Dinâmica da Atmosfera Forças atuantes sobre corpos sobre a superfície terrestre: fricção, coriolis, gravitacional, etc. Efeitos de temperatura Efeitos geográficos
Pêndulo de Focault Trajetória do Pêndulo de Focault projetada sob a superfície (hemisfério norte). T ω = ω sen λr$ r r 2π 2π = = ω ω sen λ r Em São Paulo λ=23,5 ο Tr 60 h
Força de Coriolis O que acontece com uma pessoa em movimento (velocidade v o ), em uma plataforma girante (velocidade angular ω)? S = Sistema não inercial
ωgt 3 3 sin λ
Desprezando os termos em ω 2, sobra somente a força de coriolis
Força de coriolis atuando sobre uma massa de ar que se desloca do polo em direção ao equador
Ciclones
Força de Coriolis Deslocamento do vetor velocidade A aceleração de Coriolis é: r a Coriolis iˆ ˆj kˆ ur r = 2ω v = 2 0 ω cosφ ω senφ v v v x y z
Movimento giratório dos furacões
Força Gravitacional A força gravitacional é definida por: r Mm Fg = G r$ r 2 Mm Mm * Mm * GM F, g = mg = g h << R 2 2 R + h R ( ) T T T
Gravidade efetiva O valor de g efetivo é: r r* 2 g = g +ω R Rˆ
Pressão atmosférica
Gradiente de Pressão Em equilíbrio, o gradiente de pressão sobre um elemento de volume é: P FAx = P + δ x A x F = F F gx Bx Ax P Fgx = PA P + δ x A x P Fgx = δv x Fgx 1 P Ggx = = δ m ρ x ur 1 P ˆ P ˆ P ˆ 1 G P = i + j + k = P ρ x y z ρ
Na direção vertical, na condição de equilíbrio, gradiente de pressão é igual a g: 1 P ρ = g P + ρg = 0
Forças de cisalhamento - viscosidade A força tangencial ou de cisalhamento é aplicada na placa superior. Uma força de resistência (Fr) surge devido à viscosidade do fluido, na forma: ur F r = µ Au r L u 0 =velocidade da placa; A = área de contato da placa com o fluido; L = espessura da camada de fluido; µ = a viscosidade do fluido; o No fluido, a tensão de cisalhamento em uma coordenada z é: τ zx 1 τ ρ η = = zx u ρ ur F r ( z) A d = η dz r u( z) No caso da tensão de cisalhamento variar no tempo, assim como a presença de turbilhamento: considerando que df e x y z ur 2r obtém-se: F r = η v 2 2 2 2 = + + 2 2 2 r r dv = dm dt
Movimento de massas na atmosfera Considerando todos os efeitos que atuam sobre uma porção da atmosfera, pode-se agrupar em uma única equação usando a 2ª. Lei de Newton: d forças ur r F = v ur F = dt massa d r r r 1 r r v = 2ω v p + g + Fr dt ρ Equação geral do movimento.
A equação geral do movimento possui duas componentes distintas, uma referente às coordenadas espaciais e outra devido ao tempo, que podem ser separadas. Por exemplo, consideremos a temperatura de um balão que se desloca de: ( x, y, z) ( x + δ x, y + δ y, z + δ z) δ T δ T δ T δ T δ T = δ t + δ x + δ y + δ z δ t δ x δ y δ z d T δ T = lim = T + v T + v T + v T x y z dt δ t 0 δ t t x y z d T r = T + v T dt t
Exemplo: processos advectivos Transporte de calor pelo vento em uma região que possui um gradiente de temperatura.
Direção zonal v v v v 1 p ω φ ω φ η t x y z ρ x x x x x 2 + v x + v y + v z = 2 v y sen 2 v z cos + v Direção meridional v v v v 1 p t x y z ρ y y y y y 2 + v x + v y + v z = 2ω v x sen φ + η v Direção vertical v z v z v z v z 1 p + v x + v y + v z = 2ω v x cosφ + η 2 v+g t x y z ρ z
Equação da continuidade A componente vertical dos ventos é muito importante para conhecer o comportamento da atmosfera, no entanto os efeitos da força gravitacional e da força devido aos gradientes de pressão são da mesma ordem de grandeza e podem causar grandes incertezas. Um forma de resolver é através da equação da continuidade ou do transporte de massa.
O fluxo líquido de massa no sistema é ( ρv ) ( ρv y ) ( ρv ) ( ρu ) ( ρu ) ρuδ yδ z ρu + δ x δ yδ z = δ xδ yδ z x x r Considerando todas as direções e u = v iˆ + v ˆj + v kˆ x z + + = ρ x y y t ( ρu ) ( ρu ) ( ρu ) ρ + + = 0 t x y y r ρ ( ρu ) = t 0 Eq. da Continuidade x y z
1ª. Lei da Termodinâmica u = q w dq = du + dw dq = c dt + Pdα c = calor específico a V V mas Pα = RT dq = c + R dt αdp ( ) V V c = c + R c = calor específico a P P V P dq = c dt αdp P cte. cte.
Equações para o cálculo atmosférico Equação de Clausius - Clapeyon Pα = RT a 1 Lei da Termodinâmica dq = c dt αdp P Equação do equilíbrio fluidoestático P + ρg = 0 Equação da continuidade t r ρ = ( ρu ) 0 Equação Geral do Movimento d dt r r r 1 r r v = 2ω v p + g + F ρ r
Como são cinco equações diferenciais, satisfazer simultaneamente estas equações exige muitos cálculos e grandes máquinas. Em alguns casos, pode-se fazer aproximações, como análises em escala, isto é, de um espaço ou fenômeno meteorológico isolado e os valores típicos destas variáveis. Por exemplo, tomemos a seguinte equação: d dt v 2ωv senφ + 2ωv cosφ = x y z 1 ρ x p Suponha que estamos interessado em um fenômeno à latitudes médias de 45 0 e escala espacial de 1.000 km
Para estes valores, os valores característicos das demais grandezas são: Velocidade horizontal do vento: 10 m/s Velocidade vertical do vento: 0,01 m/s Extensão horizontal do fenômeno: 10 6 m Variação horizontal da pressão: 10 3 N/m 2 Tempo de duração do fenômeno: 10 5 s Densidade absoluta do ar: 1 kg/m 3 Com base nestes termos, obtemos: d dt 1 v 10 ; 2ωv sen φ 10 ; 2ωv cosφ 10 ; p 10 ρ x 4 3 6 3 x y z
Em primeira aproximação, os termos e 10-6 é desprezíveis, logo a equação se reduz a: d dt v x 2ωv senφ = y 1 ρ x p De modo análogo, para a componente meridional obtemos: d dt v y 2ωv senφ = x 1 ρ y p Os efeitos de fricção foram desprezados, pois acima de ~2 Km de extensão planetária, estes fenômenos são desprezíveis (volume muito maior que a área de contato).