Definição Logaritmo Sejam a R + e b R + {}. Nessas condições, define-se: Logaritmo de a na base b é o expoente x que satisfaz a igualdade b x = a.. Nomenclatura x: logaritmo log b a = x b x = a 4 Logaritmos decimais O conjunto dos logaritmos, numa dada base b, de todos os números reais positivos, é o que chamamos de Sistema de logaritmos de base b. No caso particular em que b = 0, temos o Sistema de logaritmos decimais. Os logaritmos decimais são também conhecidos como Logaritmos de Briggs em referência ao matemático inglês Henry Briggs (56-630) por ter sido o primeiro a utilizar o número 0 para a construção de tábuas de logaritmos. b: base a: logaritmando. Consequências imediatas (C) log b = 0, b R + {} (C) log b b =, b R + {} (C3) log b b n = n, b R + {}, n R (C4) b log b a = a, b R + {}, a R + (C5) log b a = log b c a = c, b R + {}, a, c R + 3 Propriedades (P) log b (x y) = log b x + log b y, b R + {}, x, y R + ( ) x (P) log b = log y b x log b y, b R + {}, x, y R + (P3) log b x n = n log b x, b R + {}, x R +, n R (P4) log n b x = n log b x, b R + {}, x R +, n R 3. Casos particulares o ) log b a = log b a, b R + {}, a R + o ) log b a = log b a, b R + {}, a R + 3 o ) log b n x = n log b a, b R + {}, a R +, n R 4 o ) log n b a = n log b x, b R + {}, a R +, n R Figura : Henry Briggs A primeira de suas tabelas apresentava os valores dos logaritmos decimais dos inteiros de a.000 (em Logarithmorum chilias prima - 67). Em Arithmetica Logarithmica (64), Briggs ampliou a tábua até.000 e acrescentou, também, os logaritmos dos números de 90.000 a 00.000. Nas duas obras os valores eram apresentados com 4 casas decimais. Por ser muito utilizado, convenciona-se não explicitar a base para os logaritmos decimais. Dessa forma, temos que: log 0 x = log x 5 Logaritmos neperianos O nome logaritmos neperianos surgiu em reconhecimento ao trabalho do matemático escocês John Napier (550-67), considerado como criador dos logaritmos, em cuja invenção trabalhou cerca de vinte anos publicando, em 64, o Mirifici Logarithmorum canonis descriptio ( Uma descrição maravilhosa dos logaritmos ) e, postumamente, em 69, o Mirifici Logarithmorum canonis constructio ( Uma construção maravilhosa dos logaritmos ).
Figura : John Napier Na primeira obra, Napier descreveu o sistema de logaritmos e algumas aplicações; na segunda, fez exposição dos métodos utilizados para construir suas tabelas. Historicamente, é importante citar que Napier não tinha o conceito de base. Mas, interpretando sua obra em conceitos e palavras atuais, se dividirmos os números de suas tabelas por 0 7, temos uma tábua de logaritmos cuja base é o número (0, 9999999) 07, que, com aproximação de sete casas decimais, é igual a e, onde e = 0! +! +! + 3! + 4! +... =, 7888 e é conhecida como constante de Napier. 6 Mudança de base Dados a R + e b, c R + {}, temos que: log b a = log c a log c b 7 Função Logaritmo 7. Definição Dado b R + {}, define-se a função logaritmo por 7. Gráfico Uma vez que f : R + R x f(x) = log b x f(b x ) = log b b x = x log b b = podemos concluir que a função logaritmo é a função inversa da função exponencial. Logo, o gráfico da função logaritmo é: a questão: Calcule os logaritmos: (a) log 56 (b) log 7 (c) log 5 49 5 8 6 8 (d) log 3 (e) log 0000 (f) log 56 8 (g) log 8 7 6 8 (h) log 5 00 (i) log 0,5 0, 5 a questão: Calcule os logaritmos a seguir sabendo que log 3 = 0, 63. (a) log 3 8 (b) log 3 6 (c) log 3 3 4 3 a questão: Determine o valor das incógnitas a, b e c em: (a) log a = (b) log 5 5 b = b + (c) c log 9 3 = c + 4 a questão: Calcule o valor de 5 7 usando os valores apresentados na tabela: x log x 7,00 0,85,48 0,7
5 a questão: Em notação científica, um número é escrito na forma p 0 q, sendo p um número real tal que p < 0 e q um número inteiro. Considerando log = 0, 3, o número 55, escrito em notação científica, terá p igual a: (A) 0 (C) (E), (B) 3 (D), 6 a questão: Se x = log 3, então 9 x + 8 x é igual a: (A) (C) 8 (E) 48 (B) 0 (D) 36 7 a questão: Chama-se cologaritmo de a na base b, com {a, b} R + e b, o número log b a, isto é, colog b a = log b a. Calcule os cologaritmos: (a) colog 3 9 (b) colog 5 5 (c) colog 6 8 8 a questão: As indicações R e R, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R R @ = log N, em que N mede a razão entre as energias liberadas pelos dois terremotos, sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Supondo que houve um terremoto correspondente a R = 8 e outro correspondente a R = 5, então N é igual a: (A) log 8 5 (C) log 3 0 (E) 0 3 (B) 8 5 (D) 3 9 a questão: Sabendo que log 6 =, 34 e log 6 = 0, 37, calcule: (a) log 6 (b) log 6 (c) log 6 5, 5 (d) log (e) log (f) log 6 6 0 a questão: Sabendo que log 5 = 0, 69 e log 3 = 0, 48, calcule log 6. a questão: Determine x tal que x = log 7 5 log 5 7. a questão: Dado 5 a = 3, tem-se que log 3 75 é igual a: (A) + a (B) a a a a (C) a + a (D) + a (E) + a a 3 a questão: A expectativa de vida, em ano em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 900 no ano x(x 900), é dada por L(x) = (99 log x 65) Considerando log = 0, 3, uma pessoa dessa região que nasceu no ano 000 tem expectativa de viver: (A) 48,7 anos (C) 64,5 anos (E) 7,3 anos (B) 54,6 anos (D) 68,4 anos 4 a questão: Uma cultura de microorganismos, que cresce 0% por hora, apresentava 00.000 indivíduos no início de um estudo. Adotando log = 0, 30 e log 3 = 0, 48, calcule o tempo necessário, a partir do início desse estudo, para que a cultura atinja 300.000 indivíduos. 5 a questão: Ao perceber uma mancha de óleo no mar, o capitão de um navio petroleiro comunicou imediatamente à Capitania dos Portos sobre um vazamento em seu navio. Algum tempo depois, os técnicos da Defesa Ambiental constataram que a mancha de óleo cobria km da superfície do mar e crescia % por hora; concluíram também que, no momento do comunicado à Capitania dos Portos, a área da mancha de óleo era 0 km. Supondo que a taxa de crescimento tenha sido constante até o momento da medição, quanto tempo decorreu desde o momento do comunicado à Capitania dos Portos até a conclusão da medição da área da mancha de óleo? (Use os valores da tabela abaixo.) x log x 0,30 3 0,48 7,3 6 a questão: Adotando as aproximações ln = 0, 6 e ln 3 =,, calcule: (a) ln 6 (b) ln, 5 (c) ln (d) log 6 e 7 a questão: A desintegração nuclear é regida pela equação exponencial N = N 0 e λt, em que λ é uma constante, N 0 é a quantidade inicial e N é a quantidade após um tempo t. A equação que fornece o tempo, em qualquer instante, é: (A) t = λ(n N 0 ) ln e (C) t = N N 0e ) λ ( N (B) t = N 0e ( ) (D) t = λ ln N N 0 8 a questão: Se a água de um reservatório evapora-se à taxa de 5% ao mês, em quantos meses ficará reduzida à terça parte? (Dados: ln 3 =, 0; ln(0, 85) = 0, 6) 9 a questão: Determine o domínio das funções: (a) f(x) = log 7 (5x 6) (b) g(x) = log (x 5x + 6) (c) u(x) = log x (4 x ) (d) t(x) = log 5 x 6 x (e) h(x) = log 3 (9 x ) + log 6 (3 x) 0 a questão: Um capital de R$.000,00 foi aplicado em regime de juro composto à taxa de 0% ao ano. (a) Escreva a lei que expressa o montante f(x) em função do tempo x de aplicação. (b) Indique a lei que expressa o tempo g(x) em função do montante x acumulado pela aplicação. a questão: (FUVEST) Se x é um número real, x > e log (x ) log 4 x =, então o valor de x é:
(A) 4 3 (C) + 3 (E) + 4 3 (B) 4 3 (D) 4 + 3 a questão: (VUNESP) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 0 anos, são dadas respectivamente pelas funções: altura: H(t) = + (0, 8) log (t + ) diâmetro do tronco: D(t) = (0, ) t 7 com H(t) e D(t) em metro e t em ano. (a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metro, e do diâmetro do tronco, em centímetro, das árvores no momento em que são plantadas. (b) A altura de uma árvore é 3,4 metros. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetro. 3 a questão: Um investidor aplicou, durante o mesmo tempo, 3 mil reais em um fundo A e 6 mil reais em um fundo B. As taxas mensais de juro composto dos fundos A e B foram % e % respectivamente. Sabendo que log,0, 0 =, concluise que os montantes M A e M B acumulados pelas aplicações A e B, respectivamente, são tais que: (A) M A = 6M B (C) M A = 6 4 M B (E) M A = 4 3 M B (B) M A = 4M B (D) M A = 8 M B 4 a questão: O ph de uma solução é definido por ph = log ( ) H, em que + H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. o ph de uma solução tal que H + =, 0 0 8 é (A) 0 7 (C), 0 (E) 0 (B) 0 8 (D) 8 5 a questão: Um economista estimou que, desconsiderando a inflação, o salário mínimo S, em real, de uma região, depende do número n de contribuintes para a Previdência Social; esse número n depende do tempo t, em década. As equações que descrevem essas dependências são: S = 80 + n 0.000 e n = 00.000 t (a) Daqui a quatro décadas, qual será o salário mínimo nessa região segundo essa estimativa? (b) Daqui a quantas décadas o salário mínimo nessa região será igual a R$ 600,00? (c) Daqui a quantas décadas o salário mínimo nessa região será de R$ 880,00? (Indique o resultado na forma de logaritmo) 6 a questão: (UFRN) Na década de 930, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos conhecida hoje em dia por escala Richter, para quantificar a energia, em Joule, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log E =, 44 +, 5 M Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 960, que atingiu 9.0 (valor aproximado) na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos Estados Unidos, em 906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente: (A) 0 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos Estados Unidos. (B) 5 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos Estados Unidos. (C) vezes maior que a energia liberada no terremoto dos Estados Unidos. (D) 3 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos Estados Unidos. 7 a questão: (FUVEST) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8, 9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I = 3 log ( E E 0 ) em que E é a energia liberada no terremoto em quilowatthora e E 0 = 7 0 3 kw h. (a) Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? (b) Aumentando em uma unidade a intensidade de um terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? 8 a questão: (UFRN) A escala decibel de som é definida pela seguinte expressão: ( ) I B = 0 log Nessa expressão, B é o nível do som, em decibel (db), de um ruído de intensidade física I e I 0 é a intensidade de referência associada ao som mais fraco percebido pelo ouvido humano. Som Nível do som (db) Som mínimo 0 Raspagem de folhas 0 Sussurro 0 Conversação normal 60 Banda de rock 80 Orquestra 90 Máximo Suportável 0 De acordo com a expressão dada e a tabela acima, pode-se concluir que a intensidade do som de uma orquestra é: (A).000 vezes a intensidade de uma conversação normal. (B) 00 vezes a intensidade de uma conversação normal. (C) 00 vezes a intensidade de uma conversação normal. (D).000 vezes a intensidade de uma conversação normal. 9 a questão: (CEFET-SP) Em um piano bem afinado, a frequência de cada nota é vezes a frequência da nota imediatamente abaixo dela. Adotando-se log = 0, 3 e utilizandose algum dado da tabela, é correto dizer que o aumento percentual da frequência entre duas notas consecutivas de um piano afinado é: I 0
(A),% (C) 5,9% (E) 5,0% x log x,05 0,0,059 0,05 (B),5% (D),0% 30 a questão: (VUNESP) Os átomos de um elemento químico radioativo têm a tendência natural de se desintegrar (emitindo partículas e transformando-se em outro elemento). Assim, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo, com inicialmente m 0 gramas de massa, decomponha-se conforme a equação matemática m(t) = m 0 0 t 70, em que m(t) é a quantidade de massa radioativa restante no tempo t (em ano). Usando a aproximação log = 0, 3, determine: (a) log 8 (b) quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 3 a questão: (UFPB) Sabe-se que a pressão atmosférica varia com a altitude do lugar. Em Fortaleza, ao nível do mar, a pressão é 760 milímetros de mercúrio (760 mmhg). Em São Paulo, a 80 metros de altitude, ela cai um pouco. Já em La Paz, capital da Bolívia, a 3.600 metros de altitude, a pressão cai para, aproximadamente, 500 mmhg. Nessa cidade, o ar é mais rarefeito do que em São Paulo, ou seja, a quantidade de oxigênio no ar, em La Paz, é menor do que em São Paulo. Adaptado de: www.searadaciencia.ufc.br Esses dados podem ser obtidos pela equação ( ) 760 h = 8.400 log, P que relaciona a pressão atmosférica P, dada em mmhg, com a altura h, em metro, em relação ao nível do mar. Com base na equação, considere as seguintes afirmações: I. Quando h =.840 m, a pressão será P = 76 mmhg. II. Quando P = 7, 6 mmhg, a altura será h = 36.800 m. III. A pressão P é dada em função da altura h pela expressão P = 760 0 h 8.400. De acordo com as informações dadas, está(ão) correta(s) apenas: (A) I (C) III (E) II e III (B) II (D) I e II 3 a questão: (UFPB) Sabendo-se que, neste século, o número h de habitantes de determinada cidade, no ano x, é estimado pela função h(x) = 5.000 + log ( x.000 0 ).000, pode-se afirmar que o número estimado de habitantes dessa cidade, no ano de 030, estará entre: (A) 4.000 e 5.000 (C) 6.000 e 7.000 (E) 8.000 e 9.000 (B) 5.000 e 6.000 (D) 7.000 e 8.000 33 a questão: O cientista Arthur Eddington afirmou que o número de prótons no universo é 36 56. Usando as aproximações log = 0, 30 e log 7 =, 3, assinale a alternativa com a potência de dez mais próxima do número estimado por Eddington. (A) 0 60 (C) 0 80 (E) 0 95 (B) 0 70 (D) 0 90 34 a questão: (UNIUBE) A expectativa de lucro de uma pequena empresa é expressa pela lei L(t) =.000 (, 5) t, sendo L(t) o lucro após t meses. Considerando log 4 = 0, 60 e log, 5 = 0, 097, pode-se afirmar que o lucro atingirá R$ 8.000,00, no decorrer do: (A) 0 o mês (C) 5 o mês (E) 3 o mês (B) 7 o mês (D) 4 o mês 35 a questão: (FGV) Admita que a oferta (S) e a demanda (D) de uma mercadoria sejam dadas em função de x pelas funções S(x) = 4 x + x+ e D(x) = x + 40. Nessas condições, a oferta será igual à demanda para x igual a: (A) (B) log 3 log log log + log 3 (C) (D) log log (E) log 3 log log 36 a questão: (UERJ) Um fabricante de equipamentos de informática anuncia um disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual da computação, essa medida corresponde a p 30 bytes. Calcule o valor de p considerando a tabela de logaritmos a seguir e que gigabyte equivale a 0 9 bytes. x log x,0 0,30, 0,34,4 0,380,6 0,45,8 0,447 3,0 0,477 37 a questão: (PUC/SP) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 0 vezes o inicial? (Use log = 0, 3.) (A) ano e 8 meses (C) anos e 6 meses (E) 3 anos e 4 meses (B) anos e 3 meses (D) 3 anos e meses 38 a questão: (UCS) Um explorador descobriu na selva amazônica uma nova espécie de planta. Pesquisando-a durante anos, comprovou que seu crescimento médio variava de acordo
com a fórmula A = 40 (, ) t, em que a altura média A é medida em centímetro e o tempo t em ano. Verificou também que seu crescimento estacionava, após os 0 anos, abaixo dos 3 metros. Sabendo que log = 0, 30 e log =, 04, então a idade, em ano, na qual a planta tem altura média de,6 metros é igual a: (A) 5 anos (C) 9 anos (B) 0 anos (D) 5 anos 39 a questão: (UFMT) Para determinada espécie de roedores, com população inicial de.000 indivíduos e uma taxa constante de crescimento de 0% ao mês, se P (t) é o número de roedores após t meses, então: P (t) =.000 (, ) t. Nessas condições, em quantos meses a população de roedores atingirá.000 indivíduos? (Dado: log =, 04.) 40 a questão: (UFES) Um pesquisador constata que, em um dado instante, existem 400 tartarugas da espécie A e 00 tartarugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reserva, a população de tartarugas da espécie A diminui à taxa de 0% ao ano, enquanto a população da espécie B aumenta à taxa de 0%, também ao ano. Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo é necessário, a partir desses instante, para que as populações sejam iguais. (Considere: log =, 04; log = 0, 30.) 4 a questão: (UFPB) A equação de desintegração de determinada partícula radioativa é dada por P = P 0 e rt. Essa partícula se desintegra à taxa anual de r = 0%. Em quantos anos (t), 50 mg (P 0 ) dessa partícula se reduzirão em 5 mg? (Dado: ln 0 =, 3) (A) 3 (C) 9 (E) 7 (B) 3 (D) 9 4 a questão: Em certo país com população A (em milhão de habitantes), é noticiada pela TV a implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número f(t) de pessoas que já sabiam da notícia após t horas de sua divulgação, t 0, é dado por: f(t) = A + 4e At 40 Sabe-se também que, decorrida hora da divulgação do plano, 50% da população já estava ciente da notícia. (a) Que porcentagem da população tomou conhecimento do plano no instante em que ele foi noticiado? (b) Qual é a população desse país? (Adote ln = 0, 69.) 43 a questão: (UENF) Um grupo de 0 ovelhas é libertado para reprodução numa área de preservação ambiental. Submetidas a um tratamento especial, o número N de ovelhas existentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fórmula: N = 0 + 0 (0, 8) t. Admita que a população de ovelhas seja capaz de se manter estável, sem esse tratamento especial, depois de atingido o número de 88 ovelhas. (a) Calcule o número de ovelhas existentes após 6 meses. (b) Considerando ln = 0, 7, ln 3 =, e ln 5 =, 6, calcule a partir de quantos anos não haverá mais a necessidade de tratamento especial de rebanho. 44 a questão: (UFF) Após acionado o flash de uma câmera fotográfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em coulomb) dada por: Q = Q(t) = Q 0 ( e λt ) Sendo: e o número de Neper; Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, medido em segundo; Q 0 a carga máxima; e λ uma constante. Considerando λ = e ln 0 =, 3, determine: (a) a expressão de t em função de Q; (b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima. 45 a questão: (PUC/SP) A energia nuclear derivada de isótopos radioativos pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial P = P 0 e t 50, na qual P é a potência instantânea, em watt, de radioisótopos de um veículo espacial; P 0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dia, a partir de t 0 = 0; e é um número irracional que vale aproximadamente,7. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: ln = 0, 693) (A) 336 (C) 340 (E) 346 (B) 338 (D) 34 46 a questão: (VUNESP) A temperatura média na Terra começou a ser medida por volta de 870, e em 880 já apareceu uma diferença: estava 0, 0 C (grau Celsius) acima daquela registrada em 870 (0 anos antes). A função f(x) = (0, 0) 0,05x, com t(x) em C e x em ano, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média na Terra (em relação àquela registrada em 870) no ano (880 + x), x 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média na Terra terá aumentado 3 C. (Use as aproximações: log 3 =, 6; log 5 =, 3.)
47 a questão: (VUNESP) Em uma experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), coloca-se num recipiente certa quantidade de água do mar e expõe-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evapora. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litro) é dada pela expressão: ( ) 0 k Q(t) = log t + sendo k uma constante positiva e t em hora. (a) Sabendo que havia inicialmente litro de água no recipiente, determine a constante k. (b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? 48 a questão: (UFRN) Suponha que, numa colônia de fungos, a massa biológica de sua população, no instante t (hora), denotada por m(t), seja dada pela expressão: m(t) = t gramas (Considere log = 0, 3) 0 De acordo com o ritmo de crescimento populacional estabelecido por essa expressão, a massa da população de fungos, em 50 horas, é da ordem de: (A) 00 g (C) 0.000 g (B) 0 g (D).000 g 49 a questão: (UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhar de habitantes pelas funções: A(t) = log 4 ( + t) 5 e B(t) = log (t + 4), nas quais a variável t representa o tempo em ano. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a: (A) 6 (C) 0 (E) 4 (B) 8 (D) 50 a questão: (UFF) A energia potencial elástica (E) e a variação no comprimento ( l) de certa mola estão associadas conforme a tabela: y = log E 4 6 x = log( l) Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida pela equação ( ) K y = nx + log, sendo K a constante elástica da mola e n uma constante. Determine: (a) os valores das constantes K e n; (b) o valor de E para l = 3. a questão: (a) 8 (b) GABARITO (c) 3 (d) 4 (e) 4 (f) 7 8 (g) 4 3 (h) 5 (i) 3 a questão: (a),89 (b), 5 (c) 0,4 3 a questão: (a) a = 4 (b) b = (c) c = 3 4 a questão:,48 5 a questão: A 6 a questão: B 7 a questão: (a) (b) 3 (c) 3 4 8 a questão: E 9 a questão: (a),7 (b) 0, 97 (c) 0,97 (d) = 3, 6 (e) = 0, 8 (f),48 0 a questão: 0,79 a questão: x = a questão: A 3 a questão: D 4 a questão: 6 horas 5 a questão: 8 horas 6 a questão: (a),7 (b) 0,5 (c),5 (d) = 0, 59 7 a questão: D 8 a questão: 6,875 meses ou = 7 meses 9 a questão:
(a) D(f) = { x R } x > 6 5 (b) D(f) = {x R x < ou x > 3} (c) D(f) = { x R < x < e x 3 (d) D(f) = {x R x < ou x > 3} (e) D(f) = {x R 3 < x < 3} 0 a questão: (a) f(x) =.000 (, ) x (b) g(x) = log, a questão: D a questão: x.000 (a) A altura e o diâmetro medem m e 0 cm, respectivamente. (b) 0 cm 3 a questão: D 4 a questão: D 5 a questão: (a) R$ 440,00 (b) 5 décadas (c) log 60 décadas 6 a questão: D 7 a questão: (a) 7 0 9 kwh (b) 0 3 = 3, 6 8 a questão: A 9 a questão: C 30 a questão: (a) 0,9 (b) 63 3 a questão: E 3 a questão: C 33 a questão: C 34 a questão: B 35 a questão: D 36 a questão: p = 0,447 37 a questão: E 38 a questão: A 39 a questão: 6 40 a questão: =, 4 anos 4 a questão: B 4 a questão: (a) 0% (b) 55, milhões de habitantes 43 a questão: (a) 57 (b) 9,5 44 a questão: ) (a) t = ln ( QQ0 } (b) 4,6 segundos 45 a questão: E 46 a questão:.044 47 a questão: (a) k = (b) 9 horas 48 a questão: C 49 a questão: E 50 a questão: (a) K = 00 e n = (b) 900