AULA 43 RELAÇÃO ENTRE O MOVIMENTO HARMÔNICO E O MOVIMENTO CIRCULAR OBJETIVOS: ESTUDAR A RELAÇÃO DO MOVIMENTO HARMÔNICO COM O CIRCULAR, MOSTRANDO QUE ESTE É UMA COMPOSIÇÃO DE DOIS MOVIMENTOS HARMÔNICOS 43.1 ESTUDANDO A RELAÇÃO ENTRE O MHS E O MCU A Figura 43.1 mostra uma partícula descrevendo um movimento circular uniforme em torno do ponto O. A partícula está no ponto Q no instante. Sua posição em relação a O nesse instante é dada pela distância e pelo ângulo que faz com eixo de coordenadas cartesianas. Figura 43.1: Posição de uma partícula em movimento circular em Como o movimento circular é uniforme, o vetor velocidade da partícula não varia em módulo. Sua velocidade angular é também constante. Assim, entre os instantes e, a partícula descreveu o arco de círculo e sua posição angular nesse instante é medida pelo ângulo subentendido por esse arco (Figura 43.1). A sua velocidade linear é. 583
Figura 43.2: Posição de uma partícula em movimento circular em No intervalo de tempo considerado, à medida que a partícula (representada pelo ponto Q) se desloca sobre o círculo, o ponto P, projeção de Q sobre o eixo move se sobre este eixo. Então, no instante, a posição de P é dada por: que é a equação de movimento de um oscilador harmônico simples. Portanto, podemos dizer que o movimento harmônico simples de uma partícula pode ser descrito como uma projeção do movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo. A frequência angular do movimento harmônico simples é a mesma que a velocidade angular da partícula em movimento circular, pois, como: vem: Atividade 43.1: Mostre que o período do movimento harmônico é o mesmo que o do movimento circular A velocidade tangencial da partícula no movimento circular no ponto Q vale. Então, a componente dessa velocidade sobre o eixo (Figura 43.3)é: como esperávamos no caso do movimento harmônico simples. 584
Figura 43.3: Velocidade de uma partícula em movimento circular em Figura 43.4: Aceleração de uma partícula em movimento circular em Como o movimento é circular uniforme, a partícula representada pelo ponto Q só tem aceleração radial (centrípeta) e esta vale A sua projeção sobre dá a aceleração do ponto P (Figura 43.4): Atividade 43.2: Como seriam as equações do movimento harmônico simples se tomássemos a projeção do movimento circular sobre o eixo ao invés do eixo? Do resultado da Atividade 43.2, podemos ver que o movimento circular, que é um movimento em um plano, pode ser descrito como a composição de dois movimentos harmônicos simples ao longo de dois eixos perpendiculares.com efeito, temos que: 585
O exame dessas duas equações no diz que e são funções que diferem entre sí de um ângulo de fase. Com efeito, temos que: e, das equações acima vem que: que correspondem aos módulos do deslocamento, velocidade e aceleração da partícula em movimento circular uniforme. O movimento circular uniforme pode ser considerado, então, como uma combinação de dois movimentos harmônicos simples ocorrendo no mesmo plano, com a mesma amplitude mas com fases diferindo de. Podemos combinar também movimentos harmônicos simples com amplitudes e fases diferentes. O resultado são movimentos oscilatórios no plano cujas trajetórias possuem formas diferentes de acordo com a relação entre as amplitudes e as fases. As equações de movimento podem ser escritas como: Podemos estudar alguns casos: (a) Se as constantes de fase são idênticas,, o movimento resultante é uma linha reta, pois, eliminando a fase dessas equações obtemos: que é a equação de uma reta passando pela origem e de inclinação. A Figura 43.5a mostra o caso em que ; a reta faz um ângulo de 45 com o eixo ; se (Figura 43.5b) esse ângulo é de 63.5. Em ambos os casos, os deslocamentos e atingem seus valores máximo e mínimo ao mesmo tempo: estão em fase. (b) Se as constantes de fase ( e ) forem diferentes, o movimento resultante não é mais retilíneo. Se as amplitudes forem iguais e as constantes de fase diferirem de (Figura 43.5c) a trajetória é um círculo (movimento circular uniforme, como vimos anteriormente). Mas se as amplitudes forem diferentes (com a diferença de fase igual a ) a trajetória é uma elipse (Figuras 43.5d, 43.5e e 43.5f). 586
Figura 43.5: Movimentos harmônicos simples em duas dimensões Todas as combinações de movimentos harmônicos simples em direções perpendiculares com a mesma frequência produzem trajetórias elípticas, cujas formas dependem da razão das amplitudes e da diferença de constantes de fase. Se as frequências forem diferentes, os movimentos são mais complicados; os movimentos resultantes só serão periódicos se a razão das frequências for um número racional. No caso de movimentos periódicos, as trajetórias resultantes são chamadas de figuras de Lissajous em homenagem a Jules Antoine Lissajous (1822 1870) que estudou as propriedades matemáticas dessas curvas em 1857. Atividade 43.3: Procure na internet artigos sobre as figuras de Lissajous 587
RESPOSTA COMENTADA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS Atividade 43.1: O período do movimento harmônico simples é: Atividade 43.2: Da Figura 43.2 vemos que OQ faz um ângulo o eixo vertical. Então, a compopnente de OQ sobre este eixo é: sobre Da mesma forma, temos que: 588