Problemas de Matemática do 2o. Grau Como Resolvê-los Passo à Passo - Lista 4 Problemas envolvendo fatorização de polinômios 1 Veremos no presente texto como resolver a fatorização de polinômios através de alguns exemplos, passo a passo, e em ordem crescente de dificuldade. A referência utilizada é Solving Problems in Algebra and Trigonometry, de Litvinenko e Mordkovich, originalmente da Editora Mir (Moscou), reproduzida pela Editora Vestseller. O presente material não substitui o seu livro-texto utilizado na escola, e serve apenas como complementação aos estudos. Aqui veremos apenas alguns casos, e apresentaremos outros numa próxima lista. I. Casos do tipo: f(x) = ax 2 ± bx ± c Ia. Caso a = 1: O método mais direto neste caso consiste em satisfazer a seguinte regra: Descubra dois números, α e β, tais que, somados entre si dão b e multiplicados entre si dão c. A fatorização do polinômio será então: f(x) = (x + α)(x + β). Exemplo: Fatorize f(x) = x 2 4x 5. Solução: A regra é encontrar α e β, tais que: { α + β = 4 α β = 5 Por inspeção direta, vemos que α = 1 e β = 5 satisfazem as condições acima. Portanto, a resposta é: f(x) = (x + 1)(x 5). 1 O post associado a este documento se encontra no blog http://matematicareplay.wordpress.com, na categoria de Problemas de Matemática do Ensino Médio (2o. Grau). 1
Ib. Caso a 1: Se x 1 e x 2 são as raízes de f(x), então f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). As raízes de f(x) são os valores de x que tornam f(x) = 0. Estas raízes, para o polinômio de segundo grau, podem ser obtidas através da Fórmula de Bhaskara: x = b ± b 2 4ac. 2a Cuidado! Nem sempre um polinômio é fatorizável no campo dos números reais. Por exemplo, f(x) = x 2 + 6x + 10 é irredutível. No entanto, note que podemos encontrar as raízes deste polinômio através da Fórmula de Bhaskara. Assim: x 2 + 6x + 10 = 0 x = 6 ± 6 2 4 1 10 2 1 = 6 ± 4 2 = 6 ± 1 4 2 = 3 ± i. Ou seja, as raízes x 1 = 3 + i e x 2 = 3 i são números complexos. Ora, como estas raízes fornecem os valores tais que o polinômio é zero, então o mesmo poderia ser escrito como f(x) = x 2 + 6x + 10 = (x x 1 )(x x 2 ) = (x + 3 i)(x + 3 + i). Pois se x = x 1 ou x = x 2, então f(x) = 0, logo f(x) pode ser escrito assim. Prove que de fato esta fatorização está correta fazendo a multiplicação de (x + 3 i) por (x + 3 + i). No entanto, esta fatorização somente vale se admitirmos que x pertence aos números complexos! Nota: Obviamente, o caso a = 1 também pode ser resolvido por este método. Mostre isto explicitamente usando a fórmula de Bhaskara para o exemplo do caso a = 1. Exercícios: 1. Fatorize os polinômios abaixo: a. f(x) = x 2 8x 9. b. f(x) = x 2 + 3x + 2. c. f(x) = x 2 7x + 6. d. f(x) = 2x 2 5x + 2. 2
II. Casos do tipo: f(a, b) = ax 3 + bx 2 + cx + d Às vezes é possível agrupar os termos e achar um fator comum para colocar em evidência. Exemplo: Fatorize f(x) = x 3 5x 2 x + 5. Solução: f(x) = (x 3 5x 2 ) (x 5) = x 2 (x 5) (x 5) = (x 5)(x 2 1). Às vezes, é necessário um pouco mais de reflexão para que você encontre um termo que possa ficar em comum para colocar em evidência. Ou seja, você terá que fabricar este termo, como no seguinte exemplo: Exemplo: Fatorize f(x) = x 3 7x 2 + 7x + 15. Solução: Comece de trás para frente, pensando em pares de termos separadamente. Você deve pensar em como transformar 7x + 15 em um termo que tenha um número divisor de 15, e que possar representar 7x em termos deste divisor. No caso, tomemos o divisor como 5, e assim, 7x = 12x 5x. Desta forma: 7x + 15 = 12x 5x + 15 = 12x 5(x 3). Tentemos então colocar os outros termos na forma (x 3), que será o nosso termo em comum. Por enquanto, temos: f(x) = x 3 7x 2 + 12x 5(x 3). Estudemos então 7x 2 + 12x. Para que tenhamos mais uma vez um termo (x 3), devemos tomar 7x 2 = 3x 2 4x 2, pois assim adquirimos o termo 4x 2, que combinado ao 12x que sobrou do último procedimento resulta em: 7x 2 + 12x = 3x 2 4x 2 + 12x = 3x 2 4x(x 3). Aí está mais uma vez a forma (x 3) desejada. Assim o polinômio fica: f(x) = x 3 3x 2 4x(x 3) 5(x 3). Agora, falta o par x 3 3x 2, mas é fácil, pois x 3 3x 2 = x 2 (x 3). Assim, resulta: f(x) = x 2 (x 3) 4x(x 3) 5(x 3) = (x 3)(x 2 4x 5). Ainda não terminou, pois o termo (x 2 4x 5) ainda pode ser fatorizado pelo primeiro método. Você pode mostrar que o resultado final é: f(x) = (x 3)(x + 1)(x 5). 3
Exercícios: 2. Fatorize os polinômios abaixo: a. f(x) = x 3 9x 2 x + 9 b. f(x) = x 3 + 3x 2 + x 3 c. f(x) = x 3 + 8x 2 + 10x + 21 III. Casos do tipo: f(a, b) = a 2 + 2a 3 b + 2ab 3 + b 2 Agrupe os termos da seguinte forma: f(a, b) = (a 2 + b 2 ) + (2a 3 b + 2ab 3 ) = (a 2 + b 2 ) + 2ab(a 2 + b 2 ) = (a 2 + b 2 )(1 + 2ab). Note que o último passo resulta de colocar o termo em comum, (a 2 + b 2 ), em evidência. Note também que este método pode ser usado em polinômios de maior ordem, desde que você consiga uma maneira similar de agrupar os termos. Exemplo: Fatorize f(a, b) = a 3 3a 4 b 3ab 4 + b 3. Solução: f(a, b) = a 3 + b 3 3a 4 b 3ab 4 = (a 3 + b 3 ) 3ab(a 3 + b 3 ) = (a 3 + b 3 )(1 3ab). Exercícios: 3. Fatorize os polinômios abaixo: a. f(a, b) = a 2 + 5a 3 b + 5ab 3 + b 2. b. f(a, b) = a 4 2a 5 b 2ab 5 + b 4. c. f(a, b) = 3a 2 + 6a 3 b + 6ab 3 + 3b 2. 4
Respostas: 1a. f(x) = (x + 1)(x 9) 1b. f(x) = (x + 1)(x + 2) 1c. f(x) = (x 1)(x 6) 1d. f(x) = (x 2)(2x 1) 2a. f(x) = (x 9)(x 2 1) 2b. f(x) = (3 x)(x 2 1) 2c. f(x) = x 3 + (7x 2 + 1x 2 ) + (7x + 3x) + 21 = x 2 (x + 7) + x(x + 7) + 3(x + 7) = (x + 7)(x 2 + x + 3) 3a. f(a, b) = (a 2 + b 2 )(1 + 5ab). 3b. f(a, b) = (a 4 + b 4 )(1 2ab). 3c. f(a, b) = 3(a 2 + b 2 )(1 + 2ab). 5
c 2009 Christine Córdula Dantas Copyright notice: Christine Córdula Dantas is the author of Problemas de Matemática do 2o. Grau - Como Resolvê-los Passo à Passo - Lista 4 and reserves all rights to this work, in all forms, including but not limited to all printed and electronic forms. You have permission to copy this material for your personal use only. You may not distribute or commercially exploit the content. Nor may you transmit it or store it in any other website or other form of electronic retrieval system. All efforts were given to give the proper source, credits and licence information for this document. In case of errors or omissions, please contact the author. Corrections, Suggestions and Acknowledgements: Earlier drafts of this work were made available over the web. All efforts were made in order to release this material as free of errors as possible. Corrections and suggestions are very welcomed and will be here acknowledged in future versions. Author s Affiliation and Contact Information: Materials Division (AMR-C) Institute of Aeronautics and Space (IAE) Department of Science and Aerospace Technology (DCTA) Pça. Mal. Eduardo Gomes, 50 Vila das Acácias São José dos Campos - SP CEP 12.228-904 Brazil E-mails: ccdantas@iae.cta.br; christinedantas@yahoo.com Typesetting: This material was typeset using L A TEX 2ε. 6