RELAÇÕES BINÁRIAS PARES ORDENADOS Um PAR ORDENADO, denotado por (x,y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento e y é o Segundo elemento do par A ordem é relevante em um par ordenado Logo, os conjuntos {a,b} e {b,a} são iguais, mas os pares ordenados (a,b) e (b,a) são diferentes A representação de pontos em um plano cartesiano é um exemplo comum de pares ordenados: o ponto (2,1) é diferente do ponto (1,2) Os pontos ordenados (x,y) e (z,w) são iguais somente se x = z e y = w PRODUTO CARTESIANO Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo S O Produto Cartesiano (ou produto cruzado) de A e B, denotado por A X B é o conjunto definido por: A X B = { (x,y) x A y B } Ou seja, o Produto Cartesiano A X B é o conjunto de todos os pares ordenados cujas primeiras coordenadas pertençam ao conjunto A e cujas segundas coordenadas pertençam ao conjunto B O Produto Cartesiano NÃO É uma operação binária em P(S) Ele opera em um par ordenado de membros de P(S) e fornece um resultado único O conjunto resultante não é, em geral, um subconjunto de S. Exemplo: Sejam S = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2} e B = {3, 4} P(S) = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} } A x B = { (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) } RELAÇÕES BINÁRIAS Deteminados pares ordenados de objetos em um conjunto de pares ordenados se destacam dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem. Exemplos: Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3} O produto cartesiano é o conjunto S X T = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} Relação de Igualdade: O conjunto de pares que atende essa relação é unitário, {(2,2)} Relação formada pelos pares com primeiro número menor que o segundo: {(1,2), (1,3), (2,3)}
Uma Relação Binária pode ser descrita com palavras ou simplesmente pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem: Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3,4} S X T = { (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4) } Uma relação R definida por: x R y x = y/2, satisfeita pelos pares (1,2) e (2,4), poderia também ser definida pela declaração que {(1,2), (2,4)} é o conjunto dos pares ordenados que satisfazem R DEFINIÇÃO de Relação Binária Dados os conjuntos S e T, uma relação binária em S X T é um subconjunto de S X T, definidos na declaração: x R y (x,y) R A descrição que fornece uma propriedade característica dos elementos da relação é chamada é chamada de Predicado Binário da relação, a qual é realizado por certos pares ordenados do produto cartesiano Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3,4} e a relação binária R dada por: x R y x + y é ímpar R = {(1,2), (1,4), (2,3)} Para cada um dos pares ordenados das seguintes relações binárias em N x N, determine quais dos pares ordeandos pertencem à relação binária R x R y x = y + 1 (2,2), (2,3), (3,3), (3,2) x R y x divide y (2,4), (2,5), (2,6) x R y x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) Uma Relação Binária em um conjunto S, também chamada Endorelação ou Auto-relação, é um subconjunto de S 2. Relação n-ária Dados os conjuntos S 1, S2,..., Sn. Uma relação n-ária em S1, S2,..., Sn é um subconjunto de S1x S2 x... x Sn Uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de S n. TIPOS de Relações Binárias em S x T Seja R uma relação binária em S x T, então R é um conjunto de pares ordenados (s,t) Uma relação é um-para-um (ou INJETIVA, ou BIUNÍVOCA) se cada primeiro componente s e cada segundo componente t aparecem apenas uma vez na relação Uma relação é um-para-vários se algum primeiro componente s aparece mais de uma vez na relação Uma relação é vários-para-um (ou UNÍVOCA) se algum segundo componente t aparece mais de uma vez na relação Uma relação é vários-para-vários se pelo menos um primeiro componente s fizer par com mais de um segundo componente t e, pelo menos um segundo componente t fizer par com mais de um primeiro componente s
OPERAÇÕES sobre Relações Binárias Podemos realizar as operações de União, Interseção e Complemento de Relações Binárias em S 2 que resultam em novos subconjuntos de S x S, isto é, novas relações binárias em S 2. x (R1 R2) y (x R1 y) (x R2 y) x (R1 R2) y (x R1 y) (x R1 y) x R' y Complemento de x R y Sejam R1 e R2 duas relações binárias em N definidas por: x R1 y x = y e x R2 y x < y R1 R2 é definida por x (R1 R2) y x y R1' é definida por x R1 y x y R2' é definida por x R2 y x y O conjunto definido por R1 R2 é IDENTIDADES das Relações Binárias Comutativa R1 R2 = R2 R1 R1 R2 = R2 R1 Associativa (R1 R2) R3 = R1 (R2 R3) (R1 R2) R3 = R1 (R2 R3) Distributiva R1 (R2 R3) = (R1 R2) (R1 R3) R1 (R2 R3) = (R1 R2) (R1 R3) Identidade R = R R S 2 = R Complemento R R' = S 2 R R' =
PROPRIEDADES das Relações Binárias Relações Binárias em um conjunto S podem ter certas propriedades Seja R uma Relação Binária em S R é REFLEXIVA se ( x) ( x S (x,x) R ) Exemplo 1: Sejam as relações sobre o conjunto S = {1,2,3,4} R1= {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2),(2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} R6 = {(3,4)} As relações R3 e R5 são Reflexivas, as demais não Exemplo 2: A relação "divide" sobre o conjunto de inteiros positivos é Reflexiva, pois qualquer inteiro positivo divide a si mesmo e vice-versa Exemplo 3: Sejam as relações sobre o conjunto dos inteiros R1 = {(a,b) a b} R2 = {(a,b) a > b} R3 = {(a,b) a = b ou a = -b} R4 = {(a,b) a = b } R5 = {(a,b) a = b + 1} R6 = {(a,b) a + b 3} As relações R1, R3 e R4 são Reflexivas R é SIMÉTRICA se ( x) ( y) [ ( (x S) (y S) (x,y) R ) (y,x) R ] As relações R2 e R3 do Exemplo 1 acima são Simétricas A relação divide (exemplo 2) é Simétrica, pois para quaisquer inteiros x e y, se x divide y, então y divide x apenas se x = y As relações R3, R4 e R6 do Exemplo 3 acima são Simétricas (porque?) R é TRANSITIVA se ( x) ( y) ( z) [ ( (x S) (y S) (z S) (x,y) R (y,z) R ) (x,z) R ] A relação no conjunto dos inteiros é Transitiva: se x y e y z, então x z As relações R4, R5 e R6 do Exemplo 1 acima são Transitivas A relação divide (exemplo 2) é Transitiva porque para quaisquer inteiros x, y e z, se x divide y e y divide z, então x divide z As relações R1, R2, R3 e R4 do Exemplo 3 acima são Transitivas R é ANTI-SIMÉTRICA se ( x) ( y) [ ( (x S) (y S) (x,y) R (y,x) R) y = x ] As relações R4, R5 e R6 do exemplo 1 são Anti-simnétricas As relações R1, R2, R4 e R5 do exemplo 3 são Anti-simétricas
Exemplo 4 Seja a relação no conjunto N. Essa relação é Reflexiva porque para todo elemento de N vai existir um par (x,x). Ou seja, para qualquer inteiro não negativo x, x y é verdadeira. Essa relação é Anti-simétrica porque para todo par (x,y), o par simétrico (y,x) vai acontecer apenas para x = y. Isto é, para todo elemento x e y de N, se x y e y x, então x = y É uma relação Transitiva porque para todo elemento x, y e z de N, se x y e y z, então x z NÃO é uma relação Simétrica. Não é verdade 2 3 não implica 3 2 Exemplo 5 Seja S = P( N), conjunto das partes dos números naturais Seja uma relação binária ρ em S definida por A ρ B A B ρ É uma relação REFLEXIVA A relação é formada por todos os pares ordenados para os quais o predicado binário A B é verdadeiro Como A A, para todo conjunto A que pertence a S, então o par (A, A) pertence à relação ρ ρ NÃO É uma relação SIMÉTRICA A relação é formada por todos os pares ordenados para os quais o predicado binário A B é verdadeiro, isto é, pares para os quais o primeiro item é subconjunto do segundo item O fato de A B não implica que B A. Isso só é verdadeiro para A=B ρ É uma relação TRANSITIVA Se os pares (A,B) e (B,C) pertencem naà relação, então o par (B,C) também pertence, pois se A B e B C, então A C ρ É uma relação ANTI-SIMÉTRICA Como visto acima, O fato de A B e B A implica que A = B Exemplo 6 Seja S = {1,2,3}. As afirmações abaixo são verdadeiras: Se uma relação R em S é reflexiva, os pare ordenados (1,2), (2,2) e (3,3) devem pertencer a R Se uma relação R em S é simétrica, não é possível dizer quais pares ordenados pertencem à relação. Para uma relação ser simétrica, basta que para cada par ordenado na relação exista também um par simétrico Se uma relação R em S é simétrica e (a,b) R, então só podemos afirmar que o par (b,a) R Se uma relação R é anti-simétrica, e se (a,b) R e (b,a) R, então a=b, logo podemos afirmar que (a,b) = (b,a) A relação de igualdade (=) em S é simétrica e anti-simétrica: (x,y) em R existe (y,x) e x = y Essa é a única relação que tem essas duas propriedades ao mesmo tempo
Exemplo 7 Sejam S = N e a relação binária definida por x R y x + y é par R é Reflexiva: (x) (y) N e x = y, x + y é par R é Simétrica: (x) (y) N, se x + y é par, então y + x é par R é Transitiva: Para que x+y seja par, x e y são ambos pares ou ímpares. Se x é par então y é par, logo z deve ser par para que y+z seja par, então x+z também é par Se x é ímpar então y é ímpar, logo z deve ser ímpar para que y+z seja par, então x+z também é par (x) (y) (z) N, se x + y é par e y+z é par, então x+z é par, porque ou x, y e z são todos pares ou são todos ímpares R Não é Anti-simétrica: (x) (y) N, tal que x + y é par e y + x é par, mas x y (1 + 5 é par, 5 + 1 é par, mas 1 5) Exemplo 8 Seja S = {1,2,3}. Seja R definida em S: R = {(1,2), (2,1),(1,3)} R não é simétrica, pois (1,3) R, mas (3,1) R R não é anti-simétrica, pois (1,2) R e (2,1) R, mas (1 2) Exemplo 9 Seja S o conjunto de todas as linhas do plano e a relação binária definida por x R y x é paralela a y ou x coincide com y R é Reflexiva: o par (x,x) está presente para todas as retas do plano, pois x é paralela a x e x coincide com x R é Simétrica: se (x é paralela a y ou x coincide com y), então (y é paralela a x ou y coincide com x) R NÃO é Anti-simétrica: existem infinitas retas paralelas e coincidentes R é Transitiva: (x) (y) (z) S se (x é paralela a y ou x coincide com y) e (y é paralela a z ou y coincide com z), então (x é paralela a z ou x coincide com z) FECHO DE UMA RELAÇÃO (ou Fechamento de uma Relação) DEFINIÇÃO FORMAL: Uma Relação Binária R* em um Conjunto S é um Fecho de uma relação R em S com respeito à propriedade P (Transitiva, Simétrica ou Reflexiva se: 1. R* tem a propriedade P 2. R R* 3. R* é um subconjunto de qualquer outra relação em S que inclui R e tem a propriedade P A relação S = {1, 2, 3} e R uma relação binária definida pelo conjunto R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} R não é reflexiva, não é simétrica e não é transitiva. Se uma relação R em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender R para obter a relação R* em S que tenha a propriedade.
A nova relação R* conterá todos os pares ordenados que R contém mais os pares ordenados adicionais necessários para que a propriedade desejada se verifique No exemplo acima, o fechamento de R em relação à REFLEXIVIDADE é R* = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} No exemplo acima, o fechamento de R em relação à SIMETRIA é R* = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)} No exemplo acima, o fechamento de R em relação à TRANSITIVIDADE é R* = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1)} (passo 1) R*= {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1), (2,2)} (passo 2) Essa maneira de determinar o fecho Transitivo de uma relação verificando os pares ordenados na relação original, incluindo novos pares se necessário, verificando a relação obtida, incluindo novos pares se necessário e assim por diante, até obtermos a relação transitiva, é um método de força bruta. O uso de algoritmos sobre grafos direcionados são mais eficientes.