). ( ) ) λ (A B) = λ + (A B) ij = λ + max (A ik + B kj ij k ) = max (A ik + λ + B kj k ( ) = A(λ B) Para mostrar 3, vamos verificar que: ( ) A (B C) = max k ( ) A ik + max(b kj, C kj ) ij = max (A ik + B kj, A ik + C kj ) k ( ) = (A B) (A C) ij ij

3.3. Matrizes 29 Se m = n dizemos que a matriz A é uma matriz quadrada de ordem n. Considere a matriz 0... 0... I n =......... 0 Então podemos mostrar que A I n = I n A = A, para qualquer matriz A de ordem n. Exercícios 1) Efetue as operações indicadas: [ ] [ ] 1 3 0 a) 4 2 4 [ ] [ ] 0 3 b) 4 2 [ ] ([ ] [ 1 0 1 4 2 c) 2 4 1 1 0 0 0 d) 1 0 0 1 1 1 2 ])

31 4 Autovalores e Autovetores Max-Plus Vamos considerar uma matriz quadrada A de ordem n cujas entradas são elementos de R e um vetor coluna v (que nada mais é do que uma matriz n 1). Da definição de produto matricial temos que a matriz A v, de ordem n 1, assume a forma: (A v) i = j (A ij v j ) = max (A ij + v j ). j Dado λ R temos também que λ v = (λ v 1,..., λ v n ) = (λ + v 1,..., λ + v n ). Nesse contexto uma questão totalmente natural é a procura de autovalores e autovetores de A no sentido max-plus, ou seja, soluções da equação A v = λ v. Essa equação pode ser traduzida, em termos das operações usuais, como sendo max (A ij + v j ) = λ + v i para todo i = 1,..., n. j Exemplo 4.1. [ ] [ 1 0 0 0 1 1 ] [ = max (1, 1) max (0, 0) ] [ = 1 0 ] [ = 1 0 1 ]. Temos também [ ] [ 1 0 1 0 1 0 ] [ = max (0, 0) max ( 1, 1) ] [ = 0 1 ] [ = 1 1 0 ].

32 Capítulo 4. Autovalores e Autovetores Max-Plus Nesse caso vemos que 1 é um autovalor da matriz associado a dois autovetores distintos. Exemplo 4.2. Considere a matriz [ a b ], que tem autovalor λ = (a + b)/2 e autovetor [ ] [ x = x x + (b a)/2 0 (b a)/2 ] (onde qualquer escolha de x é permitida). O resultado mais interessante sobre esse tópico, dentro de nossos objetivos, é que matrizes com entradas reais tem um único autovalor no sentido max-plus. Para provar isso usaremos uma ferramenta muito importante, o Teorema do Ponto Fixo de Brower, que recordamos a seguir. Para uma demonstração deste resultado, consulte por exemplo [5]. Teorema 4.1. Seja C um subconjunto fechado de R n e f : R n R n uma função contínua. Então, se f(c) C, existe ao menos um ponto p C tal que f(p) = p. De posse desse resultado podemos então provar nosso principal teorema nesse capítulo: Teorema 4.2. Seja A uma matriz d d com todas as entradas A ij R; então existe um número real λ e um vetor v, tal que, A v = λ v. Além disso, o autovalor λ é único.

33 Demonstração. Antes de mais nada, note que se M v = µ v, então (α M) v = α (M v) = α (µ v) = (α + µ) v. Mas sabemos que α + M 11 α + M 12 α + M 1d α + M 21 α + M 22 α + M 2d α M =.... α + M d1 α + M dd Portanto, não perdemos em generalidade ao supor que todas as entradas da matriz A são maiores ou iguais a zero. Assim, temos que 0 A ij L. Agora vamos introduzir uma função T : R d R d definida de forma que (T x) i = max j (A ij + x j ) min k max (A kj + x j ). j Não é difícil verificar que esta expressão depende continuamente do vetor x. Também segue diretamente da definição que (T x) i 0. Por outro lado, temos (T x) i max j max j (L + x j ) min k max (0 + x j ) j (L + x j ) max (x j ) = L. j Em particular, isso mostra que a região do espaço {x = (x 1, x 2,, x d ) R d : 0 x j L para todo j} tem como imagem pela função T um subconjunto dela mesma; como T é uma função contínua isso implica (como consequência direta do teorema de ponto fixo de Brower) que T tem ao menos um ponto fixo v. Portanto v = T (v) v i = (T v) i = max j (A ij + v j ) min k max (A kj + v j ). j

34 Capítulo 4. Autovalores e Autovetores Max-Plus Se denotamos λ = min k max (A kj + v j ), j então a expressão acima implica que v = A v λ λ + v = A v λ v = A v, no sentido max-plus, como afirmamos. Para provar a unicidade desse autovalor vamos supor, por absurdo, que temos dois autovalores distintos λ e µ. Em outras palavras, existem vetores v e u, tais que, A v = λ v e A u = µ u. Sem perda de generalidade podemos supor que λ < µ. Antes de prosseguirmos, observamos que, denotando por A 2 o produto max-plus A A, temos: A 2 v = A (A v) = A (λ v) = λ (A v) = λ λ v = (λ+λ) v ou, mais geralmente, A n v = (nλ) v. Podemos então considerar um valor suficientemente grande de t, tal que, t v u (no sentido de que t v i u i, para cada i {1,..., d}). Então Portanto, (t v) u = t v. A n (t v) = A n ( (t v) u ) = A n (t v) A n (u) t (A n v) = t (A n v) A n (u) t (nλ) v = ( t (nλ) v ) (nµ) u

35 o que é equivalente a dizer que, para todo inteiro n, temos t (nλ) v (nµ) u. Ou ainda: t + v u n(µ λ) Mas isso é uma contradição pois observamos que ambos os lados desta desigualdade são valores positivos e, portanto, existirá um n suficientemente grande para o qual a desigualdade não será verificada. Então temos que λ = µ e o autovalor max-plus é único, conforme queríamos mostrar. Se removemos a hipótese de que as entradas da matriz são todas reais (ou seja, se permitimos que ao menos uma delas seja ) então a situação é bem diferente. Considere, por exemplo, A = 1 1 1 1 2 2. 2 2 Então não é muito difícil ver que A 1 = 3 = 2 1 3 1 1, e que A 1 1 = 2 2 = 1 1 1.

36 Capítulo 4. Autovalores e Autovetores Max-Plus Logo, 1 and 2 são autovalores max-plus de A, mostrando que a unicidade dos autovalores não vale mais quando admitimos matrizes com entradas. Exercícios 1) Obtenha o autovalor max-plus (e respectivos autovetores) das seguintes matrizes: [ ] 3 a) 1 [ ] 4 0 b) 0 2

37 5 Polinômios Max-Plus Nesse capítulo faremos um breve estudo de polinômios no mundo max-plus. Um polinômio max-plus p: R R de grau d é uma função do tipo p(x) = a 0 (a 1 x) (a 2 x x)... (a d x x) = max {a 0, a 1 + x, a 2 + 2x,..., a d + dx} com os coeficientes a i R e a d. Exemplo 5.1. Considere o polinômio max-plus p(x) = 2 (3 x) de grau 1. Usando as operações usuais, podemos escrevê-lo da seguinte forma p(x) = max{2, 3 + x}. Destacamos o gráfico de p(x) na figura 1. 6 y 5 4 3 2 1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 x Figura 1. Gráfico de p(x) = 2 (3 x)

38 Capítulo 5. Polinômios Max-Plus Exemplo 5.2. Seja q(x) = 2 (1 x) ( 1 x x x). Ou ainda q(x) = max{ 2, x + 1, 3x 1}. Observe que q(x) é um polinômio de grau 3 e que não possui o termo de grau 2. Cabe ressaltar que, como a identidade para é o elemento, consideramos aqui que a 2 =. O gráfico de q(x) está na figura 2. 6 y 5 4 3 2 1 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 x -1-2 -3 Figura 2. Gráfico de q(x) = 2 (1 x) ( 1 x x x) Exemplo 5.3. O polinômio r(x) = ( ) ( 1 x) (x x) é de grau 2. Observe que o coeficiente do termo de maior grau não está escrito mas é zero, o elemento identidade para a operação e não o 1, como na operação multiplicação usual. Da mesma forma, como é o elemento identidade da operação, também podemos escrever r(x) = ( 1 x) (x x) = max{ 1 + x, 2x}. Seu gráfico está na figura 3.

39 4 y 3 2 1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 x -1-2 -3-4 Figura 3. Gráfico de r(x) = ( 1 x) (x x) Um primeiro fato simples sobre uma função dessa forma é que elas são não-decrescentes. Teorema 5.1. Dado um polinômio max-plus p(x) de grau maior ou igual a 1 temos: 1 - p(x) é contínua 2 - p(x) é não-decrescente 3 - existe x 0 tal que p(x) é estritamente crescente quando x x 0. 4 - lim x p(x) = a 0 5 - lim p(x) = + x

40 Capítulo 5. Polinômios Max-Plus Demonstração. Seja d o grau do polinômio max-plus p(x). Cada uma das funções a 0, a 1 + x, a 2 + 2x,..., a d + dx presentes na definição de p(x) é contínua (de fato diferenciável). Desta forma p(x) é uma função contínua, por ser o máximo entre funções contínuas, e também é não-decrescente por ser o máximo entre funções não-decrescentes. Para mostrarmos o item 3 basta observarmos que, se a 0, o polinômio p(x) passa a ser estritamente crescente quando o máximo entre as funções deixa de ser o termo constante a 0. Sendo assim, seja a i + ix a função com menor i {1,, d} tal que a i, então se escolhemos x 0 = (a 0 a i )/i temos que: x x 0 a i + ix a 0 e p(x) a i + ix que é uma função estritamente crescente. Se a 0 =, este termo será sempre menor que qualquer outro termo a i + ix e este polinômio será estritamente crescente para todo x R. Quando consideramos valores de x muito pequenos (ou seja, próximos de ) então todos os termos com x se tornam muito pequenos e assim o máximo entre eles acaba sendo o termo constante a 0, o que mostra o item 4. Quando escolhemos valores de x suficientemente grandes, os termos com x claramente se tornam maiores do que a 0 ; de fato cada um deles vai a + e portanto seu máximo também vai a +, o que mostra o item 5.

5.1. Raízes 41 5.1 Raízes Dado um polinômio max plus de grau d p(x) = a 0 (a 1 x) (a 2 x x) (a d x x... x) = max {a 0, a 1 + x, a 2 + 2x,..., a d + dx} queremos encontrar as soluções da equação p(x) = 0. Observando os gráficos de alguns polinômios podemos imaginar que, de fato, só temos três casos possíveis: nenhuma raiz, uma única raiz ou infinitas raízes. Isso é deixado claro no próximo resultado. Teorema 5.2. Seja p(x) um polinômio max-plus. Então o número de soluções da equação p(x) = 0 é zero, uma ou infinitas. Demonstração. Suponhamos, primeiramente, que a 0 =. Então, p(x) é estritamente crescente e, além disso, lim x p(x) = e lim x + p(x) = +. Podemos concluir assim que p(x) possui uma única raiz. Caso tenhamos a 0, então o gráfico de p(x) possui uma reta paralela ao eixo x; se essa reta está exatamente sobre o eixo (a 0 = 0) então p(x) tem infinitas raízes. Se esta reta está acima do eixo (a 0 > 0), e considerando que p(x) é uma função não-decrescente, então não existe raiz. Se, por outro lado, esta reta está abaixo do eixo (a 0 < 0) então, se o grau de p(x) é maior ou igual a 1, estamos na situação em que há exatamente uma raiz pois, pelos itens 3 e 5 do teorema 5.1, p(x) é estritamente crescente a partir de um ponto x 0 e tende a + quando x tende a +. Entretanto, se o grau de p(x) for zero, isto é, se p(x) = a 0 < 0, então este polinômio não possui raiz.

42 Capítulo 5. Polinômios Max-Plus 5.2 Interseção de Polinômios Dados dois polinômios max-plus p(x) e q(x) queremos saber em que pontos temos p(x) = q(x). Uma observação básica é que podemos, em princípio, ter um número infinito de interseções. Considere, por exemplo, os polinômios p(x) = 1 x e q(x) = 1 (x x). Nesse caso, quando x < 1/2 ambos valem 1, e então todo ponto x < 1/2 é um ponto de interseção desses dois polinômios. Porém é muito fácil modificar completamente essa situação: bastaria, por exemplo, considerar o polinômio r(x) = 0, 99999 (x x) no lugar de q(x). Ou seja, uma pequena perturbação em um dos coeficientes faz com que as infinitas interseções desapareçam. De uma certa forma o caso p(x) e q(x) é um tipo de caso degenerado, que não pretendemos abordar, mas uma pequena perturbação de um caso desses nos leva a p(x) e r(x), que é a situação mais geral e interessante, para a qual é possível estabelecer uma cota para o número de interseções. Teorema 5.3. Sejam p e q dois polinômios max-plus de graus, respectivamente, P e Q. Então o número de soluções da equação p(x) = q(x) é um elemento do conjunto {0, 1,..., P Q}. Demonstração. Por simplicidade, vamos considerar que os coeficientes dos polinômios p e q não assumem o valor. Considere o polinômio p. Vamos definir uma divisão da reta em pontos p 1, p 2,..., p P de forma que, no intervalo [, p 1 ], p(x) tem inclinação zero, no intervalo [p 1, p 2 ], p(x) tem inclinação 1 e assim sucessivamente, até que em [p P, + ) p(x) tem inclinação P. De forma similar definimos uma divisão em pontos q 1,..., q Q, de

5.2. Interseção de Polinômios 43 forma que em cada subintervalo determinado temos que q(x) tem inclinação constante. Vamos então denotar os intervalos definidos acima como I 0 = [, p 1 ], I 1 = [p 1, p 2 ],..., I P = [p P, + ) e J 0 = [, q 1 ], J 1 = [q 1, q 2 ],..., J Q = [q Q, + ) De acordo com o que já estudamos sobre polinômios max-plus, temos que a primeira interseção entre os polinômios não pode ocorrer em um ponto em [, p 1 ) e [, q 1 ), ou seja, pontos de I 0 J 0, pois se isso ocorresse, como ambos são constantes nessas regiões, então teríamos uma infinidade de pontos em comum nos gráficos. De fato o mesmo argumento mostra que não podemos ter interseção dos gráficos em nenhum ponto que pertença a um conjunto do tipo I i J i. Consideremos então os intervalos na forma I i J j ; variando os índices i e j podemos ver que todos os pontos da reta estão em algum desses conjuntos. O intervalo que está mais a esquerda é, claro, I 0 J 0. Um intervalo do tipo I i J j pode ser seguido por I i+1 J j (se o extremo de I i está dentro de J j ), ou I i J j+1 (se o extremo de J j está dentro de I i ) ou I i+1 J j+1 (se I i e J j têm o mesmo extremo). Toda essa informação pode ser resumida na seguinte notação: vamos identificar o conjunto I i J j com o par ordenado (i, j). Então o par (i, j) só pode ser seguido por um dos três pares seguintes: (i + 1, j), (i, j + 1) ou (i + 1, j + 1). Portanto a sequência dos intervalos I i J j na reta começa com (0, 0) (correspondente a I 0 J 0 e continua seguindo a regra acima até chegar ao intervalo (P, Q).

44 Capítulo 5. Polinômios Max-Plus Dentre esses intervalos, onde podemos ter as interseções dos gráficos? Já sabemos que isso não pode ocorrer em nenhum dos intervalos do tipo (i, i). Imagine que temos a primeira interseção no intervalo (i 0, j 0 ); se i 0 é maior do que j 0 então o polinômio p(x) cresce mais rápido do que q(x) nessa região. Para que voltem a se cruzar é preciso que q comece a crescer mais rápido do que p, o que significa que o novo cruzamento só pode ocorrer quando tivermos um novo par (i 1, j 1 ) com j 1 maior que i 1. De forma similar, se i 0 é menor do que j 0 então o proximo possível cruzamento só poderá ocorrer num novo par (i 1, j 1 ) tal que i 1 é maior do que j 1. Portanto é preciso haver uma certa inversão na ordem dos pares para que possamos ter cruzamentos dos gráficos. Inverter a ordem (ou seja, trocar um par (maior, menor) por outro (menor, maior), ou vice-versa) envolve cruzar a diagonal (i, i). A maneira de fazer isso maximizando o número de cruzamentos (e portanto permitindo o máximo de interseções dos gráficos) é com algo do tipo (0, 0) (0, 1) (0, 2)... (0, Q) (1, 0) (1, 1) (1, 2)... (1, Q) (2, 0) (2, 1) (2, 2)... (2, Q) (3, 0) (3, 1) (3, 2)... (3, Q)..... (P, 0) (P, 1)...... (P, Q) ou seja, um caminho que serpenteia em torno da diagonal. Suponha que P > Q; nesse caso o número máximo de pares que

5.3. Polinômios Min-Plus 45 podem corresponder a cruzamentos do gráfico é de Q + 1 max{p, Q}. Quando P = Q podemos, de forma similar, ver que o número de pares que podem corresponder a cruzamentos é de Q = max{p, Q}, o que conclui a prova. 5.3 Polinômios Min-Plus Existem algumas variações da álgebra max-plus, uma delas sendo a álgebra min-plus onde consideramos a operação dada por a b = min{a, b}. Nesta álgebra, consideramos o conjunto R com a inclusão de +. Esta álgebra também é conhecida como álgebra tropical. Neste contexto, é interessante, por exemplo, estudar o comportamento de polinômios como: p(x) = a 0 (a 1 x) (a 2 x x) = min {a 0, a 1 + x, a 2 + 2x}. Observe que os gráficos desses polinômios são, em um certo sentido, parecidos com os estudados na álgebra max-plus mas com a diferença que as inclinações dos segmentos de reta que o compõem vão diminuindo, ao contrário do que acontece quando consideramos o máximo. A investigação geométrica desses objetos é conhecida como geometria tropical; o leitor interessado pode consultar o bonito texto expositório [2]. Exercícios 1) Esboce o gráfico do polinômio m(x) = 3 (2 x) (x x) 2) Determine um polinômio s(x) cuja única solução para a equação s(x) = 0 ocorra em x = 2.

46 Capítulo 5. Polinômios Max-Plus 3) Determine os intervalos onde ocorrem as interseções de p(x) e m(x) e p(x) e s(x) onde p(x) é o primeiro exemplo de polinômio max-plus dado no capítulo e m(x) e s(x) são os polinômios definidos nos exercícios acima.

47 6 Formas Quadráticas Max-Plus Um outro problema clássico dentro da álgebra linear é o de se maximizar (ou, eventualmente, o de se minimizar) uma forma quadrática sobre uma determinada região, por exemplo um círculo, o que é um exemplo de problema de maximização com vínculos. Neste capítulo desejamos apresentar o equivalente max-plus desse problema. 6.1 Definindo Regiões Vamos considerar o equivalente max-plus de uma equação como x 2 + y 2 = 1, que define um círculo de raio unitário no plano xy. Esta expressão na verdade é a forma curta de x.x + y.y = 1 Trocando então as operações e + por e temos (x x) (y y) = 1 ou seja, max {2x, 2y} = 1 Esta é então a equação do vínculo max-plus. A região acima é formada por duas semi-retas no plano que podem ser escritas como R = {x = 1/2, y 1/2} {y = 1/2, x 1/2} (6.1) e podem ser conferidas na figura 4.

48 Capítulo 6. Formas Quadráticas Max-Plus 2 y 1 0-2 -1 0 1 2-1 x -2 Figura 4. Região max-plus (x x) (y y) = 1 6.2 Forma Quadrática Uma forma quadrática em R 2 é uma função q : R 2 R definida a partir de uma transformação linear A: R 2 R 2 da seguinte forma: [ ] q(x 1, x 2 ) = [x 1 x 2 ]A x 1 x 2 = a 11 x 2 1 + (a 12 + a 21 )x 1 x 2 + a 22 x 2 2 Inspirados por isso, podemos definir uma forma quadrática max-plus como sendo a função Q: R 2 R dada por: Q(x 1, x 2 ) = =(a 11 x 1 x 1 ) ( ) (a 12 a 21 ) x 1 x 2 (a22 x 2 x 2 ) = max {a 11 + 2x 1, max {a 12, a 21 } + x 1 + x 2, a 22 + 2x 2 } = max {a 11 + 2x 1, a 12 + x 1 + x 2, a 21 + x 2 + x 1, a 22 + 2x 2 } Então agora queremos maximizar a função Q no conjunto R e de fato podemos mostrar o resultado seguinte.

6.3. Forma Quadrática em R n 49 Lema 6.1. Seja Q uma forma quadrática max-plus e R a região definida em 6.1 então max {Q(x)} = 1 + x R max 1 i,j 2 {a ij} Demonstração. Temos que o ponto (1/2, 1/2) R e Q(1/2, 1/2) = 1 + max {a ij}. Naturalmente, max {Q(x)} Q(1/2, 1/2). 1 i,j 2 x R Mas para um ponto x = (x 1, x 2 ) qualquer na região R temos que Q(x) = max {a 11 + 2x 1, a 12 + x 1 + x 2, a 21 + x 2 + x 1, a 22 + 2x 2 } max {a 11 + 1, a 12 + 1/2 + 1/2, a 21 + 1/2 + 1/2, a 22 + 1} = Q(1/2, 1/2) Assim, o máximo é, de fato, realizado em (1/2, 1/2) e portanto temos o lema. 6.3 Forma Quadrática em R n dada por Vamos agora definir a forma quadrática Q: R n onde I = {1,, n}. Q(x) = x T Ax = max i,j I {a ij + x i + x j } R Consideremos a região R definida por max i I {kx i} = 1 onde k é uma constante tal que k N e k 1. Observe que, se k = 2, temos uma generalização natural da região definida em 6.1.

50 Capítulo 6. Formas Quadráticas Max-Plus Então podemos mostrar o seguinte resultado: Lema 6.2. Seja Q(x) uma forma quadrática definida em R n e a R a região definida acima então max {Q(x)} = 2 x R k + max {a ij} i,j I Demonstração. O ponto (1/k, 1/k,..., 1/k) R e ( 1 Q k, 1 k,..., 1 ) = 2 k k + max {a ij}, i,j I portanto max {Q(x)} 2 x R k + max {a ij} i,j I Por outro lado, dado um x qualquer em R temos Q(x) = max {a ij + x i + x j } i,j I { max a ij + 1 i,j I k + 1 } = 2 k k + max {a ij} i,j I e o lema esta provado. = max x R {Q(x)} 2 k + max i,j I {a ij} 6.4 Outra Forma de Definir Regiões Agora apresentaremos uma outra forma de definir curvas; embora pareça menos natural que a anterior, de fato essa forma é a mais usada no contexto max-plus. Começamos com um exemplo: queremos saber qual é a região em R 2 definida pela equação x+y+1 = 0, ou x y 1 = 0, usando a soma max-plus. Vamos definir essa região como sendo

6.4. Outra Forma de Definir Regiões 51 o conjunto de pares (x, y) para os quais a expressão max {x, y, 1} é realizada em ao menos dois pontos (o que inclui o 1). Então a região definida consiste em três semirretas, a saber {(x, 1) : x 1} {(1, y) : y 1} {(x, x) : x 1} Esta região de R 2 pode ser observada na figura 5. y 2 1 0-2 -1 0 1 2 3-1 x Figura 5. Região max-plus x y 1 = 0 Definição 6.1. Dizemos que a equação max-plus (a x) (b y) c = 0, com a, b, c R, define a região de R 2 onde o máximo max {a + x, b + y, c} é realizado simultaneamente em pelo menos dois pontos.

52 Capítulo 6. Formas Quadráticas Max-Plus Observe que se tivermos duas das constantes a, b, c assumindo o valor então esta equação não determina uma região pois não teremos o máximo atingido em dois pontos. No entanto, se a = b = c = então o máximo é atingido sempre, para quaisquer valores de x e y determinando o próprio R 2. Sendo assim, excetuando o caso particular onde a = b = c =, temos que a região R consiste em três semirretas definidas por {(c a, y): y c b} {(x, c b): x c a} {(x, x + a b): x > c a} Podemos, de forma análoga, definir uma região em R n. Definição 6.2. Dizemos que a equação max-plus (a x n ) (b y m ) c = 0, com a, b, c R, define a região de R n onde o máximo max {a + nx, b + my, c} é realizado em pelo menos dois pontos. Podemos agora perguntar qual região de R 2 a equação do círculo de raio 1 no plano xy determina nesta nova acepção. Observe que x 2 + y 2 1 = 0 é a região onde max {2x, 2y, 1} ocorre em ao menos dois pontos. Então esta região consiste em

6.4. Outra Forma de Definir Regiões 53 três semirretas, a saber {(x, 1) : x 1/2} {( 1, y) : y 1/2} {(x, x) : x 1/2} O leitor pode notar que agora temos valores de x e de y ficando arbitrariamente pequenos (isto é, próximos de ) e também muito grandes (ou seja, próximos de +. Desta forma maximizar ou minimzar expressões nessa região é algo que tipicamente não será tão interessante quanto nos casos anteriores. Exercícios 1) Encontre a região definida pela expressão dada: a) (x x) (y y y) = 1 b) (5 x x) (3 y y) = 15 2) Considere a região R definida pela expressão max {2 + 10x, 2 + 4x} = 1 a) Reescreva-a na notação max-plus. b) Considere a função definida em R pela expressão Q(x, y) = max {20 + 2x, x + y, x + y, 2y} Verifique que o máximo da função acima ocorre em qualquer ponto de R na forma ( 5, y).

55 7 Conjuntos Convexos Vamos aqui rapidamente recordar o importante conceito de conjunto convexo; como estamos mais interessados nas ideias principais e não em fazer uma teoria absolutamente geral, vamos nos limitar a subconjuntos do plano R 2. 7.1 Convexidade em R 2 Dados dois pontos x e y em R 2, definimos o segmento [x, y] como sendo o conjunto [x, y] := {(1 t)x + ty : para t [0, 1] } (ou seja, geometricamente esse é exatamente o segmento de reta cujas extremidades são os pontos x e y). Note que a definição é simétrica, isto é, [x, y] = [y, x]. Observação 1. Podemos pensar em (1 t) e t como sendo α = 1 t e β = t reais não negativos tais que α + β = 1. Definição 7.1. Um subconjunto C R 2 é dito convexo se para todo par de pontos x e y pertencentes a C temos que o segmento [x, y] está contido em C. Alguns exemplos simples são o próprio R 2, R 2 + e um disco de raio r e centro p, D r (p) = {x R 2 : x p r}. Uma propriedade que pode ser provada sem muito esforço é a seguinte:

56 Capítulo 7. Conjuntos Convexos Lema 7.1. Se C 1 e C 2 são conjuntos convexos então C 1 C 2 também é um conjunto convexo. Demonstração. De fato, sejam p 1 e p 2 pontos pertencentes a C 1 C 2. Então o segmento [p 1, p 2 ] está contido em C 1 e também está contido em C 2, pois ambos são convexos,mostrando que [p 1, p 2 ] está contido em C 1 C 2. Isso nos leva à conclusão de que C 1 C 2 é convexo, como afirmado. 7.2 Convexidade Max-Plus Vamos agora estender o conceito de convexidade para o conjunto R 2. Em primeiro lugar, é preciso redefinir o conceito de segmento no contexto max-plus. Vamos considerar α e β elementos de R tais que α β = 0 ou seja, max{α, β} = 0. Estes elementos estão no conjunto R 1 R 2, e essas regiões são dadas por: R 1 = {(α, β) R 2 : α = 0, β 0} R 2 = {(α, β) R 2 : β = 0, α 0} Definimos também max {(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )} = ( ) max {(x 1, y 1 )}, max {(x 2, y 2 )} (ou seja, o máximo é feito coordenada a coordenada). Então a definição de segmento é feita da seguinte forma: [x, y] := {(α x) (β y) : α e β em R 1 R 2 }

7.2. Convexidade Max-Plus 57 onde (α x) (β y) = (α + x 1, α + x 2 ) (β + y 1, β + y 2 ) = max {(α + x 1, α + x 2 ), (β + y 1, β + y 2 )} ( ) = max {α + x 1, β + y 1 }, max {α + x 2, β + y 2 } Exemplo 7.1. Vamos encontrar o segmento max-plus que liga os pontos (0, 0) e (1, 1). De acordo com a definição acima temos que os pontos do segmento satisfazem ( ) max {α, β + 1}, max {α, β + 1} Na região R 2 temos α 0 e β = 0, donde ( ) ( ) max {α, β + 1}, max {α, β + 1} = max {α, 1}, max {α, 1} = (1, 1) Na região R 1 temos α = 0 e β 0, donde ( ) max {0, β + 1}, max {0, β + 1} Se β < 1 o par acima é igual a (0, 0); para β [ 1, 0] temos que o par é (β + 1, β + 1), o corresponde ao segmento de reta usual que liga (0, 0) a (1, 1). Exemplo 7.2. Vamos determinar o segmento max-plus que liga (0, 0) e (1, 0). Da definição temos ( ) max {α, β}, max {α + 1, β} Em R 1 temos (0, 1)

58 Capítulo 7. Conjuntos Convexos Já em R 2 temos ( ) ( ) max {α, 0}, max {α + 1, 0} = 0, max {α + 1, 0} Se α < 1 a expressão acima nos dá (0, 0); se α [ 1, 0] temos (0, α + 1), o que nos dá o segmento de reta usual que liga (0, 0) a (1, 0). Esses dois exemplos parecem sugerir que o segmento max-plus é de fato o mesmo que um segmento usual, mas isso não está correto. Exemplo 7.3. Vamos encontrar o segmento max-plus [x, y] quando x = (1, 0) e y = (0, 1). Da definição queremos os pontos nos quais ( ) max {α + 1, β}, max {α, β + 1} Em R 1 temos ( ) ( ) max {1, β}, max {0, β + 1} = 1, max {0, β + 1} Para β < 1 temos (1, 0); para β [ 1, 0] temos (1, β + 1) que é o segmento de reta usual que liga (1, 0) a (1, 1). Na região R 2 temos ( ) max {α + 1, 0}, max {α, 1} = ( ) max {α + 1, 0}, 1 Para α < 1 temos (0, 1); para α [ 1, 0] temos (α + 1, 1), que é o segmento de reta usual que liga (0, 1) ao ponto (1, 1). Portanto nesse caso o segmento max-plus é na verdade a união de dois segmentos de reta. Os exemplos acima nos sugerem que os segmentos maxplus são de fato formados por segmentos de reta de inclinação 0,

7.2. Convexidade Max-Plus 59 1 ou + (ou seja, um segmento vertical); efetivamente é isso o que ocorre, mas não provaremos esta afirmação. Definição 7.2. Um conjunto C é dito convexo se para todo par de elementos x e y pertencentes a C temos que o segmento maxplus [x, y] está contido em C. Abaixo temos alguns exemplos de conjuntos convexos no sentido max-plus. Exemplo 7.4. O conjunto A = {(x, y) : 0 x y} De fato, se x e y estão na mesma vertical então o segmento [x, y] é o segmento de reta vertical que os liga, que está em A. Se não estão na mesma vertical então imagine, sem perda de generalidade, que x 1 < y 1. Se x 2 = y 2 então o segmento que os liga é um segmento de reta horizontal, que está contido em A. Se x 2 < y 2 o segmento max-plus que os liga é uma união de dois segmentos de reta, um horizontal e outro de inclinação 1, estando assim contido em A. Por fim, se x 2 > y 2 o segmento max-plus que os liga é uma união de um segmento de reta horizontal com outro vertical, ambos então contidos em A. Assim os segmentos que unem dois pontos do conjunto estão no conjunto, mostrando que o mesmo é efetivamente convexo. De forma similar podemos mostrar que também é convexo o conjunto seguinte: Exemplo 7.5. B a = {(x, y) : 0 x a, 0 y}

60 Capítulo 7. Conjuntos Convexos (onde a é um número real positivo) Um fato cuja prova é simples (e é, com pequenas adaptações, exatamente a prova já apresentada no caso anterior) é o seguinte: Lema 7.2. A interseção de dois conjuntos convexos é também um convexo. Desta forma podemos dar mais um exemplo de conjunto convexo, a saber: Exemplo 7.6. C = A B a que corresponde à região delimitada pelo triângulo de vértices (0, 0), (a, 0) e (a, a). Exercícios 1) Obtenha o segmento max-plus que conecta os pontos (0, 0) e (1, 2). Faça o mesmo com os pontos (0, 0) e (2, 1). 2) Prove que a interseção de dois conjuntos convexos maxplus é também um convexo max-plus. 3) Considere os pontos (x 1, x 2 ) e (y 1, y 2 ), com x 1 < y 2. Vamos considerar dois casos: a) x 2 > y 2 : nessa situação, mostre que o segmento que liga esses pontos é uma união de um segmento horizontal com um segmento vertical. b) x 2 = y 2 : nesse caso, mostre que o segmento que liga esses pontos é um segmento de reta horizontal.

61 Referências [1] A. T. BARAVIERA, R. LEPLAIDEUR e A. LOPES, Ergodic optmization, zero temperature limits and the maxplus algebra, 29 Colóquio Brasileiro de Matemática - IMPA, 2013. [2] E. BRUGALLÉ, Um pouco de geometria tropical, Revista Matemática Universitária, 46 (2009)27-40. [3] K. FARLOW, Max-Plus Algebra, Dissertação de Mestrado, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2009. [4] E. GARIBALDI e J. T. A. GOMES, Otimização de médias sobre grafos orientados, 29 Colóquio Brasileiro de Matemática - IMPA, 2013. [5] C. S. HONIG, Aplicações da topologia à análise, Projeto Euclides - IMPA, 1976