1 Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências da Terra - Departamento de Geomática Prof a Regiane Dalazoana CAPÍTULO 1 - REVISÃO MATEMÁTICA GA069 - TOPOGRAFIA I LISTA DE EXERCÍCIOS a) Transforme os seguintes valores para graus sexagesimais (graus, minutos e segundos) 42,40970574 10926 6,283185307rad 359,546789 b) Resolva as seguintes relações trigonométricas sen 158 37 05 cos 158 37 05 tg 158 37 05 arc sen 0,916086898 arc cos -0,400979794 arc tg -2,284621099 c) Sabendo-se que uma área triangular possui como ângulos internos os valores de 32, 58 e 90 e que a hipotenusa mede 80m, qual o valor do perímetro dessa área? d) Do topo de um farol, situado a 40m do nível do mar, observa-se um barco segundo um ângulo de 15, conforme a figura abaixo. Qual a distância horizontal do barco até o farol?
e) Um observador a bordo de um barco em movimento retilíneo mede, num determinado instante, o ângulo entre a trajetória do barco e um farol. Após um determinado intervalo de tempo realizou uma nova medida conforme a figura abaixo. Determine qual a menor distância entre o farol e o barco. 2 f) Transforme em metros (m) 1,23 km 0,02 km 1003 mm 51 cm g) Transforme em metros quadrados (m²) 4,55 km² 6.400 dm² 2.198.455 cm² 1,08 hm² h) Qual a área e o perímetro de um retângulo cujas dimensões são 12m x 25m? i) Qual a área de um triângulo cuja base é 16 dm e a altura 22 dm? j) Qual a área e o perímetro de um quadrado cujo lado é 2,56 km? k) Qual o volume de uma caixa d água com dimensões 2 m x 2m x 1 m? l) Efetue as operações e dê o resultado em metros (m): 42 km + 620 m + 89 cm = 5 km 750 m 28 cm 6mm = 8 2,5 km = 5 38,5 cm = (10 hm 5) - 45 dam + 987 dm = (5 km 2) + 37 hm - 89 dam + 4,5 dm = 45 mm + 19 cm + 50 dm =
3 CAPÍTULO 2 - CONCEITOS BÁSICOS a) Qual das escalas é maior? 1:1.000.000 ou 1:1.000 b) Qual das escalas é menor? 1:10 ou 1:1.000 c) Um alinhamento possui 12m de comprimento. Verificar se este teria representação numa carta na escala 1:50.000. d) Uma calçada mede 8,50m de comprimento, qual sua medida gráfica numa planta em escala 1:250? e) Qual o comprimento gráfico de um rio com 57m de comprimento real, numa planta na escala 1:500? f) Um terreno possui comprimento igual ao dobro de sua largura. A área real deste terreno é de 16722,54 m 2. Qual a dimensão gráfica dos lados deste terreno na escala 1:10.000? g) Para um terreno com dimensões de 600m x 1000m (largura e comprimento), qual seria a escala de representação para uma folha no formato A3 (297mm x 420mm)? h) Desenhe as escalas gráficas correspondentes às escalas numéricas 1:5.000 e 1:50.000. A unidade a ser utilizada, para as escalas, é o metro e o quilômetro, respectivamente. i) Num mapa, a distância entre dois cruzamentos de rodovias mede 49,5mm. A distância entre os mesmos dois pontos é de 99,1mm numa fotografia aérea. Sabendo-se que a escala do mapa é de 1:100.000, qual é a escala da fotografia?
4 j) Conhecendo-se as coordenadas dos pontos A (10; 0)m e B (17; 2)m, calcule: a) o azimute da direção AB (ângulo que a direção AB faz com o norte) b) a distância entre os dois pontos k) Dadas as coordenadas do ponto 0 (X 0 =110,000m e Y 0 =115,125m); e medindo-se em campo a distância até o ponto 1 (d 01 = 150,030m) bem como o azimute (Az 01 = 45 00 00 ); calcular as coordenadas do ponto 1. l) Dadas as coordenadas do ponto 0 (X 0 =53,32m e Y 0 =81,44m); e medindo-se em campo a distância até o ponto 1 (d 01 = 47,43m) bem como o azimute (Az 01 = 123 41 ); calcular as coordenadas do ponto 1. m) Um aluno de topografia mediu cinco vezes a distância entre dois vértices de uma poligonal usando a trena. Qual o valor mais provável desta grandeza, bem como o desvio padrão de uma observação e da média? Observações (m) 68,52 68,49 48,54 68,50 68,48 n) Um ângulo foi medido cinco vezes, calcule a média e o desvio padrão de uma observação e da média. Observações 34 49 58 34 49 56 34 50 01 34 49 59 34 50 02
o) Mediu-se uma grandeza angular com quatro equipamentos e equipes diferentes e obtiveram-se os seguintes resultados: 5 Indique qual é a melhor série de medidas. p) Uma distância foi medida 8 vezes e foram obtidos os seguintes valores: Pede-se: qual o valor mais provável, desvio padrão de uma observação e desvio padrão da média aritmética.
6 CAPÍTULO 3 MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS a) Um alinhamento foi medido com uma trena de comprimento nominal igual a 20m, obtendo-se, após vários lances, o valor de 92,12m. Qual o comprimento real do alinhamento sabendo-se que a trena estava dilatada de 6cm? b) Um alinhamento medido com uma trena resultou em 284,40m. Porém, a trena cujo comprimento nominal é de 20m, encontra-se com comprimento aferido de 19,95m. Determine o comprimento correto do alinhamento medido. c) Deve-se marcar, sobre o terreno, um alinhamento de 193,54m. A trena a ser usada está dilatada em 35mm. Qual seria o comprimento aparente a marcar, se o comprimento nominal da trena é 25m.
7 CAPÍTULO 4 - MEDIDA DE DIREÇÕES a) Determine para um ângulo horizontal interno de 78 12'14" o ângulo horizontal externo correspondente. b) Determine para o ângulo vertical contado do horizonte (v) de 47 28'45" o ângulo vertical correspondente contado do Zênite (Z). c) Determine qual seria o ângulo zenital (Z) correspondente ao ângulo vertical (v) de -47 28'45". d) Determine para o ângulo horizontal externo de 172 44'37" o ângulo horizontal interno correspondente. e) Dadas as seguintes leituras de PD e PI, calcular o ângulo medido: Estação Ré (A) Vante (C) B PD = 78 49 12 PD = 293 09 50 PI = 258 49 10 PI = 113 09 45
8 f) Determine os ângulos da seguinte poligonal fechada. Estes são ângulos internos ou externos? g) Com base nas seguintes leituras calcule os ângulos.
9 CAPÍTULO 5 - ORIENTAÇÃO a) Determine os valores de azimute que correspondem aos seguintes rumos: 45 12 45 NO 55 48 12 NE 64 09 15 SO 77 23 30 SE b) Determine os valores de rumo que correspondem aos seguintes azimutes: 167 44 20 241 51 50 327 37 32 88 49 05 c) Determine o Azimute e Contra Azimute correspondente ao Rumo de 86 15 28 SO. d) Determine o Azimute e Contra Azimute correspondente ao Rumo de 33 08 40 SE. e) Dado um azimute magnético de 275 59 e sabendo-se que a declinação magnética vale -18 26, qual o valor do azimute verdadeiro e dos rumos magnético e verdadeiro. Faça uma figura ilustrativa.
f) Qual o valor do azimute do alinhamento 23, sabendo-se que o azimute do alinhamento 12 é 79 25 20 e que o ângulo horizontal interno no vértice 2 é 110 40 30, conforme figura a seguir. N 10 1 N 79 25 20 2 110 40 30 3 g) Qual o valor da declinação magnética em 12 de junho de 2001, num ponto de coordenadas (25 30 S; 50 20 W) h) Em um levantamento de uma área em forma de triângulo retângulo isósceles (conforme a figura abaixo), obteve-se o azimute magnético do alinhamento 0-1 como sendo 44º50'25". Determinar os azimutes e rumos, magnéticos e verdadeiros, dos alinhamentos 0-1; 1-2 e 2-0, sendo a declinação magnética do local igual a 17º38'10" W; i) O rumo magnético do alinhamento 0-1 é 10º11' SE. Se a declinação magnética do local vale 13º20' W determinar: - azimute verdadeiro de 0-1; - azimute magnético de 1-0; - rumo magnético de 1-0.
11 CAPÍTULO 6 PLANIMETRIA a) Qual deve ser o fechamento angular de um polígono de 12 pontos considerando que foram medidos os ângulos horizontais internos? b) Qual deve ser o fechamento angular de um polígono de 8 pontos considerando que foram medidos os ângulos horizontais externos? c) Qual deve ser a tolerância angular (erro máximo) permitido na medida dos ângulos internos de uma poligonal de 6 pontos sabendo-se que o equipamento utilizado tem precisão angular de 20? d) Qual deve ser a tolerância angular (erro máximo) permitido na medida dos ângulos externos de uma poligonal de 10 pontos sabendo-se que o equipamento utilizado tem precisão angular de 7? e) Dada a seqüência de coordenadas (0PP, 1, 2, 3, 4), indicadas na tabela abaixo: Ponto Coordenada X (m) Coordenada Y (m) 0PP 732,208 1088,765 1 764,193 1173,577 2 972,946 1187,996 3 1006,849 951,685 4 791,834 959,995 - determine os azimutes de todas as direções (A 0PP1, A 12, A 23, A 34 e A 40PP ); - desenhe a planta da poligonal fechada na escala 1:2000, contendo todos os elementos necessários a uma planta topográfica; - calcule a área da poligonal (em m 2 ) pelo método de Gauss.
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f) A partir das seguintes observações realizadas em campo, determine as coordenadas dos pontos da poligonal fechada, bem como sua área. Ponto Direção Ângulo horizontal Distância Azimute (externo) horizontal (m) 0PP 0PP1 1081,66 303 42 1 12 290 28 444,07 2 23 216 36 1500,13 3 34 271 03 1890,95 4 45 291 06 1411,56 5 50PP 285 43 640,31 0PP 85 02 Dados: X 0PP =0,00m Y 0PP =0,00m Tolerância angular = 5 Tolerância linear = 1:1000 13
g) Foi realizado um levantamento de detalhes conforme os dados indicados na tabela abaixo. Calcular as coordenadas dos pontos P1, P2 e P3, sabendo-se que as coordenadas da estação B são X B =0,00m e Y B =0,00m e que o azimute da direção AB é igual a 225. Faça um croqui para facilitar a resolução do problema. Estação Ponto Visado Ângulo Horizontal (horário) Ângulo Zenital Distância Horizontal (m) B A (ré) 0 00 P1 27 00 80 00 49,87 P2 106 30 77 40 72,78 P3 187 30 75 00 16,12 14
h) Foi realizado um levantamento de detalhes pelo método da irradiação, conforme os dados abaixo. Calcular as coordenadas dos pontos 1, 2 e 3, sabendo-se que as coordenadas da estação B são X B =73,62m e Y B =129,34m e que o azimute da direção AB é igual a 333 29 34. Faça um croqui para facilitar a resolução do problema. Estação Ponto Visado Ângulo Horizontal (horário) Ângulo Zenital Distância Horizontal (m) B A (ré) 0 00 00 1 28 32 10 78 10 18 82,82 2 96 40 15 84 22 24 57,93 3 173 22 18 109 13 28 94,19 15
i) Pelos extremos de uma base AB,definida pelos elementos A AB =100 20 e D AB =350,00m, foi levantado pelo método da intersecção, um ponto M, com posição definida por A AM =152 08 e A BM =214 50. Pede-se para calcular as coordenadas do ponto M, sabendo-se que as coordenadas do ponto A são: Y A =6.870.654,902m e X A = 507.432,385m. 16
j) Foram medidas com uma trena as seguintes distâncias na poligonal representada na figura abaixo: Alinhamento Distância (m) 12 52,18 23 55,35 34 36,60 45 48,09 56 45,91 61 34,75 25 56,74 26 50,60 35 47,08 Calcular a área do polígono. 17 k) Determine para uma área de 75,248 hectares o seu valor em alqueires mineiro e em metros quadrados. l) Determine para uma área de 43,995 acres, o seu valor em quilômetros quadrados e em metros quadrados.
18 CAPÍTULO 7 MEDIDA INDIRETA DE DISTÃNCIAS a) Realize as três leituras estadimétricas (FS - fio superior, FM - fio médio/nivelador e FI - fio inferior) nas figuras a seguir: Ponto A Ponto B FS = FS = FM = FM = FI = FI = Ponto C Ponto D FS = FS = FM = FM = FI = FI =
19 Ponto E Ponto F FS = FS = FM = FM = FI = FI = b) Num levantamento taqueométrico, deseja-se conhecer a distância aos pontos A, B, C, D, E e F, cujas leituras efetuadas na mira foram realizadas no exercício anterior. Sabendo-se que a distância zenital é igual a 90 e que a constante do aparelho C=100, determine a distância (em metros) entre o aparelho e os pontos A, B, C, D, E e F. c) Determine a distância horizontal entre a estação A e os pontos 1, 2 e 3. ESTAÇÃO PONTO ÂNGULO ÂNGULO LEITURAS ESTADIMÉTRICAS VISADO HORIZONTAL VERTICAL FS FM FI A B 0 00 00 A 1 28 32 10 78 10 18 1,044 0,904 0,764 A 2 96 40 15 84 22 24 2,243 2,102 1,961 A 3 173 22 18 109 13 28 2,803 2,650 2,498
20 RESPOSTAS (não revisadas!) CAPÍTULO 1 a) 42 24 34,94 ; 3 2 6 ; 360 ; 359 32 48,4 b) 0,364583363 ; -0,931170752 ; -0,391532232 ; 66 21 38 ; 113 38 22 ; 293 38 22 c) 190,23m d) 149,28m e) 999,72m f) 1230m ; 20m ; 1,003m ; 0,51m g) 4.550.000m 2 ; 64,00m 2 ; 219,8455m 2 ; 10.800m 2 h) 300m 2 ; 74m i) 1,76m 2 j) 6.553.600m 2 ; 10240m k) 4m 3 l) 42.620,89m ; 4.249,714m ; 20.000m ; 1,925m ; -151,3m ; 5.310,45m ; 5,235m CAPÍTULO 2 a) 1:1.000 b) 1:1.000 c) Tem representação d) 3,4cm e) 11,4cm f) 9,14mm X 18,28mm g) 1:2.500 h) Possíveis respostas: i) 1:49.949 j) A AB = 74 3 16 ; D AB = 7,28m k) X 1 = 216,087m ; Y 1 = 221,212m l) X 1 = 92,79m ; Y 1 = 55,13m m) X = 68,50m ; σ = 0,02m ; σ = 0,01m X
21 n) X = 34 49 59 ; σ = 2 ; σ = 1 X o) Equipe I com: X = 20 21 10 ; σ = 8 ; p) X = 110,64m ; σ = 0,05m ; CAPÍTULO 3 a) 92,40m b) 283,69m c) 193,27m CAPÍTULO 4 a) 281 47 46 b) 42 31 15 c) 137 28 45 d) 187 15 23 e) 214 20 36 σ = 0,02m X σ = 4 X f) 255 21 35 ; 228 38 30 ; 291 44 25 ; 320 46 1 ; 61 45 56 ; 281 42 48 (externos) g) 91 15 27 ; 303 41 17 CAPÍTULO 5 a) 314 47 15 ; 55 48 12 ; 244 09 15 ; 102 36 30 b) 12 15 40 SE ; 61 51 50 SO ; 32 22 28 NO ; 88 49 5 NE c) Azimute = 266 15 28 ; Contra Azimute = 86 15 28 d) Azimute = 146 51 20 ; Contra Azimute = 326 51 20 e) Azimute verdadeiro = 257 33 ; Rumo magnético = 84 1 NO ; Rumo verdadeiro = 77 33 SO f) 148 44 50 g) 16 40 W ou -16 40 h) Direção Azimute magnético Azimute verdadeiro Rumo magnético Rumo verdadeiro 0-1 44 50 25 27 12 15 44 50 25 NE 27 12 15 NE 1-2 134 50 25 117 12 15 45 09 35 SE 62 47 45 SE 2-0 269 50 25 252 12 15 89 50 25 SW 72 12 15 SW i) Azimute verdadeiro da direção 0-1 = 156 29 ; Azimute magnético da direção 1-0 = 349 49 ; Rumo magnético da direção 1-0 = 10 11 NO CAPÍTULO 6 a) 1800 b) 1800 c) 49 d) 22 e) A 0PP1 = 20 39 46 ; A 12 = 86 02 55 ; A 23 = 171 50 08 ; A 34 = 272 12 48 ; A 40PP = 335 09 14
22 Área = 52.344,412m 2 Desenho (sem escala) Lote 1 Área = 52.344,412m 2 f) Ponto X (m) Y (m) 0PP 0,00 0,00 1-899,85 600,229 2-539,75 860,13 3 960,29 839,72 4 899,86-1050,12 5-400,08-499,99 Área = 2181665,34m 2 g) Ponto X (m) Y (m) P1 47,43 15,41 P2 34,73-63,96 P3-12,79-9,81 h) Ponto X (m) Y (m) 1 70,69 46,57 2 19,13 109,68 3 22,13 208,21 i) X M = 507.599,91m ; Y M = 6.870.338,057m j) Área = 3.943,358m 2 k) 15,547 alqueire mineiro ; 752.480m 2
23 l) 0,178041km 2 ; 178041,448m 2 CAPÍTULO 7 a) Ponto FS FM FI A 1,786 1,765 1,744 B 0,290 0,270 0,250 C 2,195 2,175 2,155 D 2,030 1,995 1,960 E 1,480 1,444 1,410 F 3,445 3,409 3,373 b) D aa = 4,2m ; D ab = 4,0m ; D ac = 4,0m ; D ad = 7,0m ; D ae = 7,0m ; D af = 7,2m c) D A1 = 26,823m ; D A2 = 27,929m ; D A3 = 27,193m