Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Mecânica Professora: Valéria Lessa APOSTILA SISTEMAS LINEARES Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares. Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares. EQUAÇÕES LINEARES Definição: Toda equação do tipo a + a + a + + a n n + b = é denominada equação linear, em que: a,...,, a an são coeficientes reais;, n são as incógnitas;,..., b é o termo independente. As equações abaio são lineares: + = + = m + n = Obs. Quando o termo independente é nulo, como no eemplo, diemos que é uma equação linear homogênea: a + a + a + + a n n + b = Obs. Numa equação linear, os epoentes das incógnitas são sempre unitários. Portanto, a equação + + = não é linear: + + = Obs. Uma equação linear não apresenta elemento misto, ou seja, cada termo da equação tem eatamente uma incógnita. Portanto, a equação = 8 não é linear. A solução de uma equação linear é a sequência de números reais que, colocados respectivamente no lugar das incógnitas tornam verdadeira a igualdade dada. Eemplo : Ache soluções para as equações dadas. a) = b) + = Obs. Toda equação linear homogênea admite solução nula, pois quaisquer que sejam os coeficientes a, a,..., a n tem-se a a... an
Diemos que duas equações lineares são equivalentes quando têm as mesmas soluções. Podemos obter equações equivalentes: Multiplicando os dois membros da equação por um mesmo número real não nulo. 8 Adicionando um mesmo número real aos dois membros da equação. 6 ) ( INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS EQUAÇÕES LINEARES Equações lineares de incógnitas representam retas. As soluções da equação linear são infinitos pares ordenados (, ), ou seja, infinitos pontos que pertencem a reta. Equações lineares de incógnitas representam planos. As soluções da equação são infinitos pares ordenados (,, ), ou seja, infinitos pontos que pertencem ao plano.
SISTEMAS LINEARES Um sistema de equações é um conjunto de equações lineares com as mesmas incógnitas. Eemplos: w Sistema : ; sistema : e sistema : w A solução de um sistema Diemos que uma sequência de números é solução de um sistema linear, quando for solução de cada equação do sistema. Por eemplo: o par ordenado (, ) é solução do sistema, pois satisfa as duas equações. Classificação de um sistema quanto às soluções: Sistema Possível Determinado: Uma solução (SPD) Indeterminado: Infinitas soluções (SPI) Sistema Impossível Sem solução (SI) Resolução de Sistema Linear : Métodos da Adição e Substituição Eemplo : Ache a solução dos sistemas abaio. + = 6 a) { = SPD =>S = (, -) + = b) { 6 + = 9 SPI => S = (t, t), t R + = c) { + = SI => S =
Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares Achar a solução de um sistema é encontrar o ponto de intersecção entre as duas retas representadas pelas duas equações lineares do sistema. Podemos encontrar três situações: º) Retas concorrentes: um ponto de intersecção SPD º) Retas coincidentes: infinitos pontos comuns SPI º) Retas paralelas: nenhum ponto comum SI Verificação no Software Geogebra (http://geogebra.org) Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares Achar a solução de um sistema é encontrar um ponto (ou uma coleção de pontos) de intersecção entre três planos representados pelas três equações lineares do sistema. Podemos encontrar oito situações: º) Planos Coincidentes: infinitos pontos em comum SPI º) Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo: nenhum ponto em comum aos três planos SI º) Os três planos são paralelos dois a dois: nenhum ponto em comum SI º) Dois planos coincidem e o terceiro os intercepta segundo uma reta: infinitos pontos de intersecção SPI º) Dois planos são paralelos e o outro os intersepta segundo retas paralelas r e s: nenhum ponto em comum aos três planos SI 6º) Os três planos são distintos e têm uma reta em comum: infinitos pontos em comum SPI º) Três planos de interseptam dois a dois segundo retas paralelas: nenhum ponto comum aos três planos SI 8º) Três planos de interceptam num único ponto SPD (único caso)
Sistemas Equivalentes Diemos que dois sistemas são equivalentes, quando admitem a mesma solução. E. e são equivalentes pois ambos têm solução S = (, ) Observe que esses sistemas são equivalentes embora as equações que os formam não sejam. Representação Matricial de um sistema A partir da definição de multiplicação de matries é possível representar um sistema na forma de matries. Vejamos por meio de eemplos: Sistema Matri Completa Matri Incompleta Equação Matricial w w w Notação da equação matricial: A. X = B OBS: Se a matri incompleta for quadrada, podemos calcular seu determinante. Se D, o sistema admite solução única e é, portanto, SPD. Sistemas Escalonados Um sistema linear está na forma escalonada se o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação. Esta forma facilita muito a resolução dos sistemas. Eemplos:
6 w w t w t Resolução de um sistema escalonado Eemplo : Ache a solução dos sistemas abaio. (a) (d) Resolução de Sistema Linear : Métodos de Resolução por Escalonamento Esse método procura transformar o sistema dado em sistemas equivalentes (têm a mesma solução), até chegar a um sistema escalonado, usando as seguintes transformações elementares: trocar as posições de duas equações e/ou mudar de posição os termos; multiplicar uma das equações por um número real diferente de ero; multiplicar uma das equações por um número real diferente de ero e somar a outra equação; Dicas: Tornar, se ainda não for, o primeiro coeficiente da primeira equação igual a. Transformar o sistema numa matri completa para facilitar a escrita dos cálculos. Eemplo : Resolva os sistemas abaio pelo método do Escalonamento. (a) 8 S = {(,-,)} (b) c b a c b a c b a S = ø (c) S = {(α, α-, -α)}
Eemplo : Em um restaurante são servidos três tipos de saladas, A, B e C cujos preços por quilograma são diferentes. Num dia de movimento, observaram-se três clientes. O primeiro cliente serviu-se de g de salada A, g da B e g da C e pagou R$, pelo prato. O segundo cliente serviu-se de g de salada A, g da B e g da C e pagou R$,8. Já o terceiro cliente serviu-se de g de salada A, g da B e g da C e pagou R$,6. Calcule o preço do quilograma de cada salada. Eercícios LISTA Sistemas Lineares. Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares : a) b) 8 c) 8 d) 6 6 6. (UNICAMP-SP) Resolva o sistema linear. 6 w w w w. Resolva a equação matricial 8 6. (UFRN) Três amigos, denominados X, Y e Z, utiliam o computador todas as noites. Em relação ao tempo em horas em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que: o tempo de X mais o tempo de Z ecede o tempo de Y em ; o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a mais o dobro do tempo de Y; o tempo de X mais 9 vees o tempo de Z ecede em o tempo de Y. A soma do número de horas de utiliação do computador, pelos três amigos, em cada noite, é igual a: (a) h (b) h (c) h (d) 6 h. (FMTM-MG) Três pacientes usam, em conjunto, 8mg por mês de um certo medicamento em cápsulas. O paciente A usa cápsulas de mg, o paciente B, de mg, e o paciente C, de mg. O paciente A toma metade do
número de cápsulas de B e os três tomam juntos 8 cápsulas por mês. O paciente C toma um número de cápsulas por mês igual a: (a) (b) 6 (c) (d) 9 (e) 6. (Uniube-MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$, e R$,, em um total de notas. Quando fui conferir, descobri que o caia havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$, quanto as de R$,, que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$, da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do meu cheque? (a) R$, (b) R$, (c) R$ 8, (d) R$, Gabarito ) (a) S = {(,, ); (b) S = {( α ) S = {(, -,, )} ) S = {(,, -)} ) letra D ) letra D 6) letra B, α, α)} ; (c) S = VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO ) CONCEITOS PRIMITIVOS São elementos que não possuem definição e são aceitos como verdadeiro. Na geometria os conceitos primitivos são: ponto, reta, plano e espaço. PONTO: é um objeto adimensional (sem dimensão) e só conseguimos representá-lo no mundo das ideias, por uma bolinha e usamos letras maiúsculas A, B, C,... RETA: é um objeto unidimensional e também só conseguimos representa-la no mundo das ideias, já que a reta é infinita. Representamos por um risco em linha reta e usamos letras minúsculas como r, s, t, u,... SEGMENTO DE RETA: como o próprio nome di, é uma parte da reta, limitado por dois pontos. Representamos por AB ou AB. PLANO: é um objeto bidimensional e também só conseguimos representa-la no mundo das ideias, já que o plano é infinito. Representamos por uma folha de papel em perspectiva e usamos letras gregas como π, α, β, ) DEFINIÇÕES SOBRE VETORES Muitas grandeas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude (módulo), da direção e do sentido. Estas grandeas são chamadas grandeas vetoriais ou simplesmente vetores. Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada 8
ponto final ou etremidade e o outro ponto etremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. Casos Particulares: (a) Vetores Paralelos ou Colineares ( Módulo: "comprimento" do vetor. Direção: "duas retas paralelas têm a mesma direção" Sentido: "orientação do vetor" Notação: AB, v v // u ): têm a mesma direção. (b) Vetores Iguais (v = u ) têm mesmo módulo, direção e sentido. (c) Vetor Nulo (AA ): Tem módulo nulo, a origem coincide com a etremidade, é um ponto qualquer do espaço. (d) Vetor Oposto (AB = BA ): "sentido contrário e mesma direção e módulo". (e) Vetor Unitário: v =, tem comprimento. (f) Vetores Ortogonais: vetores perpendiculares. (g) Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se eistir algum plano onde esses vetores estão todos representados. (h) VERSOR: Vetor unitário de mesmo sentido de v. Eemplos: - Se v =, então o versor de v é v - Se v =/, então o versor de v év Assim, o versor de um vetor v é dado por v v 9
) TRATAMENTO GEOMÉTRICO DE VETORES Adição v u Vetores Paralelos: Mesmo Sentido Sentido Contrário Vetores Não Paralelos: Mesma Origem (faer um paralelogramo) Origens Diferentes Soma de três ou mais vetores Propriedades da Adição Subtração u ( v) u v
Esquema para Adição e Subtração: Eemplo : Com base na figura, determinar os vetores, epressando-os com origem no ponto A. Eemplo : Com base na figura, determinar os vetores abaio, epressando-os com origem no ponto A Multiplicação de Vetores por escalar: Dado um vetor vetor v, tal que: v e um número real, chama-se o produto de um número real pelo vetor, o
Abaio o vetor v e alguns de seus múltiplos Considerando o ponto O como origem de v, v e de todos os vetores v teremos: que lhe são paralelos Assim, temos: Ângulo entre dois Vetores O ângulo entre dois vetores não nulos é o ângulo Ɵ formado por duas semirretas AO e OB de mesma origem O, onde. Se os dois vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, então. Se os dois vetores são paralelos e têm sentidos contrários, então.
Eemplo : Sabendo que os vetores u e v formam um ângulo de 6, determine o ângulo entre os vetores: a) u e v b) u e v c) u e v d) u e v ) TRATAMENTO ALGÉBRICO DE VETORES Inicialmente vamos tratar de alguns conceitos e operações de vetores no plano (R ) e posteriormente no espaço (R ). Em termos práticos, um vetor pode ser é definido por um par ordenado, assim como um ponto, porém seu etremo inicial fica na origem e seu etremo final nas coordenadas indicadas. Veja os eemplos no geogebra: Em termos algébricos, todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de vetores mais simples e unitários que chamaremos de base canônica. No caso do plano cartesiano, nossa base canônica são vetores unitários sobre os eios e. Definimos a base canônica do eio de i = (,) e do eio de j = (,).
Dessa forma, podemos escrever o vetor v = (,) como uma combinação linear: v = (,) = (,) + (,) = i + j Genericamente temos: v = αi + βj Propriedades Dados dois vetores v (, ) e u (, ) e R. Defini-se: I. u v e II. u v, III. v, Eemplo : A partir dos vetores v (, ) e u (, ), encontre u v e u e represente no plano cartesiano. Eemplo : A partir dos vetores v (,) e u (, ) represente no plano: a) u v b) u v, encontre os valores dos novos vetores e Vetor definido por dois pontos Considerando o vetor AB de origem no ponto A (, ) e etremidade em B (, ) Para encontrar um vetor com origem em O, que seja igual ao vetor AB, faemos AB OBOA OB OA. Assim temos:,,, O que é o mesmo que faer AB B A Eemplo 6: Encontre o vetor AB, tal que A(, ) e B(, ). Eemplo : Encontre o vetor CD, tal que C(-, ) e D(, -).
Módulo de um Vetor Módulo de um vetor é o comprimento deste vetor. Calculamos usando o Teorema de Pitágoras. Se o vetor tem sua origem no ponto (,), marca-se as projeções sobre os eios e aplica-se o teorema de pitágoras: v v Se o vetor é definido por dois pontos, faemos o cálculo da distância entre dois pontos: d AB AB OBS: O módulo de um vetor unitário é. Eemplo 8: Qual é o módulo do vetor, v Eemplo 9: Qual é o módulo do vetor AB, tal que A, e B, Versor Vetor unitário associado a um vetor v, paralelo a ele e de mesmo sentido. Eemplo : Encontrar o versor de, v u v v Vetores Paralelos Dois vetores são paralelos se são proporcionais, ou seja, v // u u v Eemplo : Seja v = (, ), encontre vetores paralelos usando valores reais quaisquer para α
Ponto Médio entre dois pontos O cálculo é feito através da média aritmética das abscissas (A e B) e das ordenadas (A e B): M = ( A + B, A + B ) Ponto Médio de um vetor Para calcular o ponto médio de um vetor que é definido a partir da origem, basta dividir suas componentes por dois. Se o vetor for definido por dois pontos (não está na origem do plano cartesiano), é necessário primeiro encontrar o vetor correspondente na origem e depois achar seu ponto médio. Eemplo : Calcule o ponto médio do vetor v = (, ) Eemplo : Calcule o ponto médio do vetor AB definido por A(, ) e B(-, ). Vetores no espaço (R ) No espaço vamos considerar o plano com os três eios:, e. Assim, a base canônica será { i, j, k}, na qual: i,, j,, k,, 6
Combinação Linear: v i j k v,, Eemplo : Represente os vetores a seguir no plano a) v = (,, ) b) u = (-,, ) c) w = (,, ) Os cálculos algébricos no R³ são semelhantes aos do R². Vetor definido por dois pontos: A, e B,, AB B A,,, Soma: v a, b, c e u d, e, f v u a d, b e, c f Módulo: AB d AB Ponto Médio: M,, Eemplo : Sejam os pontos A(,-,) e B(,,): a) Encontrar o vetor AB com origem em (,,). b) Calcular o AB. c) Calcular o ponto médio do vetor AB. Eercícios LISTA Vetores no Plano e no Espaço ) Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
) Apresentar, graficamente, um representante do vetor u v nos casos ) Dados os vetores coplanares u, v e w, representados na figura abaio, determinar: a) um representante do vetor +, sendo = u + v e = v + u ; b) o ângulo entre os vetores -v e w; c) o ângulo entre os vetores -u e w. ) Dados os vetores u = i j, v = i j e w = i + j, determinar: a) u v b) v u + w c) u v w d) u v w ) Dados os pontos A(,), B(,), C(, )e O(,), calcular: a) OA AB b) OC BC c) BA CB 6) Dados os pontos A(, -) e B(-, ) e o vetor v = (-, ), calcular a) (B A) + v b) (A B) v c) B + (B A) d) v (A B) 8
) Sejam os pontos A(-, ) e B(, ). Determinar o vetor v = (a, b) tal que a) B = A + v b) A = B + v 8) Representar no gráfico o vetor AB e o correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-, ) e B(, ) b) A(-, ) e B(, ) c) A(, ) e B(, -) d) A(, ) e B(, ) 9) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v = (-, ), sabendo que sua etremidade está em (, )? Representar graficamente este segmento. ) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-, -), B(, ) e C(, ) b) A(, ), B(, ) e C(, ) ) Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, -) tenha módulo. ) Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, ½ ) seja unitário. ) Traçar no mesmo sistema de eios os retângulos de vértices: a) A(,, ), B(,, ), C(,, ) e D(,, ) b) A(,, ), B(,, ), C(,, ) e D(,, ) ) A figura abaio apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos aios coordenados e de medidas, e. Determinar os coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A(, -, ) ) Dados os pontos A(, -, ) e B(,, ) e o vetor v = (,, -), calcular: a) A + v b) (A B) v c) B + (B A) d) v (B A) 6) Dados os pontos A(, -, -), B(,, ), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal que AN = AB ) Dados os pontos A(, -, ), B(,, -) e C(-, -, ), determinar o ponto D tal que AB + CD = 8) Sabendo que u v = w, determinar a, b e c, sendo u = (, -, c), v = (a, b-, ) e w = (, -, ). 9) Dados os vetores u = (,, -), v = (, -, ) e w = (-,, ), determinar o vetor de modo que u v + = + w 9
) Sendo A(, -, ) e B(,, -) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(, -, ) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. ) Quais dos seguintes vetores u = (, -6, ), v = (-6, 9, -), w = (, -, 9) e t = (, -, ) são paralelos? ) Dado o vetor w = (,, ), determinar a e b de modo que os vetores u = (,, -) e v = (a, 6, b) + w sejam paralelos. ) Obter o ponto P do eio das abscissas equidistantes dos pontos A(, -, ) e B(, -, -). ) Obter um ponto P do eio das cotas cuja distância ao ponto A(-,, -) seja igual a. Gabarito ) V F F V F F F V F V V ) gráfico ) (a) gráfico; (b) ; (c) 6 ) (a) (, -); (b) (-, ); (c) (, -/); (d) (/, -9) ) (a) (-, ); (b) (, ); (c) (-, -) 6) (a) (-8, ); (b) (6, -8); (c) (-9, ); (d) (-, 9) ) (a) v = (, ); (b) v = (-, -/) 8) (a) (, ) + gráfico; (b) (, -) + gráfico; (c) (-, -) + gráfico; (d) (, ) + gráfico 9) (, -) ) (a) D(-, ); (b) D(, ) ) ± ) ± ) gráfico )B(, -, ); C(, -, ); D(, -, ); E(, -, ); F(, -, ); G(, -, ); (, -, ) ) (a) (,, -9); (b) (, -6, ); (c) (-,, 9); (d) (, -, -) 6) N = (/, -, -6/) )D( -, -6, 8) 8) a = -/, b = /, c = 9) = (/, /, -/) )C(6, -, ) e D(, -9, ) ) São paralelos entre si os vetores u, v e t. ) a= 9 e b = - ) P(,, ) ) P(,, ) ou P(,, -)