TEOREMA DE PITÁGORAS CONTEÚDOS Triângulos retângulos Teorema de Pitágoras AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS O teorema de Pitágoras está relacionado aos triângulos retângulos. Assim, antes do início dos nossos estudos sobre o teorema, vamos relembrar algumas características desses triângulos. Triângulo retângulo Identificamos como triângulo retângulo todo triângulo que apresenta um de seus ângulos reto e os outros dois ângulos agudos. Lembre-se: ângulo reto apresenta medida igual a 90
Em um triângulo retângulo temos os seguintes elementos: cateto hipotenusa O lado oposto ao ângulo reto é identificado como hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto são identificados como catetos. cateto O Teorema de Pitágoras No mosaico a seguir, há a reprodução de três quadrados e um triângulo retângulo ABC, todos esses polígonos são compostos por pequenos triângulos. Observe que os quadrados são formados a partir dos lados do triângulo retângulo ABC, o qual apresenta o ângulo A igual a 90. Considerando que cada triângulo menor representa uma unidade de medida de área, verifica-se uma relação entre a área do quadrado construído sobre a hipotenusa do triângulo ABC e as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Unidade de área Para observar a relação mencionada anteriormente, vamos numerar esses quadrados, identificando-os como 1, 2 e 3.
O quadrado 1 apresenta área igual a 16 unidades ao quadrado. 1 2 O quadrado 2 apresenta área igual a 32 unidades ao quadrado. 3 O quadrado 3 apresenta área igual a 16 unidades ao quadrado. O quadrado 2, que apresenta maior área, tem sua área equivalente a soma das áreas dos quadrados 1 e 3. Área do quadrado 1 = 16 unidades ao quadrado Área do quadrado 2 = 32 unidades ao quadrado Área do quadrado 3 = 16 unidades ao quadrado Área do quadrado 2 = Área do quadrado 1 + Área do quadrado 3 32 unidades ao quadrado = 16 unidades ao quadrado + 16 unidades ao quadrado Comparando as áreas, verifica-se que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Identificando o lado do quadrado 1 como c, o lado do quadrado 2 como a e o lado do quadrado 3 como b, podemos dizer que: a² = b² + c² Essa relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, é identificada como Teorema de Pitágoras. E segundo o teorema, em todo triângulo retângulo temos:
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a² = b² + c² Vejamos a validade do teorema para um triângulo retângulo que apresenta medida da hipotenusa igual a 15 cm e os catetos medindo 9 cm e 12 cm. Para auxiliar nesse cálculo, vamos fazer um esboço do triângulo identificando seus catetos e sua hipotenusa. 9 cm 15 cm 12 cm De acordo com o teorema temos: 15² = 9² + 12² 225 = 81 + 144 225 = 225 Verifica-se a validade para o triângulo retângulo de medidas iguais a 15 cm, 12 cm e 9 cm. Aplicações do teorema Na construção civil, as resoluções de inúmeras situações utilizam o teorema. Vejamos algumas delas: 1º - Imagine que na construção de uma escada deseja-se saber qual será o comprimento de sua rampa, dada a distância entre o início da escada e o muro que servirá de apoio para sua construção, conforme visualiza-se na ilustração.
3 m? Neste caso, a rampa representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, e para aplicar o teorema de Pitágoras, vamos identificar essa medida desconhecida como x. Assim, tem-se: x² = 3² + 4² x² = 9 + 16 x² = 25 4 m Portanto, a rampa terá 5 metros de comprimento. x = 25 x = 5 2º - Você já ouviu falar de tesouras? Não estamos falando daquele utensílio utilizado para fazer cortes, um velho conhecido das costureiras. Nossa referência, neste momento, é sobre algo muito conhecido dos profissionais da construção civil, especificamente aqueles que trabalham com telhados. Na construção civil, tesoura é conhecida como um tipo de estrutura feita na construção de telhados. Ela tem a função de uma viga. Veja alguns exemplos de tesouras. Figura 1 Telhado I Fonte: Microsoft Office Figura 2 Telhado II Fonte: Wikimedia Commons
Observe que nos exemplos dados, os triângulos retângulos são importantes formas que compõem a tesoura, auxiliando a função de viga da tesoura. Saiba mais Viga é identificada como uma peça de madeira, Na construção de uma tesoura, o conhecimento sobre o ferro, ou concreto teorema de Pitágoras auxilia no desenvolvimento dos cálculos armado, utilizada para realizados para construí-la com as medidas exatas. Vejamos um exemplo: dar horizontal sustentação na Suponha que na construção de uma tesoura, deseja-se saber construção. qual será o comprimento da madeira que ficará na horizontal, isso porque essa madeira, segundo o telhadista, deve ter largura maior do que as demais, assim, sua medida precisa ser conhecida para que seja comprada a quantidade ideal do material. Acompanhe o desenho que apresenta o formato e as medidas de uma tesoura. 1,5 m 2,5 m Considerando que os 4 triângulos retângulos menores que formam essa madeira horizontal são congruentes, para calcular o comprimento dessa madeira podemos aplicar os seguintes cálculos: Primeiramente, observe que duas das medidas de um desses triângulos é conhecida, e para saber o comprimento da madeira, basta calcular a medida do cateto e multiplicá-la por 4, já que todos os triângulos retângulos apresentam medidas iguais. Para tanto, identificaremos como x o cateto que tem medida desconhecida.?
x Assim, segundo o teorema de Pitágoras, temos: (2,5)² = (1,5)² + x² 6,25 = 2,25 + x² 6,25 2,25 = x² x² = 4 x = 4 x = 2 Se cada cateto, identificado como x, apresenta medida igual a 2 m, o comprimento total da madeira horizontal que compõem essa tesoura, deverá ser igual a 8 m. Observe: 2 m 2 m 2 m 2 m 8 m
A demonstração do teorema Existe mais de uma forma de demonstrar o teorema de Pitágoras, faremos aqui a demonstração por meio da semelhança de triângulos. Acompanhe: Considere o triângulo ABC em que A é o ângulo reto. O segmento h representa a altura relativa a hipotenusa do triângulo ABC. Ao traçar a altura do lado BC, obtemos outros dois triângulos retângulos, acompanhe: Esses triângulos serão identificados como triângulos II e II. I II
O triângulo ABC será identificado como triângulo III. III Nos triângulos I e II, os catetos não identificados serão indicados como m e n. m n Sabendo que em qualquer triângulo retângulo ao traçar a altura relativa a hipotenusa obtém-se dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado, concluímos que os triângulos ABC, ABH e AHC, são semelhantes. Fica a dica Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais. Sendo esses triângulos semelhantes, em relação aos triângulos II e III, temos as seguintes relações: b n b² = a.n a b
Em relação aos triângulos I e III, temos: c m c² = a.m a c Analisando os três triângulos, observamos que os segmentos m e n representam a hipotenusa do triângulo ABC. Ou seja: m + n = a Se: c² = a.m e b² = a.n Adicionando essas igualdades temos: c² + b² = a.m + a.n Ou ainda: c² + b² = a.(m+n) Sendo m + n = a, substituindo esses termos na igualdade, temos: c² + b² = a.a c² + b² = a² A partir das relações entre as medidas dos triângulos, demonstramos o teorema de Pitágoras, o qual pode ser representado pela seguinte expressão: a² = b² + c² Saiba mais Em síntese, na Matemática identificamos como demonstração um processo de raciocínio lógico dedutivo onde considerando uma hipótese, se deduz, por argumentos, a proposição. Uma demonstração garante que se a hipótese ocorre consequentemente a proposição ocorre.
ATIVIDADES 1. Verique se em cada um dos triângulos retângulos apresentados, temos o quadrado da medida da hipotenusa igual a soma dos quadrados das medidas dos seus catetos. a) b) 6 8 13 5 10 12 2. Identifique, cada uma das sentenças como verdadeira (V) ou falsa (F). a) Se a² = b² + c², considerando b = 12 e c = 16, temos a² = 225. ( ) b) Se a² = b² + c², considerando b = 20 e c = 9, temos a² = 481. ( ) c) Se a² = b² + c², considerendo b = 1 e c = 3, temos a² = 4. ( ) d) Se a² = b² + c², considerando b = 16 e c = 12, temos a² = 400 ( ) 3. Suponha que temos um triângulo retângulo, conforme a ilustração. 10 cm 5 cm Sabendo as medidas de seus catetos, determine a medida de sua hipotenusa por meio da utilização do teorema de Pitágoras.
4. Na figura apresentada abaixo, o triângulo QTS é equilátero. Determine o perímetro do quadrilátero RQTS. 5. A diagonal maior de um losango tem medida igual a 80 cm. E sua diagonal menor igual a 18 cm. Qual é a medida do lado desse losango? 6. Uma sala comercial de formato retangular tem uma diagonal de 65 m e comprimento igual a 13 5 dessa medida. Deseja-se trocar todo o piso dessa sala, para tanto, será necessário comprar, aproximadamente, a) 625 m². b) 1.500 m². c) 1.825 m². d) 325 m².
7. ( Saresp 2007) A pipa é um quadrilátero que tem dois lados consecutivos e dois ângulos opostos com medidas iguais. Observe a figura: os lados e ângulos congruentes estão marcados de forma igual. Para construir uma pipa de papel de seda são colocadas duas varetas perpendiculares, nas diagonais do quadrilátero. Quantos centímetros de vareta, no mínimo, foram usados para construir a pipa representada na figura? a) 41 b) 45 c) ( 569 + 24) d) ( 569 + 10) 8. Para realizar a manutenção da rede elétrica, uma empresa fornece a seus funcionários uma escada de comprimento igual a 10 metros. Segundo os funcionários, essa medida é insuficiente para realizar a manutenção da rede elétrica, já que obedecendo as orientações de segurança, durante a utilização da escada, ela deve ser posicionada, horizontalmente, a uma distância de 2 metros entre a escada e o poste. Considerando a orientação, qual é a altura máxima aproximada que a escada de 10 metros consegue atingir? 2 m
LEITURA COMPLEMENTAR Pitágoras nasceu na ilha de Samos, na Grécia. Provavelmente recebeu instrução matemática e filosófica de Tales e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos, viajou pelo Egito e Babilônia- possivelmente indo até a Índia. Durante suas peregrinações, ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas como também muitas ideias religiosas. Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia (na costa sudoeste da atual Itália), onde fundou a Escola Pitagórica dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. Figura 3 - Pitágoras Fonte: Wikimedia Commons À Pitágoras são atribuídas várias descobertas, sobre as propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração do teorema que levou seu nome (cujo o enunciado já era conhecido pelos babilônios). Os membros da Escola pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual. Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta ideia, provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a 2 e que este número é incomensurável (hoje chamamos de números irracionais esses números). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade. 2
No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo 1, 2 2, 3 3 4, etc. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior. Entre as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos podemos citar: a classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares; o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum; que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; Também desenvolveram métodos geométricos para demonstrar diversas identidades algébricas e estudaram os sólidos regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro. O símbolo que representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, isto devido às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam um novo pentágono interior ao anterior. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pitagoras.html>. Acesso em: 28 abr. 2016. 10h. INDICAÇÕES Acesse os materiais indicados nos links a seguir e estude um pouco mais sobre o teorema de Pitágoras O barato de Pitágoras Disponível em:< http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-o-barato-de-pitagoras
Aplicações do Teorema de Pitágoras Disponível em:< http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/textos_site/lists/texto/dispfor m.aspx?id=125&source=http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/texto s_site/lists/texto/cienciasnaturezai.aspx> REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Giovanni; JUNIOR, Giovanni. A Conquista da Matemática 9º ano. São Paulo: FTD, 2015. IMÁTICA. A Matemática Interativa na Internet. Pitágoras de Samos. Disponível em: < https://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pitagoras.html>. Acesso em: 28 abr. 2016. 10h. MICROSOFT Office for Windows 2009. Version 7. [S.l.]: Microsoft Corporation, 2009. 1 CD-ROM. SÃO PAULO ( ESTADO).Secretaria de Estado da Educação. Saresp- 2007. Disponível em:< http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/arquivos/provas%202007/matem%c3%a1tica/8%c2%a A%20s%C3%A9rie%20EF/3_Noite/Prova-MAT-8EF-Noite.pdf>. Acesso em: 20 abr. 2016. 12h35min. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: <http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/conteudoceeja.aspx?materiaid=78&tipo=alu no>. Acesso em: 18 abr. 2016. 10h. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 1: livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 10-21. WIKIMEDIA COMMONS. Pitágoras. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/file:pit%c3%a1goras-rp-01.jpg?uselang=pt-br>. Acesso em: 20 abr. 2016. 15h25min. GABARITO 1. a) Sendo a hipotenusa igual a 10, temos: 10² = 6² + 8² 100 = 36 + 64
100 = 100 b) Sendo a hipotenusa igual a 13, temos: 13² = 12² + 5² 169 = 144 + 25 169 = 169 2. a) F 225 = 12² + 16² 225 = 144 + 256 225 400 b) V 481 = 20² + 9² 481 = 400 + 81 481 = 481 c) F 4 = 1² + 3² 4 = 1 + 9 4 10 d) V 400 = 12² + 16² 400 = 144 + 256 400 = 400 De acordo com o teorema, temos: a² = b² + c² Neste caso, temos: a² = 5² + 10²
a² = 25 + 100 a² = 125 a = 125 A raiz de 125 não é um número inteiro, e para simplificar esse radical, vamos representar, por meio de fatores primos, o número 125. Acompanhe: 125 = 5.5.5 125 = 5.5.5 5². 5 5. 5² = 5. 5 Ou seja, a raiz de 125 é igual a 5. 5. Como a raiz de 5 não é um número racional, vamos considerá-la aproximadamente 2,24. Sendo assim, temos: 5.2,24 = 11,20 Portanto, a hipotenusa desse triângulo tem aproximadamente 11,20 cm. Ou, podemos ainda manter a raiz e representar a medida da hipotenusa como 5 5. 4. Para determinar o perímetro do quadrilátero é necessário saber a medida do lado do triângulo QTS. Sendo um de seus lados a hipotenusa do triângulo retângulo RQS, para conhecer a medida do lado do triângulo equilátero, basta calcular a hipotenusa aplicando o teorema de Pitágoras. Para tanto, vamos identificar a hipotenusa como x. x² = 8² + 6² x² = 64 + 36 x² = 100 x = 100 x = 10 Se a medida do lado do triângulo equilátero é igual a 10 cm, os lados ST e QT, que fazem parte do quadrilátero RQTS, medem 10 cm cada um. Assim, o perímetro do quadrilátero é igual a 34 cm. 6 cm + 8 cm + 10 cm + 10 cm = 34 cm.
5. Observe que ao traçar as diagonais do losango a figura é dividida em 4 triângulos retângulos. O lado do losango representa a hipotenusa de cada um desses triângulos. Assim, para saber a medida do lado desse losango basta calcular a medida da hipotenusa, a qual identificaremos como x. x² = 40² + 9² x² = 1.600 + 81 x² = 1.681 x² = 41 Portanto, a medida do lado desse losango é igual a 41 cm. 6. A alternativa correta é a letra B. Para saber a metragem do piso que deverá ser comprado, basta calcular a área da sala. Como sua largura não é conhecida, aplicando o teorema de Pitágoras, é possível determinar seu valor, pois é informado a medida de seu comprimento e de sua diagonal. Acompanhe o esboço para compreender melhor as medidas informadas. 25 65 x A diagonal mede 65 e o comprimento 13 5 da diagonal, ou seja, 25 m. 5.65 13 325 25 13
Observe que a diagonal representa a hipotenusa de um triângulo retângulo. Identificando a largura dessa sala como x, temos: 65² = 25² + x² 4.225 = 625 + x² 4.225 625 = x² 3600 = x² x = 60 Sendo a largura de valor aproximadamente igual a 60 m, para calcular a área basta multiplicar essa medida pelo comprimento. Área = 25 x 60 Área = 1.500 m² 7. Ao traçar as diagonais do quadrilátero, obtemos quatro triângulos retângulos. Para saber qual a metragem de vareta utilizada para construir a pipa, vamos utilizar o teorema de Pitágoras. Primeiramente vamos calcular a medida do cateto do triângulo que apresenta hipotenusa igual a 13 cm. 13 cm x cm 5 cm O cateto desconhecido vamos identificar como x. 13² = 5² + x² 169 = 25 + x² 169 25 = x² 144 = x² x = 144 x = 12
Portanto, parte da vareta mede 12 cm. Para calcular todo o seu comprimento é necessário aplicar novamente o teorema de Pitágoras para calcular o cateto do triângulo de hipotenusa igual a 20 cm. 12 cm 20 cm y cm Agora, vamos identificar a medida do cateto desconhecido como y. 20² = 12² + y² 400 = 144 + y² 400 144 = y² 256 = y² y = 256 y = 16 Determinamos mais uma parte do comprimento da vareta. Com os cálculos realizados concluímos que serão necessários 45 cm de vareta para construir a pipa. Acompanhe: 12 cm 5 cm 12 cm 16 cm 12 cm + 12 cm + 16 cm + 5 cm = 45 cm
8. Para conhecer a altura máxima aproximada que a escada pode atingir, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Para tanto, veja que ao interpretar a imagem que apresenta a posição da escada em relação ao poste, podemos descrever um triângulo retângulo, em que a escada representa a hipotenusa. Neste caso, deseja-se saber a medida de um dos catetos desse triângulo. Vamos identificar esse cateto como x. 10² = 2² + x² 100 = 4 + x² 100 4 = x² 96 = x² x = 96 x = 9,8 ( aproximadamente) 10 m 2 m Portanto, a escada atingirá a medida máxima, aproximada, de 9,8 m.