LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 03 Implicações e Teoria dos Conjuntos, Conectivos Lógicos [01] Considere os seguintes predicados (x representa um número real): p : 0 x 2 1 e q : 0 x 1. (a) Determine os conjuntos A = {x x satisfaz p} e B = {x x satisfaz q}. (b) A sentença p q é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! (c) A sentença q p é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! (d) A sentença p q é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! (e) Determine os conjuntos C = {x x satisfaz p q} e D = {x x satisfaz p q}. [02] Considere os seguintes predicados (x representa um número real): p : x 2 1 e q : x 1. (a) Determine os conjuntos A = {x x satisfaz p} e B = {x x satisfaz q}. (b) A sentença p q é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! (c) A sentença q p é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! (d) A sentença p q é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! (e) Determine os conjuntos C = {x x satisfaz p q} e D = {x x satisfaz p q}. [03] Determine todos os valores de x R que satisfazem o predicado: (x 1 = x 4) ou (x 1 = x + 4). [04] Determine todos os valores de x R que satisfazem o predicado: [(x 4 < x 2) ou (x 4 > x + 1)] e [(x 4 < x + 1) ou (x 4 > x 1)]. [05] Considere o lançamento simultâneo de dois dados equilibrados, um azul (A) e outro verde (V). O espaço amostral deste experimento é o conjunto Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Para os pontos de Ω, considere que a primeira coordenada represente o resultado do lançamento do dado azul e a segunda coordenada represente o resultado do lançamento do dado verde. Escreva explicitamente cada evento indicado a seguir. 1
(a) A = face do dado azul é primo e face do dado verde é par. (b) B = face do dado azul é primo ou face do dado verde é par. [06] Dê exemplos de predicados p, q e r tais que (p q) r p (q r), isto é, dê exemplos de predicados p, q e r tais que {x x satisfaz (p q) r} = {x x satisfaz p (q r)}. [07] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p q q p. Justifique sua [08] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p q p. Justifique sua [09] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p q q. Justifique sua [10] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p p q. Justifique sua [11] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p q q p. Justifique sua [12] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p p q. Justifique sua [13] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, q p q. Justifique sua [14] Verdadeira ou falsa? Para quaisquer que sejam os predicados p e q, p q p. Justifique sua [15] Considere dois predicados p e q. Sejam A = {x x satisfaz p} e B = {x x satisfaz q}. Qual condição deve satisfazer os conjuntos A e B para que a sentença p q seja verdadeira? Justifique sua resposta [16] Uma das implicações abaixo é falsa! Qual e por quê? Ou elas são todas verdadeiras e temos uma prova de que 0 = 1? x = 0 (1) = x (x 1) = 0 (2) = x 1 = 0 (3) = x = 1. [17] Uma das implicações abaixo é falsa! Qual e por quê? Ou elas são todas verdadeiras e temos uma prova de que 2 = 1? x = 2 (1) = x (x 1) = 2 (x 1) (2) = x 2 x = 2 x 2 (3) = x 2 2 x = x 2 (4) = x (x 2) = x 2 (5) = x = 1. 2
[18] Verdadeira ou falsa? Se x R e x 2 3 x + 2 < 0, então x > 0. Justifique sua resposta! [19] Verdadeira ou falsa? Se p é um número primo e p > 2, então p + 1 não é um número primo. Justifique sua resposta! 3
Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [01] (a) A = [ 1, 1] e B = [0, 1]. (b) A sentença p q é falsa, pois A B (x = 1/2 é um contraexemplo, uma vez que x = 1/2 satisfaz a hipótese p, mas x = 1/2 não satisfaz a tese q). (c) A sentença q p é verdadeira, pois B A (todo número x que satisfaz a hipótese q também satisfaz a tese p, logo não existem contraexemplos). (d) A sentença p q é falsa, pois a implicação p q é falsa (veja o Item (b)). (e) C = A B = [ 1, 1] e D = A B = [0, 1]. [02] (a) A = [ 1, 1] e B =], 1]. (b) A sentença p q é verdadeira, pois A B (todo número x que satisfaz a hipótese p também satisfaz a tese q, logo não existem contraexemplos). (c) A sentença q p é falsa, pois B A (x = 2 é um contraexemplo, uma vez que x = 2 satisfaz a hipótese q, mas x = 2 não satisfaz a tese p). (d) A sentença p q é falsa, pois a implicação q p é falsa (veja o Item (c)). (e) C = A B =], 1] e D = A B = [ 1, 1]. [03] x R satisfaz o predicado (x 1 = x 4) ou (x 1 = x + 4) se, e somente se, x = 5/2. [04] x R satisfaz o predicado [(x 4 < x 2) ou (x 4 > x + 1)] e [(x 4 < x + 1) ou (x 4 > x 1)] se, e somente se, x < 5/2. [05] (a) A = {((2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}. (b) B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}. [07] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a sentença. [08] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a sentença. [09] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a sentença. [10] Falsa. Se p é o predicado x = 1 e q é o predicado x = 2, então x = 1 x = 1 x = 2 é uma sentença falsa (x = 1 é um contraexemplo). [11] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a sentença. [12] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a sentença. [13] Verdadeira. Dica: use teoria dos conjuntos para demonstrar a sentença. [14] Falsa. Se p é o predicado x = 1 e q é o predicado x = 2, então x = 1 x = 2 x = 2 é uma sentença falsa (x = 1 é um contraexemplo). [15] Lembramos que a sentença p q é verdadeira se, e somente se, as sentenças p q e q p são simultaneamente verdadeiras. Já sabemos que p q é verdadeira se, e somente se, A B e que q p é verdadeira se, e somente se, B A. Desta maneira, p q é verdadeira se, e somente se, A = B. [16] Apenas a implicação (2) é falsa! [17] Apenas a implicação (5) é falsa! 4
[18] Verdadeira. [19] Verdadeira. Texto composto em L A TEX2e, HJB, 04/09/2016. 5