Equação de Segundo Grau Rafael Alves
Equação do 2º Grau As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. 2x + 1 = 0 (Equação de 1º grau) 2x² + 2x + 6 = 0 (Equação de 2º grau)
Equação do 2º Grau Suponha que você tenha 200 metros lineares de tela e pretenda construir um cercado retangular com área de 2100 m². Quais deverão ser as dimensões do retângulo? Indicando por x o comprimento do retângulo, em metros, a largura deverá ser indicada por (100-x): x 100-x 100-x x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
Equação do 2º Grau Assim, temos: x(100-x)=2100 ou seja: 100x - x² = 2100 ou ainda: x²-100x + 2100 = 0 Resolvendo essa equação, denominada equação do 2º grau, concluímos que o cercado deverá ter 70 m de comprimento por 30 m de largura. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Equação do 2º Grau Toda equação da forma: ax² + bx + c = 0 em que a, b e c são números reais, com a 0, é chamada de equação do 2º grau. Se b = 0 ou c = 0, tem-se uma equação do 2º grau incompleta. Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida pela fórmula de Báskara a seguir: x b 2a em que: = b²- 4ac UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
Equação do 2º Grau A expressão (delta), chamada de discriminante da equação, informa-nos se a equação tem raízes reais e, no caso de existirem, se são iguais ou diferentes. Quando < 0, a equação não tem raízes reais. Quando > 0, a equação possui 2 raízes reais e distintas. Quando = 0, a equação possui 2 raízes reais e iguais. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
Equação do 2º Grau Exemplos: 1. Resolver, no conjunto dos números reais, a equação do segundo 2º grau: 5x² - 3x 2 = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
Equação do 2º Grau Exemplos: 1. Resolver, no conjunto dos números reais, a equação do segundo 2º grau: 5x² - 3x 2 = 0 Resolução: Identificam-se os coeficientes da equação: a = 5; b = -3; c = -2. Calcula-se o discriminante: = b²- 4ac = (-3)² -4(5)(-2) = 49 Aplica-se a fórmula resolutiva: 1 x= -b ± x = -(-3)² ± 49 = 3 ± 7 = 2a 2(5) 10-2/5 S = {1, -2/5 } UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
Equação do 2º Grau x= 2. Resolver a equação: 3x² + 5x 2 = 0 Resolução: = 5² - 4(3)(-2) = 49 1/3-5 ± 49 = 2(3) -2 S={1/3, -2} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
Equação do 2º Grau Se x e x são raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, então a soma S e o produto P dessas raízes são: S = - b a e P = c a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
Equação do 2º Grau Exemplos: 3. A soma das idades de dois irmãos é 16 anos. O produto entre a idade do irmão mais novo pela diferença das suas idades é 14. Qual a idade dos irmãos? Resolução: A soma das idades é dada por: x + y = 16 O produto entre a idade do irmão mais novo pela diferença das idades por x(y x) = 14, se considerarmos que o irmão mais novo tem x anos. Montamos o sistema: x + y = 16 y = 16 - x x(y x) =14 x(16 x x ) = 14 x(16 2x) = 14 16x 2x² = 14 dividindo por 2 8x x² = 7 x² - 8x + 7 = 0 S = -b/a = -(-8)/1 = 8 e P = c/a = 7/1 = 7 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
Equação do 2º Grau Comecemos pelo produto. As possibilidades de se obter produto igual a sete são: 7(1) e -7(-1) Como 7 + 1 dá soma 8, estes números são as raízes da equação x² - 8x + 7 = 0. Para determinar y fazemos: y = 16 x y = 16 7 = 9 y = 16 1 = 15 x = 7 e 1 y = 9 e 15 Logo, a solução será 7 e 9 anos ou 1 e 15 anos.
Função de Segundo Grau Rafael Alves
Apresentação A função do 2º grau, também chamada de função quadrática é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a 0. Exemplos: f(x) = 3x 2 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1. g(x) = x 2 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4. h(x) = 20x 2, em que a = 20, b = 0 e c = 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14
Apresentação Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do número de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte: Número de clubes Número de partidas 2 2(2-1) = 2 3 3(3-1) = 6 4 4(4-1) = 12 5 5(5-1) = 20 n n(n - 1) Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por: p(n) = n(n - 1) = n 2 - n UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
Apresentação Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é em função de tempo (t) por uma função quadrática s(t) = 4,9t 2, em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
Gráfico da função O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. c Parábola O x 1 x 2 Vértice V Eixo de Simetria UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17
Vamos praticar... O gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação P(i) = 20i 5i 2, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i = 3 ampères. Dada a função P(i) = 20i 5i 2, iremos substituir o i por 3, sendo assim: P(i) = 20i 5i 2 P(3) = 20.3 5.3 2 P(3) = 60 5.9 P(3) = 60 45 P(3) = 15 Logo, quando a intensidade da corrente elétrica é de 3 ampères a potência do gerador será de 15 watts. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18
Parâmetro a Responsável pela concavidade e abertura da parábola. o Se a > 0 a concavidade é para cima. o Se a < 0 a concavidade é para baixo. Além disso, quanto maior for o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais fechada ), independentemente da concavidade. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19
Parâmetro b Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola. o Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. o Se b < 0 a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente. o Se b = 0 a parábola cruza o eixo y no vértice. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20
Parâmetro c Indica onde a parábola cruza o eixo y. o A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
Eixo x A parábola pode interceptar o eixo x em um, dois ou nenhum ponto, dependendo do valor de = b 2 4.a.c da equação correspondente. f(x) = 0 ax 2 + bx +c = 0 = 0 uma raiz real dupla - a parábola interceptar o eixo x em um só ponto. > 0 duas raízes reais distintas - a parábola interceptar o eixo x em dois pontos. < 0 nenhuma raiz real - a parábola não interceptar o eixo x. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22
Vértice da parábola A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como o valor máximo ou mínimo. O vértice de uma parábola dada por f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, também pode ser calculado assim: V b, 2a 4a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23
Imagem Utilizando o vértice da parábola iremos determinar a imagem da função. Exemplos: f(x) = -4x 2 + 4x + 5 x v = b 2a 4 8 1 2 y v = 4a (16+80) 16 V 1 2, 6 96 16 = 6 Como, a = -4, a <0 assim a concavidade será para baixo, então a função assume como valor máximo 6 quando x = 1 2. Logo, Im(f) = {y R y 6} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24
Imagem g(x) = 2x 2 8x x v = 8 2.2 y v = 4a 8 4 -(-2) 2 64 4.2.0 4.2 64 8-8 V(2, -8) Como, a = 2, a > 0assim a concavidade será para cima, então a função assume valor mínimo -8 quando x = 2. Logo, Im(g) = {y R y -8} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
Valor máximo ou mínimo De modo geral, quando: a > 0 y v é o valor mínimo de f Im(f) = {y R y y v }; a < 0 y v é o valor máximo de f Im(f) = {y R y y v }; UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
Vamos praticar... Dada a função quadrática f(x) = 3x 2 10x + 3, vamos determinar: a) Se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo; Concavidade: voltada para cima, pois a = 3 e, portanto, a > 0. b) Os zeros da função; f(x) = 0 3x 2 10x + 3 = 0, onde a = 3, b = -10 e c = 3 = 100 4.3.3 = 100 36 = 64 x = 10 ± 64 6 x 1 = 18 6 = 3 x 2 = 2 6 = 1 3 x = 10 ± 8 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
Vamos praticar... c) O vértice da parábola definida pela função; V b, 2a 4a V 10, 64 6 12 d) Intersecção com o eixo x; V 5 3, 16 3 O gráfico intercepta o eixo x em (x 1 ; 0) e (x 2 ; 0), como x 1 = 3 e x 2 = 1 temos que (3; 0) e 3 1 ; 0 3 são os pontos que o gráfico intercepta o eixo x. e) Intersecção com o eixo y; O gráfico intercepta o eixo y em (0; c), como c = 3 temos que (0; 3) é o ponto que o gráfico intercepta o eixo y. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Vamos praticar... f) Eixo de simetria; O eixo de simetria é a reta que passa por V e é paralela ao eixo y. Assim, x = 5 3 g) Imagem(f); Como, a = 3, a > 0 assim a concavidade será para cima, então a função assume valor mínimo 16 3 quando x = 5 3. {y R y 16 3 } UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29
Vamos praticar... Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação y = -0,1x 2 + 15x, onde x e y são medidos em metros. o Determine, em metros, a altura máxima atingida pela bala; O valor máximo (ou mínimo) dessa função é o y do vértice da parábola, ou seja, y =. Então a altura 4a máxima da bala é: [225 4. 0,1.(0)] [225 0] y = 4.( 0,1) 0,4 225 0,4 562,5 m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30
Vamos praticar... o O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x 2 + 15x = 0. = 225 x = 15 ± 225 2.( 0,1) x 1 = x 2 = 15 +15 2.( 0,1) 0 0,2 0 15 15 2.( 0,1) 30 0,2 150 Assim, o alcance do disparo é de 150 0 = 150 m. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31
Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: o O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; o Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x; o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); o A reta que passa por V e é paralela ao eixo y é o eixo de simetria da parábola; o Parábola corta o eixo y em (0, c). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 32
Vamos praticar... Construa o gráfico da função 3x 2-4x + 1. o O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola, a = 3, a > 0, logo a concavidade será para cima. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33
Vamos praticar... o Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; f(x) = 3x 2-4x + 1 f(x) = 0 3x 2-4x + 1 = 0 3x 2-4x + 1 = 0 = 16 4.3.1 = 16 12 = 4 x = 4 ± 4 2.3 x = 4 ± 4 6 x 1 = 4+2 6 6 6 = 1 x 2 = 4 2 6 2 6 = 1 3 x 2 = ( 1 3 ; 0) x 1 = (1; 0) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34
Vamos praticar... o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a < 0); V b 2a, 4a V 4 2.3, 4 4.3 V 4 6, 4 12 V 2 3, 1 3 o A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos eixo de simetria da parábola; o Eixo de simetria é x = 2/3 y é o x 2 = ( 1 ; 0) 3 x 1 = (1; 0) V( 2 3 ; 1 ) 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35
Vamos praticar... o Parábola corta o eixo y em (0; c). Logo, a parábola corta o eixo y em (0; 1) (0; 1) x 2 = ( 1 3 ; 0) V( 2 3 ; 1 3 ) x 1 = (1; 0) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36
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