UNIVERSIDADE PARANAENSE - UNIPAR: 2004 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

UNIVERSIDADE PARANAENSE - UNIPAR: 2004 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral Professor ADILANDRI MÉRCIO LOBEIRO Departamento de Matemática - UNIPAR Umuarama, fevereiro de 2004

Capítulo 1 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 1.1 SEQÜÊNCIAS 1.1.1 Introdução A palavra seqüência é usada em linguagem corrente para significar uma sucessão de coisas dispostas numa ordem definida. Aqui, nós estamos interessados em seqüências de números como 1, 3, 5, 7, 9 ou 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, Cada número em separado que aparece na seqüência é chamado de termo da seqüência. Uma seqüência tendo apenas um número finito de termos (assim como a seqüência 1, 3, 5, 7, 9 ) é chamada de seqüência finita. Observe que a seqüência 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, (cujos termos são os quadrados perfeitos dispostos em ordem crescente) envolve um número infinito de termos e é, portanto, uma seqüência infinita. Como não podemos listar todos os termos de uma seqüência infinita, lançamos mão da convenção de escrever uns poucos primeiros termos e, então colocamos pontos para significar e assim por diante. 1

Definição 1.1 Uma seqüência é uma aplicação f : IN {0} A n f(n) onde IN é o conjunto dos números naturais e A é um conjunto qualquer. Se A IR, a seqüência é dita real. Os números na imagem de uma seqüência são chamados de elementos da seqüência. Se o n-ésimo elemento for dado por f(n), então a seqüência será o conjunto de pares ordenados da forma (n, f(n)), onde n é um inteiro positivo. Neste curso, os elementos na imagem da seqüência serão sempre reais. Exemplo 1.1 Fazer um esboço do gráfico da sequência f : IN {0} IR n f(n) = 1 n Observação 1.1 Como o domínio de toda sequência é o mesmo, podemos, usar a notação {f(n)} para denotar uma sequência. Também usamos a notação {a n } para denotar a seqüência para a qual {f(n) = a n }. Além disto, a n é chamado termo geral, termo de ordem n ou n-ésimo termo da seqüência. Exemplo 1.2 Observe as seguintes sequênciais: 1. a n = n denota a seqüência {1, 2, 3, 4, } e denotamos {a n } = {1, 2, 3, 4, } 2. a n = 1 n é a seqüência { 1, 1 2, 1 3, 1 4, } 3. a n = ( 1)n + 1 12 13 é a seqüência {0, 1, 0,, 0,, } n { 1 4. Se {a n } = 2, 1 3, 1 } 4, 1 n, n 2 5. Se {a n } = { 1, 1, 1, 1, } então a n = ( 1) n então o termo geral da seqüência é a n = 1 n + 1 ou a n = 2

1.1.2 Limite de uma seqüência Definição 1.2 Dada a seqüência {a n } e um número L, dizemos que L é o limite de {a n } se, para cada número positivo ɛ, existir um número positivo N tal que a n L < ɛ sempre que n > N o que é equivalente a escrever lim a n = L n + Exemplo 1.3 Use a definição (1.2) para provar que: 1 1. lim n + n = 0 n 2. lim n + 2n + 1 = 1 2 3. lim n + a n = c onde a n = c 1.1.3 Limites infinitos Definição 1.3 Dizemos que lim a n = + se, para cada k > 0, pudermos determinar n + um número N > 0, tal que a n > k sempre que n > N. Exemplo 1.4 Use a definição (1.3) para provar que lim n + 2n = + Definição 1.4 Dizemos que lim a n = se, para cada k > 0, pudermos determinar n + um número N > 0, tal que a n < k sempre que n > N. Exemplo 1.5 Use a definição (1.4) para provar que lim n + 3n = 1.1.4 Convergência e Divergência de uma seqüência Se {a n } tem limite L, finito, dizemos que a seqüência é convergente e que converge para L (escrevemos a n L). Se não existe o limite ou se seqüência é divergente. 3 lim a n = ±, dizemos que a n +

Exemplo 1.6 Mostre que 12 13 14 1. Se {a n } = {1,,,, } então {a n } é convergente. 2. Se {a n } = { 1 2, 1 4,, 1 } 2, então {a n n } é convergente. 3. Se {a n } = 2 n então {a n } é divergente. Observação 1.2 Se {a n } é uma seqüência e f(x) é uma função definida para todo número real x 1 e se f é tal que f(n) = a n então, se lim f(x) = L, temos que x + lim a n = L. Isso nos permite aplicar a limites de seqüência os teoremas sobre limites n + de funções quando x +, e, em especial, a regra de L Hospital. Exemplo 1.7 Determine o limite da seqüência a n = 5n e 2n 1.1.5 Seqüências Monótonas Definição 1.5 Uma seqüência a n é crescente se, para todo n, a n a n+1. Se a n < a n+1, para todo n, a seqüência é estritamente crescente. Definição 1.6 Uma seqüência a n é decrescente se, para todo n, a n a n+1. Se a n > a n+1, para todo n, a seqüência é estritamente decrescente. Chamamos de sequência monótona uma seqüência que seja crescente ou decrescente. Exemplo 1.8 Verifique que 1. {a n } = {2, 4, 8,, 2 n, } é uma seqüência estritamente crescente. 12 13 1n 2. {a n } = {1,,,,, } é uma seqüência estritamente decrescente. 3. {a n } = 12 1n { 1,, 13,,, } é uma seqüência estritamente crescente. 4

1.1.6 Seqüências Limitadas Superiormente e Inferiormente Definição 1.7 Uma seqüência a n é dita limitada superiormente se, existe um número M tal que a n M, n. Neste caso, M é chamado limitante superior. Definição 1.8 Uma seqüência a n é dita limitada inferiormente se, existe um número m tal que a n m, n. Neste caso, m é chamado limitante inferior. Definição 1.9 Uma seqüência a n é dita limitada se, existe um número k tal que a n k, n. Chamamos k de limitante da seqüência e k = max { M, m }. Exemplo 1.9 Nos itens abaixo, determine se a seqüência é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada. { } 1 1. {a n } = n 2. {a n } = {( 1) n n} Definição 1.10 Dizemos que M é o supremo (sup), ou menor limitante superior da seqüência {a n } se 1. M é um limitante superior de {a n } e 2. ɛ > 0, n 0 tal que a n0 (M ɛ, M] Observe que sup{a n } pode ou não pertencer a seqüência. Se M = a n0, para algum n 0, isto é, M é um elemento da seqüência então, M é chamado máximo da seqüência. Definição 1.11 Dizemos que m é o ínfimo (inf), ou maior limitante inferior da seqüência {a n } se 1. m é um limitante inferior de {a n } e 2. ɛ > 0, n 0 tal que a n0 [m, m + ɛ) Observe que inf{a n } pode ou não pertencer a seqüência. Se m = a n0, para algum n 0, isto é, m é um elemento da seqüência então, m é chamado mínimo da seqüência. 5

Exemplo 1.10 Nos itens abaixo, determine o supremo e o ínfimo da seqüência {a n }. { } 1 1. {a n } = n { 2. {a n } = 1 } n 3. {a n } = { ( 1) n + 1 } n 4. {a n } = {( 1) n (2n 1)} 1.1.7 Teoremas sobre Seqüências A definição de uma seqüência como uma função permite a aplicação de muitas das idéias previamente desenvolvidas para funções diretamente nas seqüências. Omitindo as demonstrações, porque elas são análogas às demonstrações dos correspondentes teoremas para funções, estabelecemos alguns, na terminologia de seqüências. Teorema 1.1 Se o limite de uma seqüência existe, ele é único. Teorema 1.2 Se {a n } e {b n } são seqüências convergentes, isto é, lim b n = L 2 e se c é uma constante, valem: n + lim a n = L 1 e n + 1. lim n + c = c 2. lim n + ca n = c lim n + a n = cl 1 3. lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = L 1 ± L 2 n + n + n + ( ) ( ) 4. lim (a n b n ) = lim a n lim b n = L 1 L 2 n + n + n + 5. lim n + ( an b n ) = lim n + a n lim n + b n = L 1 L 2 se L 2 0 Teorema 1.3 Todo seqüência convergente é limitada. Observação 1.3 A recíproca é falsa, pois basta observar a seqüência {a n } = {( 1) n }. Basta então verificar que uma seqüência não é limitada para concluir que ela não converge. 6

Teorema 1.4 Todo seqüência monótona e limitada é convergente. Exemplo 1.11 Use o teorema (1.4) para provar que a seqüência {a n } = convergente. { } 2 n n! é Teorema 1.5 (Teorema do anulamento) Se lim (a n b n ) = 0 n + { Exemplo 1.12 Determine o limite da seqüência dada por lim a n = 0 e {b n } é limitada, então n + a n = cos n n Teorema 1.6 (Teorema do Sanduíche) Se {a n }, {b n } e {c n } são seqüências tais que {a n b n c n } n e, se lim n + a n = L = lim c n então n + Exemplo 1.13 Determine o limite da seqüência dada por Teorema 1.7 Seja {a n } uma seqüência. Se lim b n = L. n + lim a n = 0 então n + Exemplo 1.14 Determine o limite da seqüência dada por }. { } a n = cos2 n. 3 n lim a n = 0. n + { a n = ( 1) n+1 1 }. n Teorema 1.8 Seja a n > 0 e a n+1 a n c, onde c < 1, então a n 0. Teorema 1.9 Se a < 1 lim n + an = 0 e se a > 1 a n diverge. 1 a Lista de Exercícios 1. Considere a seqüência {1, 2, 3, 3,, } na qual s 1 = 1, s 2 = 2 e s n = 3 para cada número natural n 3. Dê exemplos de outras duas seqüências que possuam a mesma imagem. 2. Seja c um número real dado que é o primeiro termo da seqüência {a n } e seja {a n = c + (n 1)d}, onde d é um número dado. Escreva os cinco primeiros termos desta seqüência. (Tal seqüência é chamada uma seqüência aritmética). 3. Seja a 0 um número real dado que é o primeiro termo da seqüência {g n } e seja {g n = aq n 1 }, onde r é um número real dado. Escreva os cinco primeiros termos desta seqüência. (Tal seqüência é chamada uma seqüência geométrica). 7

4. Se 1 são os dois primeiros termos de uma seqüência {a n } onde {a n = a n 1 + a n 2 }, n 3. Por exemplo, a 3 = 1 + 1 = 2. Escreva os sete primeiros termos desta seqüência. (Esta seqüência é chamada uma seqüência Fibonacci). 5. Esboce o gráfico das seguintes seqüências: ( (a) a n = 1 + 1 ) n n (b) a n = 2 1 n 2 (c) a n = ( 1)n n (d) a n = ( nπ n sin 2 (e) a n = 4n n! ) Nos exercícios de 06 a 10 encontre o termo geral de cada seqüência. 6. {2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; } 7. {0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, } 23 53 8. {, 1, 43,, 2, } 9. { 1 2, 3 4, 7 } 8, 15 16, 10. {0, 0, 8, 0, 24, 0, 48, 0, 80, } 11. 12. 13. Nos exercícios de 11 a 13, use a definição (1.2) de limite para demonstrar que a seqüência dada tem o limite L. { } 3 ; L = 0 n 1 { } 8n ; L = 4 2n + 3 { } 5 n ; L = 1 2 + 3n 3 Nos exercícios de 14 a 25, determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se as seqüências convergem, encontre seus limites. 8

{ } n 2 + 1 14. n { } 2n 2 + 1 15. 3n 2 n { } ln n 16. n 2 { } exp n 17. n { n 18. n + 1 sin nπ } 2 { 1 19. n 1 } n + 1 { n } 20. + 1 n 21. {(0, 9) n } {( 22. 1 + 1 ) n } 3n {( 23. 1 + 2 ) n } n 24. 25. 26. { n 0 { 1 1/n } exp x dx } dx Sugestão Para o (22) e (23), use que lim(1 + x) 1/x = exp. x n 0 Nos exercícios de 26 a 35 discuta a monotonicidade e a limitação da seqüência dada. Determine, se possível, o sup, inf, o máximo e o minímo de cada seqüência. Justifique. { } 3n 1 4n + 5 27. {sin nπ} { } 2 n 28. 1 + 2 n { } n! 29. 3 n 9

{ n } 30. 2 n 31. { ( 1) n n + n 2} } 32. {( 1) n n2 3 n { } 5 n 33. 1 + 5 2n { } n n 34. n! { } n! 35. 1 3 5 (2n 1) Nos exercícios de 36 a 41 demonstre que a seqüência dada é convergênte. Sugestão: Use o teorema (1.4). 36. A seqüência do exercício (26) 37. A seqüência do exercício (28) 38. A seqüência do exercício (30) 39. A seqüência do exercício (33) 40. A seqüência do exercício (35) { } n 2 41. 2 n Nos exercícios de 42 a 49 verifique se é possível encontrar exemplos (diferentes dos exemplos dados em aula) e exiba-os. 42. Uma seqüência convergente e não limitada. 43. Uma seqüência limitada e não convergente. 44. Uma seqüência que não possui máximo (ou mínimo) que seja convergente. 45. Uma seqüência sem sup e sem inf. 46. Uma seqüência {a n } tal que lim n a n = L e divergente. 10

47. Uma seqüência convergente mas não monótona. 48. Uma seqüência monótona mas não limitada. 49. Uma seqüência decrescente limitada e convergente. 1.2 SÉRIES 1.2.1 Séries Infinitas de Termos Constantes Definição 1.12 Dada uma seqüência (u 1, u 2, u 3,, u n ) denomina-se série a soma infinita u 1 + u 2 + u 3 + + u n + = Definição 1.13 Dada uma série série dada à seqüência {S n } n IN definida por u n u n, denomina-se seqüência das somas parciais da Definição 1.14 S 1 = u 1 S 2 = u 1 + u 2 S 3 = u 1 + u 2 + u 3 S 4 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4. S n = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + + u n 1. Dada a série + u n, dizemos que ela é convergente quando a seqüência das somas parciais é uma seqüência convergente. Neste caso, sua soma é u n = S = lim n + S n 2. Quando {S n } n IN é divergente, dizemos que a série é divergente. Exemplo 1.15 Dada a seqüência u n = 1 2 n 1 11

temos a série infinita u n = 1 2 n 1 1. determine os quatro primeiros elementos daa seqüência das somas parciais {S n } n IN. 2. determine a fórmula para {S n } n IN, em termos de n. 3. determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, obtenha sua soma. Quando {S n } n IN é uma seqüência de somas parciais, S n 1 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + + u n 1 assim usaremos essa fórmula no exemplo a seguir. S n = S n 1 + u n Exemplo 1.16 Dada a série infinita u n = 1 n(n + 1) 1. determine os quatro primeiros elementos daa seqüência das somas parciais {S n } n IN. 2. determine a fórmula para {S n } n IN, em termos de n. 3. determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, obtenha sua soma. Teorema 1.10 Se u n é convergente então lim u n = 0 n + O Teorema 1.10 fornece um teste simples para divergência, pois se podemos conclui que u n é divergente. Exemplo 1.17 Prove que as duas séries seguintes são divergentes. lim u n 0 n + 12

1. n 2 + 1 n 2 2. ( 1) n+1 3 O inverso do Teorema 1.10 é falso. Isto é, se lim u n = 0, então não é necessariamente verdadeiro que a série seja convergente. Um exemplo disso é a chamada n + Série Harmônica, que Obviamente, diverge. lim n + 1 n = 0. 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n + Provaremos no exemplo (1.18) que a série harmônica Definição 1.15 Uma seqüência {u n } n IN é de Cauchy quando para cada ɛ > 0, n 0 IN tal que se m, n n 0 então u m u n < ɛ Teorema 1.11 Se {u n } n IN é uma seqüência de números reais. Então {u n } n IN converge se, e somente se {u n } n IN é de cauchy. Teorema 1.12 (Critério de Cauchy) Seja + u n uma série e {S n } n IN a seqüência das somas parciais da série dada. Então a série + u n converge se, e somente se, ɛ > 0, n 0 IN tal que se m, n n 0 então S m S n < ɛ. Exemplo 1.18 Vamos provar que a série harmônica é divergente. 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + Uma série geométrica é da forma ar n 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + + ar n 1 + Teorema 1.13 A série geométrica converge para a soma geométrica diverge se r 1. a 1 r se r < 1 e a série Exemplo 1.19 Expresse a dízima períodica 0, 333 como uma fração comum. 13

1.2.2 Quatro Teoremas Sobre Séries Infinitas Teorema 1.14 Sejam + a n e + b n tais que n 0 IN tal que a n = b n, n n 0. Então ambas convergem ou ambas divergem. Exemplo 1.20 Determine se a série infinita é convergente ou divergente 1 n + 4 Teorema 1.15 Seja c uma constante não-nula. 1. Se a + u n for convergente e sua soma for S, então a série + c u n também será convergente e sua soma será c S. 2. Se a série + u n for divergente, então a série + c u n também será divergente. Exemplo 1.21 Determine se a série infinita é convergente ou divergente 1 4n Teorema 1.16 Se respectivamente, então a n e b n são séries infinitas convergentes com somas A e B, 1. 2. (a n + b n ) é uma série convergente e sua soma é A + B. (a n b n ) é uma série convergente e sua soma é A B. Teorema 1.17 Se a série série (a n + b n ) será divergente. a n for convergente e a série Exemplo 1.22 Determine se a série infinita é convergente ou divergente b n for divergente, então a ( 1 4n + 1 ) 4 n 14

2 a Lista de Exercícios (1.2.1) 1. Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais {S n }, e obtenha uma fórmula para {S n } em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma. (a) (b) 1 (2n 1)(2n + 1) ln n n + 1 2. Encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre sua soma. (a) {S n } = { 2n } 3n + 1 (b) {S n } = {ln(2n + 1)} 3. Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma. (a) (b) (c) n n + 1 ( 2 3 ) n e ( n) 4. Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária. (a) 0, 272727 (b) 1, 234234234 5. A trajetória de cada oscilação de um pêndulo é 0, 93 do comprimento da trajetória da oscilação anterior (de um lado até o outro). Se a trajetória da primeira oscilação mede 56 cm de comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso, quanto mede o caminho percorrido pela pêndulo até que ele pare? 15

6. Um triângulo equilátero tem lados medindo 4 unidades de comprimento. Portanto, o seu perímetro é 12 unidades. Outro triângulo equilátero é construído com segmentos de reta traçados através dos pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Esse triângulo tem lados medindo 2 unidades de comprimento e seu perímetro é de 6 unidades. Se o procedimento puder ser repetido um número ilimitado de vezes, qual será o perímetro total de todos os triângulos formados? 3 a Lista de Exercícios (1.2.2) 1. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma. (a) (b) (c) (d) (e) (f) n=3 1 n + 2 2 3n 2 3 n 4 3 ( ) n 5 7 ( 1 2n + 1 ) 2 n ( e n + e n) 2. Dê um exemplo para mostrar que mesmo sendo que a n b n seja convergente. a n e b n divergentes, é possível 16

1.2.3 Séries Infinitas de Termos Positivos Teorema 1.18 Uma série infinita de termos positivos será convergente se e somente se sua seqüência de somas parciais tiver uma limitante superior. Exemplo 1.23 Prove que a série 1 n! é convergente Teorema 1.19 (Teste de Comparação) 1. Sejam série 2. Sejam série u n e v n séries de termos positivos tais que u n v n, n IN. Se a v n é convergente então u n e u n também é convergente. w n séries de termos positivos tais que w n u n, n IN. Se a w n é divergente então u n também é divergente. Exemplo 1.24 Determine se a série 4 3 n + 1 é convergente ou divergente Exemplo 1.25 Determine se a série infinita 1 n é convergente ou divergente Teorema 1.20 (Teste de Comparação com Limite) Sejam v n séries de termos positivos. u n e u n 1. Se lim = c > 0, então ambas as séries convergem, ou ambas divergem. n + v n u n 2. Se lim = 0 e se a série n + v n v n converge, então a série u n converge. u n 3. Se lim = + e se a série n + v n v n diverge, então a série u n diverge. Exemplo 1.26 Resolva o exemplo 1.24, usando o teste de comparação com limite. Exemplo 1.27 Resolva o exemplo 1.25, usando o teste de comparação com limite. 17

Teorema 1.21 Se u n for uma série de termos positivos e covergente, então a ordem dos termos pode ser rearranjada e a série resultante será também convergente e terá a mesma soma. Uma série freqüentemente usada no teste de comparação é aquela conhecida como série p ou série hiper-harmônica. Ela é Exemplo 1.28 A série hiper-harmônica Se p 1 a série é divergente. 1 n p = 1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + 1 5 p + + 1 n p + 1 n p = 1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + 1 5 p + + 1 n p + Se p > 1 a série é convergente. Exemplo 1.29 Determine se a série infinita é convergente ou divergente. 4 a Lista de Exercícios (1.2.3) 1 (n 2 + 2) 1/3 1. Determine se a série dada é convergente ou divergente. (a) (b) (c) (d) (e) 1 n2 n 3n + 1 2n 2 + 5 1 ln(n + 1) sin n n 2 sin 1 n 2. Se a n e b n são duas séries convergentes de termos positivos, use o teste de comparação com limite para provar que a série 18 a n b n também é convergente.

1.2.4 O Teste Da Integral Teorema 1.22 (O Teste da Integral) Seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo x 1. Então, a série infinta será convergente se a integral imprópria existir e será divergente se f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + + f(n) + + 1 f(x)dx b lim f(x)dx = +. b + 1 Exemplo 1.30 Use o teste da integral para mostrar que a série p (série hiper-harmônica) diverge se p 1 e converge se p > 1. 1 n p = 1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + 1 5 p + + 1 n p + 1.2.5 Séries Alternadas Definição 1.16 Se a n > 0 para todo n inteiro positivo, então a série e a série são chamadas de séries alternadas. ( 1) n+1 a n = a 1 a 2 + a 3 a 4 + + ( 1) n+1 a n + ( 1) n a n = a 1 + a 2 a 3 + a 4 + ( 1) n a n + Teorema 1.23 (Teste de Séries Alternadas) Considere a série alternada ( 1) n+1 a n [ + ou ( 1) n a n ], onde a n > 0 e a n+1 < a n para todo n inteiro positivo. Se lim a n = 0, n + a série alternada converge. 19

Exemplo 1.31 Prove que a série alternada é convergente ( 1) n+1 1 n Exemplo 1.32 Determine se a série é convergente ou divergente: ( 1) n n + 2 n(n + 1) 5 a Lista de Exercícios (1.2.5) 1. Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente. (a) (b) (c) ( 1) n+1 1 2n ( 1) n 1 n 2 ( 1) n 1 ln n 1.2.6 Convergência Absoluta e Condicional, O Teste da Razão e o Teste da Raiz Definição 1.17 Dizemos que a série infinita série u n for convergente. u n será absolutamente convergente se a Definição 1.18 Dizemos que a série infinita ela é convergente, mas não absolutamente convergente u n é condicionalmente convergente quando u n (diverge). Teorema 1.24 Se a série u n for absolutamente convergente, ela será convergente e a n u n 20

Exemplo 1.33 Determine se a série é convergente ou divergente Teorema 1.25 (Teste da Razão) Seja cos nπ 3 n 2 u n uma série infinita dada para a qual todo u n é não-nulo. Então, 1. Se lim u n+1 n + u n = L < 1, a série dada é absolutamente convergente; 2. Se lim u n+1 n + u n = L > 1 ou se lim u n+1 n + u n = +, a série dada é divergente; 3. Se lim teste. n + u n+1 u n = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do Exemplo 1.34 Determine se a série é convergente ou divergente ( 1) n+1 n 2 n Exemplo 1.35 No exemplo 1.32 ficou provado que a série ( 1) n n + 2 n(n + 1) é convergente. Essa é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente? Teorema 1.26 (Teste da Raiz) Seja de zero. Então, u n uma série infinita para a qual u n é diferente 1. Se lim n + 2. Se lim n + 3. Se lim n + teste. n un = L < 1, a série dada é absolutamente convergente; n un = L > 1 ou se lim n + n un = +, a série é divergente. n un = 1, nenhuma conclusão relativa à convergência pode ser tirada do 21

Exemplo 1.36 Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente ( 1) n 32n+1 n 2n Exemplo 1.37 Determine se a série é convergente ou divergenteno [ 1 ln(n + 1) 6 a Lista de Exercícios (1.2.6) 1. Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. ] n (a) (b) (c) (d) n 2 ( 1) n 2n n 3 n! ( 1 + 1 n e n ) 2n ( 1) n n2 + 1 n 3 1.2.7 Sumário dos Testes de Convergência ou Divergência para uma Série Infinita Para concluir o estudo das séries infinitas de termos constantes, vamos resumir os vários testes que podem ser usados para determinar a convergência ou divergência de uma série dada. Vimos alguns desses testes e para desenvolver a habilidade de reconhecer e aplicar o teste apropriado é necessário uma prática considerável. Vamos dar aqui uma lista dos testes. Você deve tentar cada um deles, na ordem indicada. Se uma determinada etapa não se aplica ou não leva a conclusão alguma, você deverá tentar a seguinte. É claro que em alguns casos mais de um teste é aplicável, mas você deve selecionar o mais eficiente. 22

1. Calcule lim u n. Se lim u n 0, então a série diverge. Se lim u n = 0, nenhuma n + n + n + conclusão pode ser tirada. 2. Examine a série para determinar se ela faz parte de algum dos tipos especiais: (a) Uma série geométrica: + ar n 1. Ela converge para a soma diverge se r 1. (b) A série p (série hiper-harmônica): (onde p é uma constante). Ela converge se p > 1 e diverge se p 1. (c) Uma série alternada: ( 1) n+1 a n ou 1 n p a 1 r se r < 1 e ( 1) n a n. Aplique o teste de séries alternadas: se a n > 0 e a n+1 < a n para todo n inteiro positivo, e então a série alternada é convergente. 3. Tente o teste da razão: seja lim a n = 0, n + u n uma série infinita dada, para a qual todo u n é não-nulo. Então, (a) se lim u n+1 n + u n = L < 1, a série dada é absolutamente convergente; (b) se lim u n+1 n + u n = L > 1 ou se lim u n+1 n + u n = +, a série dada é divergente; (c) se lim u n+1 n + u n = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste. 4. Tente teste da raiz: seja não-nulo. Então, (a) Se (b) Se (c) Se lim n + lim n + lim n + do teste. u n uma série infinita dada, para a qual todo u n é n un = L < 1, a série dada é absolutamente convergente; n un = L > 1 ou se lim n un = +, a série é divergente; n + n un = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada 23

5. Tente o teste da integral: seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo x 1. Então, a série infinta f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + + f(n) + será convergente se a integral imprópria existir, e será divergente se + 1 f(x)dx b lim f(x)dx = +. b + 1 6. Tente o teste de comparação: seja u n uma série de termos positivos (a) Se (b) Se v n for uma série convergente de termos positivos já conhecida e u n v n para todo n inteiro positivo, então u n será convergente. w n for uma série divergente de termos positivos já conhecida e w n u n, para todo n inteiro positivo, então 7. Tente o teste de comparação com limite: sejam positivos. (a) Se (b) Se (c) Se u n será divergente. u n e v n duas séries de termos u n lim = c > 0, então ambas as séries convergem, ou ambas divergem. n + v n u n lim = 0 e se a série n + v n u n lim = + e se a série n + v n v n converge, então a série v n diverge, então a série u n converge. u n diverge. 24

1.2.8 Séries de Potências Estudamos até o momento séries infinitas de termos constantes. Veremos agora séries cujos termos contém variável. Uma série infinita da forma n=0 c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + + c n (x a) n + (1) onde a, c 0, c 1,, c n são constantes, é chamada uma série de potências em (x a), ou, simplesmente, série de potências. O número a é chamado centro da série. Quando a = 0, a série (1) transforma-se numa série de potências em x: n=0 c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c n x n + (2) Quando trabalhamos com série infinita de termos constantes estudamos a questão da convergência ou divergência dessas séries. Considerando uma série de potências estamos interessados em saber para que valores de x, se existir algum, a série de potências converge. Podemos observar que quando x = a a série converge e sua soma é c 0. O teste da razão pode ser utilizado para determinar os valores de x, para os quais uma série de potências é convergente. Exemplo 1.38 Encontre os valores de x para os quais a série de potências dada é convergente. 1. x n n3 n Exercício 1.1 Ache os valores de x para os quais a série de potências é convergente. 1. 2. 3. n=0 n=0 ( 1) n nxn 2 n ( 1) n+1 2n x n n3 n x n n! 25

Definição 1.19 O conjunto I de todos os números x para os quais uma série de potências c n (x a) n é convergente é chamado intervalo de convergência. n=0 Observação 1.4 1. Para qualquer série de potência c n (x a) n o intervalo de convergência I tem uma das seguintes formas: n=0 (a) I = IR (b) I consiste de um único elemento I = {a} (c) I é um intervalo limitado com extremos a R e a + R onde R é um número real positivo chamado raio de convergência. 2. Em (a) dizemos que R é infinito e em (b) R = 0 3. A série de potências sempre converge absolutamente no intervalo (a R, a + R), diverge se x < a R ou se x > a + R e pode convergir ou não quando x = a R ou x = a + R. Exemplo 1.39 Determine o intervalo de convergência das séries de potências: 1. n=0 n (x 5)n ( 1) n + 2 Exercício 1.2 Determine o intervalo de convergência das séries de potências: 1. 2. 3. n (x 3)n 2 n 2 n(x 2) n x n 2 + n 2 26

1.2.9 Representação de Funções através de Série de Potências Para cada valor de x, para o qual a série de potências n=0 c n (x a) n é convergente, existe um número a ele associado: a soma da série. Assim, podemos definir uma função f, com domínio no intervalo de convergência, que associa a cada valor de x a soma da série numérica, ou seja, f(x) = e dizemos que n=0 n=0 c n (x a) n c n (x a) n é uma representação de f por uma série de potências. Exemplo 1.40 Encontre a função definida pela série de potências n=0 x n. Observação 1.5 A série de potências x n n=0 séries de potências cujas somas podem ser determinadas. pode ser usada para determinar outras A representação de funções através de séries de potências possibilita a resolução de problemas que envolvam derivadas e integrais, usando técnicas diferentes das estudadas até agora. Uma função f representada por uma série de potências tem propriedades análogas às dos polinômios. Teorema 1.27 Seja n=0 R > 0. Seja f(x) a função definida por f(x) = então: c n (x a) n uma série de potências cujo raio de convergência é n=0 c n (x a) n 1. f (x) existirá para todo x (a R, a + R), sendo dada por f (x) = nc n (x a) n 1 27

2. f será integrável em todo subintervalo fechado de (a R, a + R) e calculamos a integral de f integrando termo a termo a série de potências dada, isto é, se x (a R, a + R), teremos x a f(t)dt = x a [ + ] c n (t a) n dt = n=0 n=0 c n (x a)n+1 n + 1 3. As três séries de potências: n=0 c n (x a) n, tem o mesmo raio de convergência R. nc n (x a) n 1 e n=0 c n (x a)n+1 n + 1 Exemplo 1.41 Seja f a função definida por f(x) = 1. Ache o domínio de f. n=0 x n+1 (n + 1) 2. 2. Escreva a série de potências que define a função f e determine o domínio de f. Exemplo 1.42 Obtenha uma representação em série de potências para a função dada 1 por f(x) = (1 x) 2 Exemplo 1.43 Calcule arc tan ( 1 4) com precisão de quatro casas decimais. Exemplo 1.44 Mostre que e x = n=0 x n n! x IR Exercício 1.3 Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral 1 0 e x2 dx Exercício 1.4 Ache uma série de potências para xe x termo de 0 a 1, mostrando que e então integre a série termo a 1 n!(n + 2) = 1 2 28

1.2.10 Série de Taylor Vimos que uma série de potências c n (x a) n com raio de convergência R > 0 define uma função f por f(x) = n=0 n=0 c n (x a) n. Agora estudaremos o processo inverso, começando com uma função f, queremos obter uma série de potências que convirja para f, isto é, vamos expandir f como uma série de potências. Teorema 1.28 Seja f uma função tal que f(x) = n=0 c n (x a) n, isto é, que possa ser representada por uma série de potências, para todo x (a R, a + R). Então f(x) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! (x a) 2 + f (a) 3! (x a) 3 + + f (n) (a) (x a) n + ( ) n! Observação 1.6 A série de potências ( ) é denominada Série de Taylor de f em a. Quando a = 0 a Série de Taylor é denominada Série de Maclaurin. Exemplo 1.45 Encontre a Série de Maclaurin para f(x) = e x Observação 1.7 A representação de uma função em série de potências é única. Logo, se uma função tem uma representação em série de potências em x a, essa série deve ser sua série de Taylor em a. Assim, a série de Taylor para uma função não precisa ser obtida pela fórmula f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + f (a) 3! (x a) 3 + + f (n) (a) (x a) n + (3) n! qualquer método que resulta em uma série em x a represntando a função será a série de Taylor da função em a. Exemplo 1.46 Ache a série de Taylor para e x em 3, usando a série de maclaurin para e x. Exercício 1.5 Obtenha o desenvolvimento da função em potências de x ou de (x a) como indicado; determine também o intervalo de contergência da série. 1. e 2x, potências de x. 2. sin x, potências de x. 3. ln(1 + x); potências de x. 29

Capítulo 2 Introdução Às Equações Diferenciais As palavras equação e diferencial sugerem certamente algum tipo de equação que envolve derivadas. Da mesma forma que um curso de álgebra e trigonometria, nos quais um bom tempo é gasto na resolução de equações como x 2 + 5x + 4 = 0 para a incógnita x, neste curso uma de nossas tarefas será resolver equações diferenciais como y + 2y + y = 0 para a função incógnita y = φ(x). O primeiro parágrafo acima nos fala algo, mas não tudo, sobre o curso que você está prestes a começar. No decorrer do curso, você verá que há mais no estudo de equações diferenciais que tão somente o domínio de métodos idealizados por alguém para resolvêlas. Mas, em primeiro lugar, para ler, estudar e familiarizar-se com esse assunto tão especializado, é necessário conhecer algumas definições e terminologias básicas sobre o mesmo. 2.1 Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo, você aprendeu que, dada uma função y = f(x), a derivada dy dx = f (x) é também, ela mesma, uma função de x e é calculada por regras apropriadas. Por exemplo, se y = e x2, então dy dx = 2xex2 ou dy dx = 2xy 30

O problema com o qual nos deparamos neste curso não é: dada uma função y = f(x) encontre sua derivada. Nosso problema é: dada uma equação como dy dx = 2xy, encontre, de algum modo, uma função y = f(x) que satisfaça a equação. O problema é mais ou menos equivalente ao familiar problema inverso do cálculo diferencial: dada uma derivada, encontrar uma antiderivada. Em outras palavras, nós queremos resolver equações diferenciais. Definição 2.1 (Equação Diferencial) Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (ED). Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equações diferenciais por tipo, ordem e linearidade. 2.1.1 Classificação pelo Tipo Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, ela será chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por exemplo, dy dt 5y = 1 d 2 y dx 2dy 2 dx + 6y = 0 (y x)dx + 4xdy = 0 du dx dv dx = x (2.1.1) são equações diferenciais ordinárias. Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP). Por exemplo, são equações diferenciais parciais. u y x u x + y u y = v x = u 2 u = 2 u x 2 t 2 u 2 t 31 (2.1.2)

As derivadas ordinárias serão escritas ao longo deste texto como a notação de Leibniz dy dx, d 2 y dx, d 3 y 2 dx, ou com a notação linha 3 y, y, y,. Usando a última notação, podemos escrever as duas primeiras equações diferenciais em (2.1.1) um pouco mais compactamente como y 5y = 1 e y 2y + 6y = 0. Na realidade, a notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como y (4), em vez de y. Em geral, a n-ésima derivada é escrita como dn y dx ou n y(n). Embora seja menos conveniente para escrever e imprimir, a notação de Leibniz tem, sobre a notação linha, a vantagem de explicitar claramente as variáveis dependentes e independentes. Por exemplo, na equação d2 x + 16x = 0 vê-se imediatamente que o símbolo x dt 2 representa uma variável dependente e t, uma variável independente. Derivadas parciais são freqüentemente denotadas por uma notação em subscrito indicando as variáveis independentes. Por exemplo, com a notação em subscrito, a terceira equação em (2.1.2) torna-se u xx = u tt 2u t. 2.1.2 Classificação pelo Ordem A ordem de uma equação diferencial (EDO) ou (EDP) é a ordem da maior derivada na equação. Por exemplo, ( ) d 2 3 y dy dx + 5 4y = e x 2 dx é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (ou de ordem dois). equação diferencial (y x)dx + 4xdy = 0 pode ser escrita na forma Como a 4x dy dx + y = x dividindo-se pela diferencial dx, trata-se então de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. A equação a 2 4 u x 4 + 2 u t 2 = 0 é uma equação diferencial parcial de quarta ordem. Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importante, seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria de equações diferenciais ordinárias. Portanto, na discussão que se segue, limitaremos nossa atenção às equações diferenciais ordinárias. 32

Uma equação diferencial ordinária geral de n-ésima ordem é frequentemente representada pelo simbolismo F ( x, y, dy ) dx,, dn y = 0 dx n onde x é a variável independente. Por exemplo, F em 4x dy ( dx + y = x fica F x, y, dy ) = 4x dy dx dx + y x = 0 2.1.3 Classificação como Linear e Não-Linear Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma a n (x) dn y dx n + a n 1(x) dn 1 y dx n 1 + + a 1(x) dy dx + a 0(x)y = g(x) Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau: isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1. Cada coeficiente depende apenas da variável independente x. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. As equações xdy + ydx = 0 y 2y + y = 0 x 3 d3 u dx d2 y 3 x2 dx + 3xdy + 5y 2 dx = ex são equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. Por outro lado, yy 2y = x e d3 y dx 3 + y2 = 0 são equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente. Como mencionado antes, nosso objetivo neste curso é resolver ou encontrar soluções para equações diferenciais. 33

Definição 2.2 (Solução para uma Equação Diferencial) Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo. Em outras palavras, uma solução para uma equação diferencial ordinária F (x, y, y,, y (n) ) = 0 é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação; isto é, para todo x no intervalo I Exemplo 2.1 Verifique se y = x4 16 no intervalo (, + ). F (x, f(x), f (x),, f (n) (x)) = 0 é uma solução para a equação não-linear dy dx = xy1/2 Exemplo 2.2 Verifique se y = xe x é uma solução para a equação linear no intervalo (, + ). y 2y + y = 0 Note que, nos exemplos (2.1) e (2.2), a função constante y = 0 também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real. Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral referida como solução trivial. Nem toda equação diferencial que escrevemos possui necessariamente uma solução. Exemplo 2.3 As equações diferenciais de primeira ordem ( ) 2 dy + 1 = 0 (y ) 2 + y 2 + 4 = 0 dx não possuem solução. Por quê? A equação de segunda ordem posuui somente uma solução real. Qual? (y ) 2 + 10y 4 = 0 34

2.1.4 Soluções Explícitas e Implícitas Você deve estar familiarizado com as noções de funções explícitas vistas em seu estudo de cálculo. Similarmente, soluções de equações diferenciais são divididas em explícitas ou implícitas. Uma solução para uma equação diferencial ordinária (EDO) que pode ser escrita na forma y = f(x) é chamada de solução explícita. Vimos em nossa discusão inicial que y = e x é uma solução explícita de dy x4 = 2xy. Nos exemplos (2.1) e (2.2), y = dx 16 e y = xe x são soluções explícitas de dy dx = xy1/2 e y 2y + y = 0, respectivamente. Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma solução implícita de uma equação diferencial em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I. Exemplo 2.4 Verifique que para 2 < x < 2, a relação x 2 + y 2 4 = 0 é uma solução implícita para a equação diferencial dy dx = x y Além disso, note que qualquer relação da forma x 2 + y 2 c = 0 satisfaz, formalmente, dy dx = x para qualquer constante c. Porém, fica subentendido que a relação deve sempre y fazer sentido no sistema dos números reais; logo, não podemos dizer que x 2 + y 2 + 1 = 0 determina uma solução da equação diferencial. Como a distinção entre uma solução explícita e uma solução implícita é intuitivamente clara, não nos daremos ao trabelho de dizer aqui temos uma solução explícita (implícita). Número de Soluções - Você deve se acostumar com o fato de que uma dada equação diferencial geralmente possui um número infinito de soluções. Exemplo 2.5 Verifique que para qualquer valor de c, a função y = c + 1 é uma solução x da equação diferencial de primeira ordem no intervalo (0, + ). x dy dx + y = 1 Em alguns casos, quando somamos duas soluções de uma equação diferencial, obtemos uma outra solução. 35

Exemplo 2.6 a) Verifique se as funções y = c 1 cos 4x e y = c 2 sin 4x, em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias, são soluções para equação diferencial y + 16y = 0. b) Verifique se a soma das duas soluções da parte (a), ou seja y = c 1 cos 4x + c 2 sin 4x, também é uma solução para y + 16y = 0. Observação 2.1 Nem sempre a soma de duas soluções de uma E.D.O é uma solução da E.D.O. Para exemplificar isto, basta tomar no exemplo (2.5), c 1 e c 2 números reais diferentes de zero. Exemplo 2.7 Verifique se y = e x, y = e x, y = c 1 e x, y = c 2 e x e y = c 1 e x + c 2 e x são todas soluções da equação diferencial linear de segunda ordem y y = 0. O próximo exemplo mostra que uma solução de uma equação diferencial pode ser uma função definida por partes. Exemplo 2.8 a) Verifique que qualquer função da família y = cx 4 é uma solução para a equação diferencial xy 4y = 0. b) Verifique se a função definida por partes x 4 se x < 0 y = x 4 se x 0 também é uma solução. Mais Teminologia - O estudo de equações diferenciais é semelhante ao cálculo integral. Quando calculamos uma antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F (x, y, y ) = 0, normalmente obtemos uma família de curvas ou 36

funções G(x, y, c) = 0, contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da equação diferencial. Na verdade, quando resolvemos uma equação de n- ésima ordem F (x, y, y,, y (n) ) = 0, em que y (n) significa d(n) y, esperamos uma família dxn a n-parâmetros de soluções G(x, y, c 1,, c n ) = 0. Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher valores específicos para o(s) parâmetro(s) na família de soluções. Por exemplo, é fácil ver que y = ce x é uma família a um parâmetro de soluções para a equação de primeira ordem y = y. Para c = 0, 2 e 5, obtemos as soluções particulares y = 0, y = 2e x e y = 5e x, respectivamente. Às vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não pode ser obtida especificandose os parâmetros em uma família de soluções. Tal solução é chamada de solução singular. Por exemplo, provaremos no futuro próximo que uma família a um parâmetro de soluções ( ) x para y = xy 1/2 2 2 é dada por y = 4 + c, quando c = 0, a solução particular resultante é y = x4. Neste caso, a solução trivial y = 0 é uma solução singular para a equação, pois 16 ela não pode ser obtida da família através de uma escolha do parâmetro c. Revisão - Classificamos uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem; e quanto à linearidade: linear ou não-linear. Uma solução para uma equação diferencial é qualquer função relativamente diferenciável que satisfaça a equação em algum intervalo. Quando resolvemos uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem, esperamos encontrar uma família de soluções a n-parâmetros. Uma solução particular é qualquer solução, não dependente de parâmetros, que satisfaça a equação diferencial. Uma solução singular é qualquer solução que não pode ser obtida da família de soluções a n-paâmetros através de escolha dos parâmetros. Quando uma família de soluções a n-parâmetros fornece todas as soluções para uma equação diferencial em algum intervalo, ela é chamada solução geral, ou completa. 37

1 a - LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação, (a) (1 x)y 4xy + 5y = cos x; (Resp.: linear, segunda ordem) (b) yy + 2y = 1 + x 2 ; (Resp.: não-linear, primeira ordem) (c) x 3 y (4) x 2 y + 4xy 3y = 0; (Resp.: linear, quarta ordem) (d) dy ( ) 2 dx = d2 y 1 + ; (Resp.: não-linear, segunda ordem) dx 2 (e) (sin x)y (cos x)y = 2; (Resp.: linear, terceira ordem). 2. Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c 1 e c 2 são constantes). (a) 2y + y = 0; y = e x/2 (b) dy dx 2y = e3x ; y = e 3x + 10e 2x (c) y = 25 + y 2 ; y = 5 tan 5x (d) y + y = sin x; y = 1 2 sin x 1 cos x + 10e x 2 (e) x 2 dy + 2xydx = 0; y = 1 x 2 (f) y 1 y = 1; y = x ln x, x > 0 x (g) dx 2 X = (2 X)(1 X); ln dt 1 X = t (h) ( x 2 + y 2) dx + ( x 2 xy ) dy = 0; c 1 (x + y) 2 = xe y/x (i) y 6y + 13y = 0; y = e 3x cos 2x (j) x d2 dx 2 + 2dy dx = 0; y = c 1 + c 2 x 1 (k) x 2 y 3xy + 4y = 0; y = x 2 + x 2 ln x, x > 0 (l) y 3y + 3y y = 0; y = x 2 e x x 2 se x < 0 3. Verifique se a função definida por partes y = x 2 se x 0 equação diferencial xy 2y = 0. é solução para a 38

4. Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para y = xy + (y ) 2 é y = cx + c 2 Determine um valor de k para que y = kx 2 seja uma solução singular para a equação diferencial. (Resp.: k = 1) 4 5. Encontre valores de m para que y = e mx seja uma solução para equação diferencial y 5y + 6y = 0. (Resp.: m = 2 e m = 3) 6. Mostre que y 1 = x 2 e y 2 = x 3 são ambas soluções para x 2 y 4xy + 6y = 0 As funções c 1 y 1 e c 2 y 2, com c 1 e c 2 constantes arbitrárias, são também soluções? A soma y 1 + y 2 é uma solução? 7. Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada. (a) dy + y = 0; (Resp.: y = 0) dx (b) dy + y + 1 = 0; (Resp.: nenhuma solução real) dx (c) dy + y = 1; (Resp.: y = 1 ou y = 1) dx 39

Capítulo 3 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Estamos agora em posição de resolver algumas equações diferenciais. Começamos com as equações diferenciais de primeira ordem. Se uma equação diferencial de primeira ordem puder ser resolvida, veremos que a técnica ou método para resolvê-la depende do tipo da equação de primeira ordem com que estamos lidando. Durante anos, muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos tipos particulares de equações. Por isso, há vários métodos de solução: o que funciona para um tipo de equação de primeira ordem não se aplica necessariamente a outros tipos de equação. Embora consideremos métodos de solução para sete tipos clássicos de equações neste capítulo, centralizamos nossa atenção em quatro tipos de equações. Alguns desses quatro tipos são importantes nas aplicações. 3.1 Teoria Preliminar 3.1.1 Problema de Valor Inicial Estamos interessados em resolver uma equação diferencial de primeira ordem dy dx = f(x, y) 40

sujeita à condição inicial y(x 0 ) = x 0, em que x 0 é um número no intervalo I e y 0 é um número real arbitrário. O problema Resolva : dy dx = f(x, y) (3.1.1) Sujeita a : y(x 0 ) = y 0 é chamado de problema de valor inicial PVI. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um (x 0, y 0 ) determinado a priori. Exemplo 3.1 Vimos que y = ce x é uma família de soluções para dy = y no intervalo dx (, ). Encontre uma solução para o problema de valor inicial (PVI). dy = y dx y(0) = 3 A questão fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial como (3.1.1): Existe uma solução para o problema? Se existe uma solução, ela é única? Em outras palavras, a equação diferencial dy = f(x, y) possui uma solução cujo gráfico dx passa pelo ponto (x 0, y 0 )? E será que essa solução, se existir, é única? Exemplo 3.2 Verifique se cada uma das funções y = 0 e y = x4 16 valor inicial (PVI). dy = xy 1/2 dx y(0) = 0 satisfaz o problema de Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema. Teorema 3.1 (Existência de uma Única Solução - Teorema de Picard) Seja R uma região retangular no plano xy definida por a x b, c y d, que contém o ponto (x 0, y 0 ) em seu interior. Se f(x, y) e f são contínuas em R, então y existe um intervalo I centrado em x 0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial (3.1.1). 41

Exemplo 3.3 Use o teorema (3.1) para verificar a existência de uma única solução para o problema de valor inicial (P V I) dy dx = xy 1/2 y(x 0 ) = y 0 Exemplo 3.4 Use o teorema (3.1) para garantir a existência de uma única solução para o problema de valor inicial (P V I) dy dx = y y(0) = 3 Exemplo 3.5 Use o teorema (3.1) para garantir a existência de uma única solução para o problema de valor inicial (P V I) dy dx = x 2 + y 2 y(x 0 ) = y 0 2 a - LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto (x 0, y 0 ) na região. (a) dy dx = y2/3 ; (Resp.: semiplano definido por y > 0 ou y < 0) (b) x dy = y ; dx (Resp.: semiplano definido por x > 0 ou x < 0) (c) (4 y 2 )y = x 2 ; (Resp.: As regiões definidas por y > 2,y < 2 ou 2 < y < 2) (d) (x 2 + y 2 )y = y 2 ; (Resp.: Qualquer região que não contenha (0, 0)) (e) dy dx = x3 cos y; (Resp.: O plano xy todo) 2. Determine, por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial y = 3y 2/3 ; (Resp.: y = 0, y = x 3 ) y(0) = 0 y = y 3 3. Por inspeção, encontre uma solução para o problema de valor inicial y(0) = 0 A solução é única? ; (Resp.: Há algum intervalo em torno de x = 0 no qual a única solução é y = 0) 42

4. Verifique que y = cx é uma solução para a equação diferencial xy = y para todo valor do parâmetro c. Encontre pelo menos duas soluções para o problema de inicial xy = y y(0) = 0 0 se x < 0 Observe que a função definida por partes y = x se x 0 satisfaz a condição y(0) = 0. Ela é uma solução para o problema de valor inicial? (Resp.: y = 0 ou y = x. Não, a função não é diferenciável em x = 0) 5. Verifique se o Teorema (3.1) garante unicidade de solução para a equação diferencial y = y 2 9, passando pelo ponto dado. (a) (1, 4) (b) (2, 3) (Resp.: sim) (Resp.: não) 3.2 Variáveis Separáveis Suponha que seja dada uma equação diferencial de 1 a ordem então pensando em dy dx forma dy dx = F (x, y) (3.2.1) como um quociente de diferenciais, a equação pode ser escrita na M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3.2.2) Assim, por exemplo, dy dx = x 3y 2y 5x (3.2.3) pode também ser escrita como (x 3y)dx + (5x 2y)dy = 0 (3.2.4) 43

onde M(x, y) = x 3y, N(x, y) = 5x 2y. O problema de resolver equações diferenciais de 1 a ordem depende da solução da equação (3.2.1) ou da solução da equação (3.2.2). Um tipo simples que aparece com frequência é a que pode ser escrita na forma f(x)dx + g(y)dy = 0 (3.2.5) onde um termo envolve somente x enquanto o outro termo envolve somente y. Esta equação pode ser resolvida por integração imediata. Assim, a solução geral é f(x)dx + g(y)dy = 0 (3.2.6) onde c é a constante de integração. Podemos, é claro, retornar à equação (3.2.5) diferenciando ambos os membros de (3.2.6). Como este método depende de escrevermos (3.2.1) ou (3.2.2) na forma (3.2.5), onde as variáveis estão separadas em dois termos, ele é chamado de Método de Separação de Variáveis, e as variáveis são ditas separáveis. Nem sempre, no entanto, essa situação privilegiada ocorre, isto é, nem sempre podemos separar as variáveis. Por exemplo, não existe nenhuma maneira através da qual a equação (3.2.4) pode ser escrita na forma (3.2.5). Nestes casos, somos obrigados a usar outros métodos. A procura de tais métodos é nosso objetivo neste capítulo. Exemplo 3.6 1. Encontre a solução geral da dy dx = x2 + 1 2 y (3.2.7) 2. Determine a solução particular para a qual y( 3) = 4. Às vezes, o fato de uma equação ser separável não é tão óbvio, podemos ver no seguinte exemplo. Exemplo 3.7 Resolva a x dy dx y = 2x2 y Exemplo 3.8 Resolva a (1 + x)dy ydx = 0 dy = x Exemplo 3.9 Resolva o problema de valor inicial (P V I) dx y y(4) = 3 44