UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA UNIDADE DE ENSINO POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA PARA TÓPICOS DE MECÂNICA VETORIAL BRUNO NUNES MYRRHA RIBEIRO VASSOURAS 2014
UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA BRUNO NUNES MYRRHA RIBEIRO UNIDADE DE ENSINO POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA PARA TÓPICOS DE MECÂNICA VETORIAL Produto da dissertação de Mestrado apresentada aoprograma de Pós-Graduação stricto sensu, Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Carlos Vitor de Alencar Carvalho VASSOURAS 2014
Unidade de ensino potencialmente significativa para tópicos de mecânica vetorial Objetivo: ensinar o cálculo e a representação de forças atuantes no plano e no espaço, em problemas de mecânica vetorial. Sequência: 1. Atividades iniciais: As atividades iniciais será desenvolvida em 3 aulas, com o objetivo de elaborar um mapa conceitual. O Quadro 3 permite o professor utilizar como suporte teórico ou construção dos conceitos iniciais abordados com os alunos, sobre o conteúdo da representação e cálculo de forças no plano e no espaço, identificando tópicos de trigonometria e vetores no plano e no espaço como conhecimentos prévios (Quadro 4 e 5). Após isso será aplicada uma avaliação dos conhecimentos prévios relativos aos tópicos de trigonometria e vetores (Quadro 8). Sequencialmente utilizará o software SET como organizador dos conhecimentos prévios, que trabalha os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo e no Ciclo Trigonométrico, elaborando atividades que consiste na verificação das razões e relações trigonométricas. Posteriormente utilizará a atividade VET-AD como organizador dos conhecimentos prévios, que trabalha os conceitos e operações vetoriais no plano, elaborando atividades que consiste na verificação da soma de diversos vetores no plano conforme as Figuras 1a e 1b. Figuras 1a e 1b Soma vetorial
2. Situação-problema: A situação-problema será desenvolvida em 2 aulas, sendo expositiva com o objetivo de determinar a força resultante atuando sob uma partícula no plano (Figuras 2a e 2b). Figuras 2a e 2b Decomposição vetorial no plano 3. O processo de ensino: O processo de ensino será desenvolvido em 4 aulas. Para proceder ao estudo da decomposição vetorial, componentes regulares de uma força e a resultante de forças concorrentes no plano, será necessário ministrar em aula expositiva os seguintes tópicos: razões trigonométricas, teorema de Pitágoras, adição e módulo de vetores (Quadro 4 e 5). Posteriormente, apresentará situações problemas que envolvem a decomposição vetorial, componentes regulares de uma força e resultante de forças concorrentes no plano (Quadro 6). Sequencialmente utilizará o material potencialmente significativo VET-DEC2D, na aprendizagem dos novos conceitos: decomposição vetorial, componentes regulares de uma força e resultante de forças concorrentes no plano, permitindo sua visualização e a interação através de várias possibilidades a serem simuladas. 4. Diferenciando progressivamente: A diferenciação progressiva consiste numa atividade realizada em 4 aulas, apresentando situações problemas que envolvem a decomposição vetorial, componentes regulares de uma força e resultante de forças concorrentes no espaço (Quadro 7). Posteriormente, utilizando o material potencialmente significativo VET-DEC3D, na aprendizagem dos conceitos de: decomposição vetorial,
componentes regulares de uma força e resultante de forças concorrentes no espaço, possibilitando a visualização e a interação. Elaborando atividades que consiste no cálculo dos componentes vetoriais, a inclinação e a intensidade da força atuante de acordo com a Figura 3. Figuras 3 Decomposição vetorial no espaço 5. Nova situação-problema em nível mais alto de complexidade: A nova situação-problema em nível mais alto de complexidade será desenvolvida em 2 aulas, apresentando uma nova situação do conteúdo da unidade de ensino, tratando de um problema prático que envolve a representação e o cálculo de uma força resultante atuante em uma torre. Sequencialmente utilizando o material potencialmente significativo TORRE-RES3D, na aprendizagem dos conceitos da unidade, permitindo a visualização e interação. Com o objetivo de calcular as forças resultantes das torres apresentadas nas Figuras 4a e 4b.
Figuras 4a e 4b - Problemas de forças atuantes em uma torre 6. Avaliação: A avaliação será desenvolvida em 2 aulas, propondo quatro questões que envolvem conhecimentos puros e aplicados dos tópicos de mecânica vetorial, bidimensional e tridimensional abordados nessa UEPS, apresentada no Quadro 1. 7. Avaliação da própria UEPS: A avaliação da própria UEPS será desenvolvida em 1 aula, consistindo em um questionário avaliativo com três características distintas em três níveis, apresentada no Quadro 2. Referências: MOREIRA, Marco Antonio. Unidades de Enseñanza Potencialmente Significativas. Aprendizagem Significativa em Revista, v. 1, p. 43-63, 2011. MOREIRA, Marco Antonio. Mapas Conceituais e Aprendizagem Significativa. São Paulo: Centauro, 2010.
Quadro 1 Avaliação Individual Avaliação Individual Aluno: Data: Questão 1: Um homem puxa com força de 300N uma corda amarrada em um edifício, como mostra a figura 1. Quais são as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A? Figura 1 Questão 2: Sabendo que =50, determine a resultante das três forças mostradas (Figura 2). Figura 2
Questão 3: Para se estabilizar parcialmente uma árvore arrancada durante uma tempestade, os cabos AB e AC são amarrados na parte superior do tronco da árvore e depois são presos a haste de aço ancoradas no chão (Figura 3). Sabendo que a tração no cabo AB é 4,5 kn, determine os componentes da força exercida por esse cabo na árvore, e os ângulos, e que a força forma com os eixos em A paralelos aos eixos coordenados. Figura 3
Questão 4: Três cabos são usados para amarrar um balão, tal como mostra a ilustração (Figura 4). Determine a força vertical P exercida pelo balão em A, sabendo que a tração no cabo AB é 270N. Figura 4 Quadro 2 Avaliação da UEPS Avaliação da UEPS Aluno: Data: Características Bom Regular Ruim Clareza na exposição das informações Qualidade dos Materiais Potencialmente Significativos Qualidade da UEPS
Quadro 3 Mapa Conceitual Objetivo: utilizar como suporte teórico ou construir os conceitos iniciais Sugestão de referência: MOREIRA, Marco Antonio. Mapas Conceituais e Aprendizagem Significativa. São Paulo: Centauro, 2010. Sugestão de Software: Cmap tools (http://cmap.ihmc.us) Quadro 4 Trigonometria Objetivos Interpretação Algébrica Interpretação Geométrica Círculo Trigonométrico Seno: sen Cosseno: cos Tangente: tan Cossec: cosec Secante: sec Cotang: cotg
Triângulo Retângulo sen cos tan Teorema de Pitágoras ² ² ² Posição entre vetores Quadro 5 Vetores Objetivos Adição de vetores Quadro 6 Forças no plano Objetivos Interpretação Algébrica Interpretação Geométrica Componentes Retangulares ² ²
Decomposição Vetorial de uma Força cos sen Componentes Retangulares de Várias Forças ² ² Quadro 7 Forças no espaço Objetivos Interpretação Algébrica Interpretação Geométrica Componentes Retangulares Decomposição Vetorial de uma Força ² ² ² cos cos cos
Componentes Retangulares de Várias Forças ² ² ² Quadro 8 Avaliação de Conhecimentos Prévios Quadro B.1 Questão de trigonometria 2) Determinar o valor da hipotenusa a e de cada ângulo interno do triângulo ABC abaixo: Fonte IEZZY (1993) Quadro B.2 Questão de vetores no plano 2) Determinar os componentes x e y de cada uma das forças indicadas:
Quadro B.2 Questão de vetores no espaço 2) Determine os componentes x, y e z da força de 900N e os ângulos que a força forma com os eixos coordenados. Quadro 9 Informações Todo o material potencialmente significativo está armazenado na página do Professor Bruno Nunes Myrrha Ribeiro http://myrrha.pro
VET-AD: http://myrrha.pro/?page_id=241 VET-DEC2D: http://myrrha.pro/?page_id=70 VET-DEC3D: http://myrrha.pro/?page_id=256 TORRE-RES3D: O software SET está armazenado na página do Professor Carlos Vitor de Alencar Carvalho http://myrrha.pro/?page_id=68 http://www.cvac.eng.br/set.html Projeto: Mecânica Vetorial para a Engenharia: Uma abordagem visando uma aprendizagem significativa Avaliação de Conhecimentos Prévios 1) Localizar os pontos A(2, 0), B(0, -3), C(2, 5), D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G(5/2, 9/2) e H(-5/2, -9/2) no plano cartesiano abaixo:
2) Dado os pontos: A(500, 500), B(-600, 600), C(715, -715), D(-1002, 1002), E(0, 0), F(711, 0), G(0, -517), H(-321, 0), I(0, 198), J(π, π 3), K( 2, - 2) e L(9/2, 18/4). Indique quais são pertencentes: a) Ao primeiro quadrante; b) Ao segundo quadrante; c) Ao terceiro quadrante; d) Ao quarto quadrante; e) Ao eixo das abscissas; f) Ao eixo das ordenadas; g) À bissetriz dos quadrantes ímpares; h) À bissetriz dos quadrantes pares. 3) Calcular a distância do ponto P(3, -4) à origem do sistema cartesiano. 4) Calcular a distância entre os pontos A(1, 3) e B(-2, 1). 5) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8cm e 12cm e formam um ângulo de 60. Calcule as diagonais. Identificação: Aluno: Escola: Série: Turma: Conhecimentos prévios Plano Cartesiano: representação e localização de pontos no plano Distância Entre Pontos: cálculo de distâncias entre pontos Lei dos Cossenos: cálculo da diagonal de um paralelogramo
Bibliografia IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Analítica. Volume 7. 4ª ed. São Paulo: Editora Atual, 1993. IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Trigonometria. Volume 3. 7ª ed. São Paulo: Editora Atual, 1993. APÊNDICE B Avaliação de Conhecimentos Prévios Quadro B.1 Questão de trigonometria 2) Determinar o valor da hipotenusa a e de cada ângulo interno do triângulo ABC abaixo: Fonte IEZZY (1993)
Quadro B.2 Questão de vetores no plano 2) Determinar os componentes x e y de cada uma das forças indicadas: Quadro B.2 Questão de vetores no espaço 2) Determine os componentes x, y e z da força de 900N e os ângulos que a força forma com os eixos coordenados.