Capítulo 3 Processos de Renovamento

Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 22/3 Colectânea de Exercícios Capítulo 3 Processos de Renovamento Exercício 3.1 Seja {X i, i IN} uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli(p), < p < 1, e defina-se: { } n 3 X 1 = 3 X 4 = N 1 = inf n IN : X i = 5, N 2 = e N 3 =. 5 X 1 = 1 2 X 4 = 1 i=1 Quais destas três variáveis aleatórias (N 1, N 2 e N 3 ) são tempos de paragem para a sucessão {X i, i IN}? Justifique. Exercício 3.2 Mostre que se N for um tempo de paragem para a sucessão {X i, i IN} de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas a X, possuindo valor esperado finito, então é válida a seguinte equação conhecida por Equação de Wald: [ N ] E X i = E[N] E[X]. i=1 Exercício 3.3 Considere um processo de renovamento não degenerado, {N(t), t }, com função de distribuição do tempo entre renovamentos sucessivos F e seja M(t) = E(N(t)), para t. (a) Prove a equação de renovamento: M(t) = F (t) + t M(t x) df (x). (b) Calcule, usando a equação de renovamento, M(t), t (, 1), na situação em que o tempo entre renovamentos sucessivos tem distribuição Uniforme(, 1). (c) Se M(t) = t/2, t, qual é o valor de P (N(5) = )? 1

Exercício 3.4 Considere um processo de renovamento {N(t), t } cujos tempos entre renovamentos sucessivos têm distribuição Gama(r, λ), com r IN, cuja função densidade de probabilidade é: (a) Mostre que, para t e n IN, f(x) = λ e λx (λx) r 1 (r 1)! P (N(t) n) = (b) Utilize (a) para demonstrar que, para t, M(t) = + i=r + i=nr I (,+ ) (x). λt (λt)i e. i! i λt (λt)i e. r i! com x representando a parte inteira do número real x. Sugestão: Use a relação entre a distribuição Gama(r, λ) e a soma de r variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial(λ), para definir N(t) em termos de um processo de Poisson de taxa λ. Exercício 3.5 Considere que o tempo entre renovamentos sucessivos de um processo de renovamento é uma mistura de duas populações exponenciais, sendo a respectiva função densidade de probabilidade dada por: f(t) = [ p µ 1 e µ 1t + (1 p) µ 2 e µ 2t ] I (,+ ) (t), com µ 1, µ 2 >. Prove que neste caso a função de renovamento é dada por: M(t) = µ 1 µ 2 t p (1 p) (µ 1 µ 2 ) 2 e t [p µ2+(1 p) µ1] p µ 2 + (1 p) µ 1 [p µ 2 + (1 p) µ 1 ] 2. Exercício 3.6 O Evaristo tem um rádio que para trabalhar precisa de uma pilha. (a) Supondo que a duração das pilhas utilizadas (em horas) é uma variável aleatória com distribuição Uniforme(3, 6) e que assim que uma pilha se gasta o Evaristo a substitui de imediato, obtenha a taxa a longo-prazo de substituição de pilhas. (b) Responda à questão colocada em (a), admitindo agora que antes de efectuar a referida substituição o Evaristo tem que se deslocar à drogaria mais próxima para comprar uma pilha, operação esta que demora um tempo com distribuição Uniforme(1/3, 1). Exercício 3.7 Considere um banco, com um único servidor, ao qual chegam clientes de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Note-se, no entanto, que um cliente entra no banco se e só se o servidor estiver livre e, nesse caso, é-lhe prestado um serviço com duração possuindo distribuição G, com valor esperado µ 1 (finito). A longo prazo: (a) A que taxa entram clientes no banco? (b) Qual é a fracção de potenciais clientes que entram no banco? 2

(c) Qual é a fracção de tempo que o servidor está ocupado? (d) Se as quantias que os clientes depositam no banco são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição H, qual é a taxa a que são efectuados depósitos efectivos no banco? (e) Se a distribuição H possui valor esperado α (finito), qual é a taxa de depósitos no banco (em unidades monetárias/unidade de tempo)? Exercício 3.8 Considere um jogo em que se efectua uma sucessão de provas independentes e identicamente distribuídas à variável aleatória discreta com função massa de probabilidade P i, i = 1, 2,..., n. Cada um dos resultados possíveis é declarado vencedor sempre que ocorre k vezes consecutivas. Por exemplo, se k = 2 e se a sequência de resultados das primeiras 12 provas for 1, 2, 4, 3, 5, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 4, então os números 3, 3 e 4 são declarados vencedores nos instantes 9, 1 e 12. (a) Qual é, a longo-prazo, a probabilidade do número i ser declarado como vencedor? (b) A longo-prazo, a taxa a que ocorrem declarações de vencedores. Exercício 3.9 O gestor de uma fábrica decidiu implementar o seguinte tipo de política de uso permanente de uma (única) máquina: trocar de máquina quando a máquina em uso atinge a idade T ou quando esta avaria (o valor de T deve ser escolhido de modo a minimizar o custo de operação). As máquinas têm durações independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição F (função densidade de probabilidade f). Suponha que V (x) é o valor de uma máquina com idade x; V (x) é uma função estritamente decrescente, e o custo de uma máquina nova é V () = 1. A empresa recebe o valor V (T ) por cada máquina não avariada que é substituída, e não recebe qualquer montante pelas máquinas avariadas; o tempo necessário para a disponibilização de uma máquina nova é negligível. (a) Mostre que a taxa de substituição das máquinas a longo-prazo é: { T 1 xf(x) dx + T [1 F (T )]}. (b) Conclua que a taxa de falha das máquinas a longo-prazo é: /{ T } F (T ) xf(x) dx + T [1 F (T )] Suponha agora que o tempo (em dias) até avaria de uma máquina tem distribuição Exponencial(λ) (c) Conclua que, na situação considerada, o custo médio limite por unidade de tempo de utilização duma política do tipo referido é: C(T ) = λ [ 1 V (T ) e λt ] 1 e λt. (d) Use o resultado anterior para concluir que a melhor política do tipo referido é aquela em que uma máquina é substituída quando avaria. Qual é o custo médio limite por unidade de tempo de utilização desta política? 3

Exercício 3.1 Suponha que um certo funcionário, A, faz charutos e que os tempos que demora a fazê-los são variáveis aleatórias exponenciais independentes com valor esperado igual a 5 minutos. Assim que A termina um charuto coloca-o em frente de B, o qual demora um tempo deterministico a empacotá-lo. B empacota os charutos em caixas de 2 e assim que tem uma caixa cheia coloca-a numa passadeira rolante que a leva ao armazém. (a) Determine a função de probabilidade de K: o número de charutos que A faz em T minutos. Calcule o valor esperado e a variância de K em função de T. (b) Supondo que se chega junto da passadeira rolante num instante arbitrário mas muito depois do processo ter iniciado, determine a função de densidade do tempo que teríamos que esperar até que uma caixa de charutos aí fosse colocada. Exercício 3.11 Suponha que a duração da principal componente de uma máquina (em dias) é uma variável aleatória contínua com função de distribuição F (de valor esperado µ finito), e que o valor (em milhares de euros) de uma componente do tipo referido com idade x e sem avaria é R(x). O gestor da fábrica decidiu implementar o seguinte tipo de política de substituição das componentes referidas: substituir a componente em uso quando atinge a idade A ou quando esta avaria. A empresa recebe o valor R(A) por cada componente não avariada que é substituída, e não recebe qualquer montante pelas componentes avariadas. O tempo necessário para a instalação de uma componente nova (com custo R()) é uma variável aleatória contínua com valor esperado λ finito; a empresa incorre continuamente um custo de taxa.5 durante o tempo em que a máquina está parada devido à instalação de uma componente nova na máquina. (a) Justifique que o tempo esperado que decorre entre substituições consecutivas de componentes do tipo referido é: B = λ + µ + A [1 F (A)] + A x df (x). (b) Determine a proporção de tempo, a longo prazo, que é destinado à substituição de componentes do tipo referido. (c) Determine o custo limite por unidade de tempo de utilização da política referida. (d) Considerando λ = e F exponencial de parâmetro α, deduza a distribuição limite do tempo de uso residual das componentes do tipo referido. Exercício 3.12 Suponha que a duração (em anos) de um dispositivo complexo é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [, 1] e que o dispositivo em uso é substituído quando atinge a idade T, T 1, ou quando avaria. O custo (em milhares de euros) de um dispositivo é igual a 2; a empresa recebe cinco mil euros por cada dispositivo não avariado que é substituído, e não recebe qualquer montante pelos dispositivos avariados. (a) Determine o tempo esperado que decorre entre substituições consecutivas dos dispositivos referidos. 4

(b) Determine o valor óptimo de T (idade de substituição de um dispositivo não avariado). (c) Deduza, usando uma equação de tipo renovamento, o valor esperado limite da idade do dispositivo em uso. Exercício 3.13 A duração dos carros que o Evaristo compra é uma variável aleatória com função de distribuição H e função de densidade de probabilidade h. O Evaristo, com a sua mania das grandezas, decide mudar de carro assim que ele se avaria ou atinge a idade de T anos. Suponha que um carro novo custa C 1 milhares de contos e que a avaria do carro custa ao Evaristo C 2 milhares de contos. (a) Ao assumir que o Evaristo não vende os carros que deixa de utilizar, determine o montante que o Evaristo gasta, a longo-prazo, em carros por unidade de tempo. (b) Calcule o referido gasto na situação em que a duração (em anos) dos carros é uma variável aleatória Uniforme(, 1), assumindo que T é inferior a 1 anos. (c) Obtenha o valor de T que minimiza o gasto calculado em (b), quando C 1 = 3 e C 2 =.5. Considere agora que, caso o carro atinja a idade de T anos e ainda esteja em funcionamento, o Evaristo vende-o pelo preço de R(T ) milhares de contos (caso o carro avarie, o Evaristo não efectua tal venda). (d) Obtenha o gasto, a longo-prazo, do Evaristo em carros na situação em que a duração dos carros é Uniforme(2, 8), C 1 = 1, C 2 = 2 e R(T ) = 4 T/2. Identifique o valor de T que minimiza tal gasto. (e) Repita (d) tomando H(t) = (1 e t/5 ) I (,+ ) (t), C 1 = 3, C 2 =.5 e R(T ) =. Interprete o resultado obtido. Exercício 3.14 Suponha que chegam passageiros a uma estação de comboios de acordo com um processo de renovamento com tempo esperado entre renovamentos sucessivos igual a µ, e que o comboio parte assim que se encontrarem N passageiros na estação. Admita ainda que, caso se encontrem n, 1 n N, passageiros aguardando a partida do comboio, a estação tem um prejuízo de nc escudos por unidade de tempo. (a) Qual é, a longo-prazo, o prejuízo da estação por unidade de tempo? Comente o resultado. (b) Considere agora que a chegada dos passageiros é feita de acordo com um processo de Poisson e assim que se encontrarem N passageiros na estação o maquinista é avisado de que o comboio deve partir, o que ocorre, de facto, K unidades de tempo após o referido aviso. Contudo, como as portas do comboio só se fecham no instante da partida, ele acaba por levar todos os passageiros que nesse instante aguardam a partida do comboio. Obtenha o prejuízo a longo-prazo da estação por unidade de tempo. Exercício 3.15 Considere um processo de manufactura em que são produzidos artigos defeituosos ou aceitáveis. O gestor da linha de produção decidiu adoptar o seguinte esquema de inspecção de forma a detectar os artigos defeituosos: O tempo entre inspecções é constante; 5

São inspeccionados todos os artigos produzidos inspecção a 1% até que se encontre um total de k artigos aceitáveis observados consecutivamente; e Depois disso a inspecção passa a ser parcial cada artigo é inspeccionado com probabilidade α, < α < 1 mantendo-se assim até que se encontre um artigo defeituoso, a partir desse momento retoma-se a inspecção a 1%. Admita que a probabilidade de um artigo ser defeituoso é q, < q < 1, independentemente do que suceda aos restantes. (a) Determine a proporção a longo-prazo de artigos inspeccionados. (b) Se os artigos defeituosos forem destruídos logo após a sua detecção, calcule um valor aproximado para a proporção a longo-prazo de artigos defeituosos que não são destruídos. Exercício 3.16 As variáveis aleatórias A(t) e B(t) representam a idade e a vida residual de um processo de renovamento, {N(t), t } com função de distribuição do tempo entre renovamentos sucessivos F, no instante t. (a) Complete o seguinte, com < x t, s t + x/2, u < t + x e y > : A(t) > x eventos no intervalo ; B(t) > y eventos no intervalo ; e P (B(t) > y) = P (A( ) ). (b) Determine a função de distribuição conjunta de (A(t), B(t)) para um processo de Poisson. (c) Determine P (B(t) > y A(t) = x). (d) Determine P (B(t) > y A(t + x/2) = s). (e) Determine P (B(t) > y A(t + x) > u) para um processo de Poisson. (f) Determine P (A(t) > x, B(t) > y). (g) Mostre que se F possuir valor esperado finito, então A(t) t, com probabilidade 1. t + (h) Exprima por palavras o significado da variável aleatória A(t) + B(t) e demonstre que P (A(t) + B(t) > v) 1 F (v), v. Exercício 3.17 Considere um processo de renovamento com tempo entre chegadas possuindo distribuição resultante da convolução de duas exponenciais com parâmetros µ 1 e µ 2. (a) Obtenha a vida residual esperada no instante t, t. (b) Calcule a função de renovamento {M(t), t }. 6

Exercício 3.18 Seja {N(t), t } um processo de renovamento com tempos entre renovamentos sucessivos identicamente distribuídos à variável aleatória X com função de distribuição F aperiódica, e designe-se por {B(t), t } o (processo de) tempo de vida residual associado. (a) Justifique que o valor esperado do tempo de vida residual {E(B(t)), t } satisfaz a seguinte equação de tipo renovamento: E[B(t)] = + t (x t) df (x) + t E[B(t x)] df (x), t. (b) Use o teorema fundamental do renovamento para concluir que se E(X 2 ) < +, então: lim E[B(t)] = E(X2 ) t + 2 E(X). (c) Use (b) para concluir que se X Gama (n, λ), com n IN, então: lim E[B(t)] = n + 1 t + 2λ. (d) Interprete o resultado obtido em (c) por relacionamento das distribuições Gama (n, λ), n IN, e Exponencial (λ) e uso de propriedades da distribuição exponencial/processo de Poisson. Exercício 3.19 Admita que uma agência bancária funciona nos mesmos moldes que o banco descrito no Exercício??; contudo a função de distribuição do tempo entre chegadas é F. Diga, justificando, se o processo de contagem do número de eventos constituíria um processo de renovamento (eventualmente atrasado) caso o evento correspondesse a: (a) Entrada de um cliente na agência bancária. (b) Saída de um cliente da agência bancária. (c) Responda a (a) e (b) considerando agora que a distribuição do tempo entre chegadas é exponencial. Exercício 3.2 Considere um processo de renovamento atrasado, {N D (t), t }, cujo primeiro intervalo entre renovamentos possui função de distribuição G e os restantes F, e designe-se por {A D (t), t } a idade do processo. (a) Justifique que a função de renovamento {M D (t) = E[N D (t)], t } satisfaz a seguinte equação: M D (t) = G(t) + t M(t x) dg(x), t, onde M(t) = + n=1 F n(t), sendo F n a convolução de ordem n da função de distribuição F. (b) Justifique que o valor esperado da idade do processo considerado, {E(A D (t)), t }, satisfaz a seguinte equação: E[A D (t)] = t [1 G(t)] + t E[A(t x)] dg(x), t, onde {A(t), t } é a idade de um processo de renovamento possuindo F para distribuição do tempo entre renovamentos sucessivos. 7

(c) Justifique que se G possuir valor esperado finito, então: lim t [1 G(t)] =. t + (d) Use as alíneas (b) (c) e o o teorema fundamental do renovamento para processos de renovamento atrasados para concluir que se F é aperiódica e possui momento de ordem 2 finito, então: com X possuindo função de distribuição F. lim E[A D(t)] = E[X2 ] t + 2 E[X], Exercício 3.21 Suponha que chegam encomendas a uma central de correios de acordo com um processo de Poisson, de taxa λ, e que os camiões que as transportam para os seus destinos chegam de acordo com um processo de renovamento cuja distribuição entre renovamentos, F, é aperiódica. Seja X(t) o número de encomendas aguardando transporte no instante t, t. (a) Que tipo de processo estocástico é {X(t), t }? (b) Para i IN, determine uma expressão para lim t + P (X(t) = i). Exercício 3.22 A estação de serviço que o Evaristo costuma visitar possui um único servidor. Os clientes chegam à mesma de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Um cliente é imediatamente atendido se à sua chegada o servidor estiver livre; caso contrário aguarda em fila o tempo que for preciso até ser atendido. Por seu lado os tempos de serviço são independentes e possuem valor esperado µ 1 com µ > λ. Qual é, a longo-prazo, a proporção de tempo que o servidor está ocupado? Exercício 3.23 Sempre que uma componente específica de um sistema falha é substituída por uma outra do mesmo tipo. Qual é, a longo-prazo, a percentagem de tempo em que a componente do tipo referido está a ser utilizada há não mais de um ano, se a respectiva duração for: (a) Uniforme (, 2). (b) Exponencial (1). Exercício 3.24 Uma máquina produz artigos segundo um processo de Poisson {N(t), t } de taxa λ. Ao ser embalado, cada artigo é, independentemente dos restantes, sujeito a um choque cuja intensidade possui distribuição G, sendo que um choque de intensidade x provoca um prejuízo de c(x) euros. Seja, para t, C(t) o prejuízo total respeitante a choques sofridos durante a embalagem pelos artigos produzidos no intervalo (, t]. (a) Diga se {C(t), t } possui incrementos independentes, se possui incrementos estacionários e se é um Processo de Poisson. (b) Se um choque de intensidade superior a I provocar a destruição do artigo, determine a distribuição do instante de produção do primeiro artigo destruído. (c) Designando por A(u) a idade do processo {N(t), t } no instante u, e usando uma equação de tipo renovamento, calcule o valor esperado limite de A 2 (u). 8

Exercício 3.25 Após ter estado alguns dias em Londres, Evaristo decidiu que estava farto de férias citadinas. Com a vaga de frio siberiano que invadia a Europa nessa altura, o nosso amigo teve a seguinte ideia brilhante: ir passar um fim de semana prolongado a uma estação de ski em Val-d Isère nos Alpes franceses onde estavam a decorrer os campeonatos mundiais de ski alpino. Certo dia o Evaristo, farto de esquiar, decidiu fazer uma paragem e tomar um chocolate quente e comer um croissant num dos cafés da estação: o Bonhomme de Neige. Este café fica junto a uma das pistas de ski e o Evaristo, para se distrair, resolveu fazer uma análise estocástica desta pista. Assim observou que existia um grupo de n esquiadoras profissionais que contínua, mas independentemente, apanhava o teleférico para depois fazer a sua descida. O tempo (em minutos) que cada esquiadora demora a subir tem distribuição F e é independente do seu tempo de descida (em minutos), que tem distribuição H, sendo F e H aperiódicas. Seja N(t) o número total de descidas feitas por estas esquiadoras durante o intervalo de tempo (, t]. Seja ainda U(t) o número de esquiadoras que estão a subir a encosta, usando o teleférico, no instante t. (a) Determine lim t + N(t) t. (b) Obtenha uma expressão para lim t + P (U(t) = k). A primeira das esquiadoras optou por alugar um novo par de skis sempre que a duração da sua descida excedesse as T unidades de tempo. (c) Considerando que o tal aluguer é de C francos, determine o valor que a referida esquiadora gastaria, a longo-prazo, em aluguer de skis por unidade de tempo. (d) Prove que, ao admitir que as durações das descidas da tal esquiadora se distribuem uniformemente no intervalo (5m, 7m), o valor de T que minimiza o gasto calculado em (c) não depende do custo do aluguer. Identifique-o e comente. Exercício 3.26 Da estação de comboios que o Evaristo usa diariamente - para regressar da Confusão onde estuda à sua casa no Paraíso (uma pequena cidade nos subúrbios de Confusão) - partem dois tipos de comboios para Paraíso: comboios normais cujas partidas ocorrem segundo um processo de Poisson de taxa 12/hora, e expressos que partem espaçados exactamente 15 minutos. Os comboios normais demoram 2 minutos a chegar a Paraíso, enquanto que os expressos demoram apenas 13 minutos. O Evaristo desconhece completamente o horário dos comboios expressos e, por isso, o instante da sua chegada à estação não está relacionado com os processos pontuais de partidas de comboios normais e de expressos. Os passageiros que chegam à estação têm de decidir antecipadamente que tipo de comboio vão apanhar, já que os comboios normais e os expressos partem de plataformas distintas. Sabese que os passageiros que desejam apanhar um comboio normal para Paraíso chegam à estação segundo um processo de Poisson de taxa 2/minuto. Responda às seguintes questões utilizando como unidade de tempo o minuto: (a) Obtenha as distribuições do tempo que decorre entre a chegada do Evaristo à estação e a partida do próximo comboio normal e do próximo comboio expresso. 9

(b) Qual é o valor aproximado da probabilidade de num ano (365 dias) o Evaristo gastar mais de 45 horas à espera do comboio expresso para Paraíso, caso ele decida viajar sempre em comboios expresso? (c) Que plataforma aconselha que o Evaristo escolha: a dos comboios normais ou a dos expressos? Justifique. (d) Admitindo que cada partida de um comboio normal para Paraíso custa à companhia de caminhos de ferro 2 contos e que a companhia atribui um custo unitário de 5$/minuto à espera de cada passageiro por um comboio normal, calcule o custo médio diário incorrido pela empresa com as viagens efectuadas por comboios normais? (e) Determine a função de covariância do processo estocástico {N(t), t }, onde N(t) representa o número de passageiros que desejam apanhar um comboio normal para Paraíso e que chegam à estação no intervalo (, t]. Que outro processo possui a mesma função de covariância? A companhia de caminhos de ferro procedeu a alterações que fizeram com que todos os comboios para Paraíso partissem da mesma plataforma. (f) Determine, de entre os comboios que partem para Paraíso, a fracção de comboios expresso. (g) Considere que o primeiro comboio que parte para Paraíso depois da chegada do Evaristo à estação é um comboio normal e sai daí a 4 minutos. O Evaristo deve embarcar neste comboio ou esperar pelo próximo comboio expresso? Justifique. (h) Se o Evaristo pretender chegar a Paraíso o mais cedo possível, viajará mais vezes em comboio normal ou em comboio expresso? Exercício 3.27 Na estação de ski existe um restaurante onde Evaristo e a família costumam jantar. Durante um jantar, uma das suas sobrinhas gritou: Barata, barata! Foi o pânico! Mais tarde, com os ânimos já acalmados, o Evaristo perguntou ao gerente do restaurante como explicava ele o acontecido. O gerente contou então que, apesar dos seus esforços, entravam baratas no restaurante a uma taxa de λ baratas por dia. Acrescentou que, quando se regista a entrada da 5 a barata, os Serviços Públicos de Saúde encerram temporariamente o restaurante para uma desinfestação que dura um tempo aleatório. Disse ainda que os tempos entre entradas sucessivas de baratas, {G n, n IN}, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, assim como os períodos de desinfestação, {D n, n IN}. (a) Que distribuição lhe parece ser razoavelmente adequada para o instante em que os Serviços Públicos de Saúde são chamados pela primeira vez? Justifique. (b) Qual é, a longo-prazo, a percentagem de tempo em que o restaurante está fechado para desinfestação? (c) Seja, para t, N(t) o número de vezes que os Serviços Públicos de Saúde já fecharam o restaurante até ao instante t. Determine uma expressão para E(N(t)) em função da distribuição do período entre reaberturas sucessivas do restaurante. 1

(d) Suponha que: Ao restaurante chegam clientes - os esquiadores desta estação de ski - de acordo com um processo de Poisson de taxa igual a 6 clientes por hora; A quantia que cada cliente gasta no restaurante tem distribuição uniforme de 5$ a 25$, da qual 5% representa lucro para o restaurante; Cada vez que o restaurante fecha, para além dos clientes potenciais que perde, é necessário pagar uma multa de 5 $; e O tempo durante o qual o restaurante está fechado tem distribuição uniforme no intervalo de 1 a 6 dias. Qual é, a longo-prazo, a penalização por unidade de tempo em que o restaurante incorre por estar fechado para desinfestação? Exercício 3.28 Uma corporação de bombeiros recebe pedidos de serviço de acordo com um processo de Poisson de taxa 9 pedidos por semana. Os bombeiros, seja em que circunstância for, devem atender obrigatoriamente os pedidos de auxílio, ainda que alguns sejam falsos alarmes. (a) Sabendo que ao fim de 3 pedidos de auxílio um bombeiro recebe um bónus de 7 $, determine o número esperado de dias até receber o referido bónus. (b) Determine a probabilidade de ocorrerem 2 falsos alarmes em duas semanas, sabendo que 1/3 dos pedidos de auxílio que chegam à central são falsos alarmes. (c) Os bombeiros recebem presentemente 3 $ por dia, o que é, de acordo com o sindicato que os representam, manifestamente insuficiente. A entidade patronal propõe então um aumento de 25% nos salários. O sindicato descontente com esta proposta sugere o seguinte plano alternativo: cada bombeiro deverá receber, para além do ordenado fixo, um subsídio de risco (função do tipo/dificuldade das intervenções) que ronda, em média, os 1 5$ por cada pedido de auxílio. Determine qual das duas opções é, a longo prazo, mais proveitosa para os bombeiros. Exercício 3.29 Considere como unidade de tempo a hora (h). Após a abertura de uma biblioteca, o processo de chegadas de utilizadores à biblioteca, {N(t), t }, é um processo de Poisson de taxa 2. Cada utilizador dispende na biblioteca, independentemente dos restantes, um tempo aleatório com distribuição exponencial de parâmetro 2. Seja, para t, Q(t) o número de utilizadores na biblioteca t horas após a abertura; aqui assume-se que Q() =. (a) Dado que chegaram 5 clientes nos primeiros 1m de funcionamento da biblioteca, calcule a probabilidade de terem chegado pelo menos dois utilizadores nos primeiros 3m de funcionamento. (b) Cada utilizador requisita, independentemente dos restantes, um número de livros com valor esperado 2/3. Calcule o número esperado de livros requisitados por utilizadores que partem da biblioteca no intervalo de tempo (, 1). 11

(c) Nas condições da alínea anterior e para t, seja R(t) o número de livros requisitados por utilizadores que chegam à biblioteca no intervalo de tempo (, t]. O processo {R(t), t } possui incrementos independentes e estacionários. Diga se é possível {R(t), t } ser um processo de Poisson e, no caso afirmativo, em que condições isso acontece. (d) Seja {X(t), t } um processo não-decrescente, com valores em IN e possuindo incrementos estacionários. Conclua que se {X(t), t } possui incrementos independentes, então P (X(2t) = ) = [P (X(t) = )] 2, t. (e) Quando o porteiro da biblioteca não tem relógio, o tempo que o porteiro julga que demora a passar uma hora é uma variável aleatória Z com distribuição uniforme em (, 1), independente do processo de chegadas de utilizadores à biblioteca. Nessa situação, o processo {W (t) = N(tZ), t } é tal que W (t) representa o número de utilizadores que chegam a biblioteca, após a abertura, no período de tempo que o porteiro julga ser de t horas. O processo {W (t), t } possui incrementos estacionários. O processo {W (t), t } possui incrementos independentes? (f) Conclua que o processo {W (t), t }, definido na alínea anterior, é tal que, para t : (g) Conclua que, para t, P (W (t) = k) = 1 2t + n=k+1 2t (2t)n e, k =, 1,.... n! E[Q(t)] = 1 9 ( e 2t e 2t) t + 2 e 2u E[Q(t u)] du. (h) Calcule lim t + E[Q(t)]. 12