G3 FIS1026 17/06/2013 MECÂNICA NEWTONIANA B NOME: Matrícula: TURMA: QUESTÃO VALOR GRAU REVISÃO 1 3,0 2 3,5 3 3,5 Total 10,0 Dados: g = 10 m/s 2 ; Sistema de coordenadas y α constante: Δω = αt; Δθ = ω 0 t + ½ αt 2 ; ω 2 2 = ω 0 + 2αΔθ; a t = αr; v t = ωr; a c = v 2 /r; τ = r F; Στ = Iα; z x 2 I = Σ m i r i (partículas pontuais); I p = I cm + Md 2 ; I cm = β MR 2 sendo: β aro = 1; β cilindro/disco = 1/2; β esfera sólida = 2/5; β esfera oca = 2/3; I cm haste = (1/12) ML 2 ; L = r p; L = I ω ; Στ ext = dl/dt ; sen 30 o = 0,50 ; cos 30 o = 0,86 NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CÁLCULOS EXPLÍCITOS Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas. A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta É permitido o uso de calculadoras científicas simples. Não é permitido o uso de aparelhos celulares.
G3 FIS1026 17/06/2013 Nome: Matrícula: 1ª QUESTÃO (3,0 pontos) m, R Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por uma haste homogênea de massa M e comprimento l que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa m e raio R. O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade. M, l Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo z) que passe pelo ponto P. P θ y z x b) [1,0] Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P. c) [1,0] Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o vetor momento angular da esfera em relação ao ponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo t. Um corpo rola sem delizar ao longo de um plano inclinado de 30º em relação à horizontal. (Itens (a) (b) e (c) são independentes). Suponha que o corpo é uma esfera sólida. Para qualquer instante de tempo durante o rolamento no plano, calcule a razão entre a energia cinética de translação e a energia cinética total (K Trans / K Total ). b) [1,5] Suponha agora desconhecida a geometria do corpo. Mede-se que a aceleração do centro de massa durante a descida é a CM = 0,3 g. Supondo que o momento de inercia tem a forma I cm = βmr 2, calcule o valor de β. c) [1,0] Sendo o corpo um cilindro e havendo este partido do repouso a partir de uma certa altura, observa-se que adquire uma velocidade angular de 5,0 rad/s ao chegar à base do plano inclinado. Se o raio do cilindro é 0,4 m e a massa é 2,0 kg, calcule a altura a partir da qual ele começou a rolar.
3ª QUESTÃO (3,5 pontos) Um carrossel em forma de disco sólido homogêneo, com massa M = 200 kg e raio R = 1,5 m, está fixo em seu centro de massa por um eixo vertical e pode girar sem atrito no plano horizontal. Partindo do repouso, o carrossel é submetido a uma aceleração angular constante de 0,50 rad/s 2 no sentido anti-horário, até atingir uma velocidade angular 3,0 rad/s. Determine o deslocamento angular realizado pelo carrossel durante seu processo de aceleração e o tempo necessário até atingir sua velocidade angular final. Cessada a aceleração, o carrossel se mantém com velocidade angular de 3,0 rad/s. Um menino de massa m = 40 kg, correndo com uma velocidade V 0 = 5 m/s na direção mostrada na figura, tal que ϕ = 30 o, salta sobre a borda do carrorrel e se agarra a ele. Modele o menino como uma partícula. b) [1,5] Determine os vetores momento angular do menino e do carrossel, respectivamente e, imediatamente antes do salto do menino sobre o carrossel (use o sistema de coordenadas mostrado na figura). c) [1,0] Determine a velocidade angular final do conjunto carrossel+menino e o sentido da rotação (horário ou anti-horário) após o menino saltar no carrossel.
1ª QUESTÃO (3,0 pontos) Utilizando o teorema dos eixos paralelos para os dois corpos, temos: I p = M l 2 /12 + M(l /2) 2 + 2mR 2 /5 + m(l +R) 2 = M l 2 /3 + 7mR 2 /5 + m l 2 + 2mlR b) [1,0] τ p = (r F) haste + (r F) esfera τ p = [l/2 cosθ (i) + l/2 senθ (j)] Mg (-j) + [(l+r) cosθ (i) + (l+r) senθ (j)] mg (-j) τ p = [l/2 cosθ Mg + (l+r) cosθ mg] (-k) = [Ml/2 + m(l+r)] g cosθ (-k) c) [1,0] L = r mv r = x (i) + y (j) => x = (l+r) cosθ e y = (l+r) senθ ½ gt 2 v = gt (-j) L = (l+r) cosθ mgt (-k) Para um corpo rolando suavemente: K Total = K Rotação + K Trans 2 K Trans = (1/2)Mv cm K Rotação = (1/2)I CM ω 2 e v cm = ω R Neste caso : K Rotação = (1/2)(2/5 MR 2 )(v 2 cm /R 2 2 ) = (1/5)Mv cm Então K Trans /K Total = (1/2 Mv 2 2 cm ) / (1/2 Mv cm + 1/5 Mv 2 cm ) = (1/2) / (7/10) K Trans / K Total = 5/7 Veja que o resultado é valido para qualquer instante de tempo. b) [1,5] A segunda Lei de Newton para translação e rotação fica: Mgsen30º - F at = Ma cm F at R = l cm α E para o corpo rolando suavemente: a cm = αr Então: Mgsen30º - F at = Ma cm e F at R = l cm α = βmr 2 *a cm /R F at = βma cm. Substituindo a expressão para F at na primeira equação teremos: Mgsen30º - F at = Ma cm = Mgsen30º - βma cm Mgsen30º = (1+ β)ma cm a cm = gsen30º / (1+ β). Se a cm = 0,3*g 0,3 = sen30º / (1+ β) β = (sen30º/0,3) 1 β = (0,5/0,3) 1 = 5/3 1 = 2/3 = 0,66
c) O teorema trabalho energia estabelece que WTotal = ΔK = KF KI = KF, pois ele começou a cair do repouso. Durante o rolamento suave no plano inclinado, a única força que faz trabalho é a gravidade. Então: WTotal = MgH Para o rolamento: KF = (1/2)Mvcm2 + (1/2)Icmω2 = (1/2)[MR2 + (1/2)MR2]ω2 = (1/2)[(3/2)MR2]ω2 KF = (3/4)MR2ω2 MgH = (3/4)MR2ω2 H = (3R2ω2)/(4g) = (3*0,42*52)/(4*10) = 0,3m = 30cm Sendo a aceleração angular constante, tem-se: = +. 3 = 0 + (0,5). = 6 ; substituindo em (): (0,5). 6 =. +. 2 = 0.6 + 2 = 9 "# OU: = + 2.. 3 = 0 + 2. (0,5). = 9 "# b) [1,5] = =... "# 180 ( ) = [ 1,5. 40.5. "# 150 ] = (150. ) (direção e sentido de determinados pela regra da mão direita) =. =. 2. (+) 200. (1,5) = +[ 2).3] = +(675. ) (obs: J.s = kg m2/s) c) [1,0] As forças entre o menino e o carrossel são produzidas em pares ação e reação, gerando torques opostos que se anulam (torque interno resultante nulo) e o sistema (carrossel + menino) está livre de torques externos. Desta forma, o momento angular total do sistema é conservado, com ambos os componentes do sistema passando a girar com mesma velocidade angular no final: "#$% = "ó ( + )"#$% = ( + )"ó " 150 + 675 =. 2. + (. ). ""., = [ ".(,) ] = +(1,67 "#/) (carrossel permanece girando no sentido anti-horário)