UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL MARCÍLIO MIRANDA DE CARVALHO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL MARCÍLIO MIRANDA DE CARVALHO RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS USANDO TRIGONOMÉTRIA JUAZEIRO-BA 13

MARCILIO MIRANDA DE CARVALHO RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS USANDO TRIGONOMÉTRIA Dissertação apresentada à coordenação do mestrado profissional em matemática em rede nacional como parte dos requisitos para a obtenção do título de mestre em matemática. Orientador: Severino Cirino de Lima. JUAZEIRO - BA 13

Miranda, Marcilio. M67r Resolução de problemas de olimpíadas usando trigonometria / Marcilio Miranda de Carvalho. -- Juazeiro, 13 vii; 53f.: il. 9 cm Dissertação (Mestrado profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT) Universidade Federal do Vale do São Francisco, Campus Juazeiro-BA, 13. Orientador (a): Prof.(a) Dr.Severino Cirino de Lima Neto. 1. Trigonometria - resolução de problemas. 3. Olimpíadas de Matemática. I. Título. II. Lima Neto, Severino Cirino de. III Universidade Federal do Vale do São Francisco. CDD 516.4

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL FOLHA DE APROVAÇÃO Marcilio Miranda de Carvalho RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS USANDO TRIGONOMÉTRIA Dissertação apresentada à coordenação do mestrado profissional em matemática em rede nacional como parte dos requisitos para a obtenção do título de mestre em matemática. Juazeiro, de 13

AGRADECIMENTOS À agência de fomento à pesquisa Capes, pelo apoio financeiro. À SBM pela brilhante ideia de criar o PROFMAT Ao meu orientador Severino Cirino de Lima Neto; Ao professor Marcílio Rangel do Instituto Dom Barreto, um grande incentivador da educação no estado do Piauí; Ao professor João Xavier da Cruz Neto, que foi meu orientador na graduação da UFPI; Ao professor João Benicio de Melo Neto, uma grande contribuição na minha educação; Ao professor Jurandir de Oliveira Lopes Xavier, que foi meu orientador na especialização da UFPI.

Resumo da Dissertação apresentada à PROFMAT/UNIVASF como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS USANDO TRIGONOMÉTRIA MARCILIO MIRANDA DE CARVALHO Juazeiro-Ba, Julho, 13. RESUMO O trabalho consiste em mostrar uma técnica para transformar uma equação trigonométrica em um polinômio e vice-versa, assim como a utilização da solução de um dado problema como ferramenta para encontrar a solução de outro problema. A metodologia faz uso das relações de Girard, foi feita aplicação desta técnica em problemas de olimpíadas de matemática de vários países, a mesma, caracteriza-se por reduzir a quantidade de cálculos em muitos problemas, foi usada também para provar a irracionalidade de um numero, encontrar funções trigonométricas de ângulos não notáveis e também mostra uma relação interessante entre polinômios e trigonometria. Palavras chave: Olimpíadas, trigonometria, Polinômios.

Abstract da dissertação apresentada à PROFMAT/UNIVASF como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS USANDO TRIGONOMÉTRIA MARCILIO MIRANDA DE CARVALHO Juazeiro-Ba, Julho, 13 ABSTRACT The work consists in show a technique for transform na trigonometric equation in polynomial and vice versa, as well as the utilization of the solution of a given problem as tool for find the solution of another problem. The methodology does use of the relations oh Girard, was made application of this technique in mathematics Olympiads of several countries, to same, caracterizes-itself by reduce the quantity in many problems, was used also for to prove the irrationality of a number, find trigonometric funcions of not notable angless and also shows na interesting relation between polynomials and trigonometry. Keywords: Olympiads, trigonometry, polynomials.

ÍNDICE DE FIGURAS Figura,1 Representação da função cosseno no ciclo trigonométrico... 15 Figura. Gráfico da função cosseno... 16 Figura.3 Representação da função seno no ciclo trigonométrico... 16 Figura.4 Gráfico da função seno... 17 Figura.5 Representação da função tangente no ciclo trigonométrico... 18 Figura.6 Gráfico da função tangente... 18

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 15.1 A FUNÇÃO COSSENO... 15.. A FUNÇÃO SENO... 16.3 FUNÇÃO TANGENTE... 17.4 PRINCIPAIS RESULTADOS A SEREM UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS... 19 3 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E POLINÔMIOS... 4 CONCLUSÃO... 49 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 5

1 CAPÍTULO I 1 INTRODUÇÃO A ideia de trabalhar com o tema da Resolução de Problemas surgiu a partir da atuação, em sala de aula, do ensino médio, lecionando disciplinas de Matemática. Desde 1 até hoje, como professor tenho visto a grande dificuldade dos alunos em resolver problemas de Matemática. Durante os 1 anos, em sala de aula percebi que a maioria dos alunos simplesmente decoram os problemas e apenas reproduzem a ideia na prova. Quando, nas avaliações, colocamos o mesmo problema com pequenas variações, a grande maioria dos alunos não consegue resolver. Resolver problemas sempre foi um desafio para alunos e professores, na maioria das vezes com métodos que enfatizam a repetição e a mecanização da resolução de problemas. Embora as reformas de ensino propostas, no século XX: o ensino de matemática por repetição, o ensino de matemática com compreensão, a Matemática Moderna e a Resolução de Problemas tenham proposto novos rumos de trabalho mais produtivos, o Professor nunca foi chamado a participar delas mostrando-se, na hora da aplicação, não preparado para empregá-las. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais: Em 198, o National Council of Teachers of Mathematics NCTM, dos Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática no documento Agenda para Ação. Nele destacavase a Resolução de Problemas como foco do ensino da Matemática nos anos 8 (1997, p.). Ainda de acordo, Idem, Ibidem: A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das

11 conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos (1997, p.19). Nota-se, em sala de aula, que a grande maioria de nossos alunos não sabe nem como começar a resolução de um problema, até porque muitos de nossos professores não dão ênfase ao ensino do método de Resolução dos Problemas. Assim, Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estão relacionados ao processo de formação do magistério, tanto em relação à formação inicial como à formação continuada. Decorrentes dos problemas da formação de professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são muitas vezes de qualidade insatisfatória. A implantação de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma formação profissional qualificada, na existência de concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas às condições de trabalho (Idem, Ibidem, 1997, p.). Um dos principais deveres do professor é o de auxiliar seus alunos na resolução de problemas. Deve-se ensinar problemas - chave que, se bem compreendidos, podem servir na resolução de outros problemas. O professor também não pode fazer tudo pelo aluno, pois assim este se tornará totalmente dependente do professor. É mais apropriado dar a base para que o aluno caminhe sozinho, tentando este usar as ideias dos problemas que conhece para resolver outros problemas. O bom aluno cria o seu próprio banco de questões e procedimentos metodológicos para cada assunto que julga importante e quando vir o problema em tal assunto, usa o método de resolução que ele viu em outro problema ou faz pequenas variações desse método. As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado (Idem, Ibidem, 1997, p.9).

1 Os PCN não tratam diretamente sobre o assunto polinômios, mas fala implicitamente sobre isso quando trata de conceitos e procedimentos: Construção de procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando aspectos conhecidos. Obtenção de expressões equivalentes a uma expressão algébrica por meio de fatorações e simplificações (Idem, Ibidem, 1997, p.88). Pretende-se, com este trabalho, mostrar vários problemas de olimpíadas, onde se usa exatamente esta técnica, isto é, fazer simplificações e fatorações a fim de obter expressões semelhantes, usando técnicas já conhecidas. Durante o período de 1 anos no magistério, notei que alunos e até mesmo professores de Matemática do Ensino Médio tratam os assuntos de matemática desse nível de ensino de forma isolada. De acordo, Idem, Ibidem: O estabelecimento de relações é tão importante quanto a exploração dos conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada, os conteúdos podem acabar representando muito pouco para a formação do aluno, particularmente para a formação da cidadania (1997,p.9). Neste trabalho, mostra-se como relacionar dois assuntos de Matemática do Ensino Médio Polinômios e Trigonometria, de uma forma que, raramente, é abordada nos livros-textos e apresentam-se técnicas interessantes de resolução de problemas. Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) um destaque para o estudo da Trigonometria, no qual é enfatizado o potencial desta no que tange ao desenvolvimento de habilidades e competências. Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações [...] (Idem, Ibidem, ). Encontramos ainda nos PCN s recomendações de que o estudo das funções trigonométricas deve ser ligado, de alguma forma, ao estudo das funções.

13 Nas olimpíadas de Matemática são muito comuns problemas que abordam vários assuntos de forma interligada, e por isso, justifica-se a escolha de problemas de olimpíadas de Matemática para fazer o nosso trabalho. A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) organizou, em 1979, a primeira Olimpíada Brasileira de Matemática e, de lá para cá, as olimpíadas se espalharam por vários estados brasileiros e, hoje em dia, temos muitas olimpíadas estaduais e regionais. A olimpíada de Matemática tem como principais objetivos: Estimular o estudo da Matemática pelos alunos; Desenvolver e aperfeiçoar a capacitação dos professores; Influenciar na melhoria do ensino; Descobrir novos talentos. Nos últimos anos, com a criação da Olimpíada Brasileira de Matemática das escolas publicas, temos visto, a cada dia, mais alunos de olimpíadas de Matemática que são destaque nas universidades nacionais e internacionais, mostrando que a nossa Olimpíada de fato, revela talentos para nossas universidades. Na minha experiência como professor, tenho visto que os alunos, quando premiados em olimpíadas, passam a se tornar mais dedicados, sentindo-se estimulados a estudar, e seus próprios colegas de classe passam a querer também ser premiados porque os amigos destes foram, e isso acaba criando um clima muito bom na escola. Um projeto de olimpíada, quando bem executado, pode mudar a realidade de uma escola e até mesmo de uma cidade. No Piauí, na cidade de Cocal dos Alves, temos um exemplo: Lá, nova realidade começou com olimpíadas de Matemática e, hoje, a escola tem medalhas em olimpíadas de física e até foi campeã do quadro Soletrando, do caldeirão do Hulk, da Rede Globo. Neste caso, temos exemplo de que a olimpíada de matemática pode gerar frutos mesmo em outras matérias. A ideia da resolução de todos os problemas aqui apresentados surgiu da resolução do Problema Resolvido 3.1. A partir daí, passou-se a usar a ideia do Problema Resolvido 3.1 na resolução dos demais problemas. A ideia principal da resolução dos problemas aqui apresentados é transformar equações trigonométricas em um polinômios, e vice-versa.

14 Há 6 tipos de problemas para resolver: No primeiro tipo parte-se da Equação Trigonométrica e chega-se a um polinômio e, a partir daí, usam-se as relações de Girard para calcular o valor de expressões trigonométricas. No segundo tipo parte-se de um polinômio ou equação irracional e chega-se a uma equação Trigonométrica, encontrando soluções em função de Funções Trigonométricas. O terceiro tipo são problemas onde se deseja calcular o valor de expressões Trigonométricas. Neste caso, precisa-se partir destas para gerar um polinômio e usando-se as relações de Girard para calcular o valor dessas expressões. No quarto tipo, temos problemas em que se pede o valor de expressões algébricas, onde a ideia da resolução é gerar um polinômio com a raízes desejadas e, a partir daí, usar as relações de Girard para calcular o valor dessas expressões. No quinto tipo, temos problemas onde se pede para provar que um determinado número e irracional. Nesses problemas, gera-se um polinômio cuja raiz é este número e usa-se o teste da raiz racional para provar que este número é irracional. No sexto tipo, calcula-se o valor de funções trigonométricas de 18,36,54,7. Para calcular isso, parte-se de uma equação trigonométrica e gerase um polinômio cuja raiz é o valor a ser calculado,resolvendo-se o polinômio para calcular o valor desejado.

15 CAPÍTULO II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Neste capitulo, limitar-nos-emos ao estudo das funções seno, cosseno e tangentes. Inicialmente, serão apresentadas as definições dessas funções. Depois, usando o ciclo trigonométrico, chega-se a algumas identidades importantes, as quais serão usadas, ainda neste capítulo, na solução de vários exercícios que servirão de suportes para encontrar as soluções dos exercícios de várias olimpíadas presentes no capitulo 3. Parte 1 - Trigonometria.1 A FUNÇÃO COSSENO DEFINIÇÃO : Dado um número real x, seja P a sua imagem no ciclo trigonométrico. Denominamos cosseno de x (e indicamos por cos(x) a abscissa OP do ponto P em relação ao eixo uov. Denominamos função cosseno a função f : que associa a cada numero real x o real OP cos x, isto é, f ( x) cos x Figura.1: Representação da função cosseno no ciclo trigonométrico

16 Propriedades: A imagem da função, f :, f ( x) cos x é o intervalo [-1,1] A função f :[, ] [-1,1], f ( x) cos x,é bijetora A função, f :, f ( x) cos x é periódica e seu período é Gráfico Fazendo um diagrama com x nas abscissas e cos x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, denominado cossenoide, que nos indica como varia a função f ( x) cos x. Figura.: Gráfico da função cosseno.. A FUNÇÃO SENO DEFINIÇÃO: Dado um número real x, seja P a sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x (e indicamos por cos x a abscissa OP 1 do ponto P em relação ao eixo uov. Denominamos função seno a função f : que associa a cada numero real x o real OP1 senx, isto é, f ( x) senx. Figura.3: Representação da função seno no ciclo trigonométrico

17 Propriedades: A imagem da função f :, f ( x) senx, é o intervalo [ -1,1]; A função f :[, ] [-1,1], f ( x) senx, é bijetora; A função f :, f ( x) Gráfico senx é periódica e seu período é ; Fazendo um diagrama com x nas abscissas e sen x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, denominado senoide, que nos indica como varia a função f ( x) senx. Figura.4: Gráfico da função seno.3 A FUNÇÃO TANGENTE Definição: Dado um numero real x, x k, k seja P a sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T a sua interseção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x e indicamos por tg(x) a medida algébrica do segmento AT. Denominamos função tangente a função f : k, k associa a cada número real x o real o real AT tgx, isto é, f ( x) tgx. que

18 Figura.5: Representação da função tangente no ciclo trigonométrico Propriedades: A imagem da função, f : k, k, f ( x) A função f :[, ) (, ], f ( x) tgx. é bijetora A função, f : k, k período é Gráfico, f ( x) tgx é tgx é periódica e seu Fazendo um diagrama com x nas abscissas e tg x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, que nos indica como varia a função f ( x) tgx. Figura 6:Gráfico da função tangente

19.4 PRINCIPAIS RESULTADOS A SEREM UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS Um resultado que vamos usar com bastante frequência no próximo capítulo, na resolução de problemas de olimpíadas, é a solução de equações trigonométricas como seno, cosseno e tangente. As soluções das equações envolvendo senos são sen ( ) = sen ( ) implica em: = + k ou = ( - ) + k, k (.1) As soluções das equações envolvendo cosseno são cos ( ) = cos ( ) implica em: = + k ou = ( - ) + k, k (.) As soluções das equações envolvendo tangente são tg ( ) = tg ( ) implica em: = + k, k (.3) Outros resultados que serão usados são as identidades a seguir: sen( a b) sena.cos b senb.cos a (.4) sen( a b) sena.cos b senb.cos a (.5) cos( a b) cos a.cos b sena. senb (.6) cos( a b) cos a.cos b sena. senb (.7) cos x sen x 1 (.8) tga tgb tg( a b) 1 tga. tgb (.9) p q p q senp senq. sen( ).cos( ) (.1) p q p q senp senq. sen( ).cos( ) (.11) p q p q cos pcos q.cos( ).cos( ) (.1) p q p q cos p cos q. sen( ). sen( ) (.13) x 1 cos x cos (.14)

x 1 cos x sen (.15) x 1 cos x tg 1 cos x (.16) A partir destas 16 fórmulas, podemos deduzir várias outras fórmulas em Trigonometria. Exercício Resolvido.1: Deduza a fórmula de cos x em função de cos x. Solução: Usando.6 temos que cos x cos( x x) cos x.cos x senx. senx. Portanto cos x cos x sen x. Usando a fórmula.8 temos que cos x cos x 1. Exercício Resolvido.: Prove que cos( x) 1 sen ( x). Solução: Usando a fórmula.6 temos que: cos x cos( x x) cos x.cos x senx. senx. Portanto cos x cos x sen x. Usando a fórmula.8 temos que cos x 1 sen x. Exercício Resolvido.3: Usando a fórmula.6 escreva cos 3x em função do cos x. Solução: Usando a fórmula.6 temos que: cos3x cos( x x) cos x.cos x sen x. senx Pela fórmula.8 temos que cos x.cos x sen x. senx (cos x 1).cos x.(. senx.cos x). senx Portanto: 3 3 cos3x cos x cos x sen x.cos x cos x cos x (1 cos x).cos x = 3 4cos x 3cos x Exercício Resolvido.4: Use Exercício Resolvido.1 para encontrar a fórmula do cos 4x em função do cos x Solução: Usando o Exercício Resolvido.1 temos que:

1 cos 4x cos(. x) ( cos x) 1.(cos x 1) 1 Portanto 4 4 cos 4x.(4cos x 4cos 1) 1 8cos x 8cos 1 Exercício Resolvido.5: Usando a fórmula de Moivre deduza a fórmula do cos nx em função do cos x, para qualquer n Solução: Pela fórmula de Moivre sabemos que (cos i. sen ) n cos( n ) i. sen( n ), por outro lado, temos que: (cos i. sen ) (cos C.cos. sen C.cos. sen... C.cos. sen C. sen ) n n n n 4 4 n n n, n,4 n, n n, n i.( C.cos. sen C.cos. sen... C.cos. sen C cos. sen ) n1 n3 3 3 n3 n1 n,1 n,3 n,3 n,1 Igualando as partes reais temos: cos( n ) (cos C.cos. sen C.cos. sen... C.cos. sen C. sen ). n n n 4 4 n n n, n,4 n, n n, n Exercício Resolvido.6: Deduza a fórmula de sen x em função de cos x e sen x Solução: Usando a fórmula.4 temos que: sen x sen( x x) senx.cos x senx.cos x. senx.cos x Exercício Resolvido.7: Deduza a fórmula de sen 3x em função de sen x Solução: Usando a fórmula.4 temos que: sen3 x sen( x x) sen x.cos x senx.cos x Usando os exercícios resolvidos.1 e.6 temos que: sen x.cos x senx.cos x ( senx.cos x) (cos x 1). senx senx.cos x cos x. senx senx Usando a fórmula.8 temos que:.cos cos. ( ).(1 ).(1 ).( ) senx x x senx senx senx sen x sen x senx senx 3 4sen x 3 senx Exercício Resolvido.8: Deduza a fórmula de sen 5x em função de sen x Solução: Usando a fórmula.4 temos que: 5 (3 ) 3.cos.cos3 sen x sen x x sen x x sen x x Usando os Exercícios Resolvidos.7,.6,. e.3.

sen5 x sen(3x x) sen3 x.cos x sen x.cos3x 3 3 ( 4sen x 3 senx).(1 sen x) ( senx.cos x).(4cos x 3cos x) 3 4 ( 4sen x 3 senx).(1 sen x) (8 senx.cos x 6 senx.cos x) 3 ( 4sen x 3 senx).(1 sen x) (8 senx.(1 sen x) 6 senx.( 1 sen x) 5 16 3 5 senx sen x sen x Exercício Resolvido.9: Deduza a fórmula de tg x em função de tg x Solução: Pela fórmula.9 temos que: tg x tgx tgx tg(x x) 1 tgx.tgx = tgx 1 tg x Exercício Resolvido.1: Deduza a fórmula de tg 3x em função de tg x Solução: Pela fórmula.9 e pelo exercício resolvida.9 temos que: Solução: tgx tgx 3 tgx tgx 1 tg x 3tgx tg x tg3x tg(x x) 1 tgx.tgx tgx 1 ( ).tgx 1 3 tg x 1 tg x Exercício Resolvido.11: Deduza a fórmula de tg 4x em função de tg x Solução: Pelas fórmula.9 e exercício resolvido.9 temos que:.tgx 4tgx 4tg x tg4x tg(x x) 4 1 tg x tg x 6tg x 1 3 Exercício Resolvido.1: Deduza a fórmula de tg 5x em função de tg x Solução: Pelas fórmula.9 e exercício resolvido.11 temos que: 4tgx 4tg x tgx 4 tg4x tgx tg x 6tg x 1 tg5x tg(4x x) 1 tg4x.tgx 3 4 tg x 4tg x 1 ( ).tgx 4 tg x 6tg x 1 3 5 3 tg x 1tg x 5tgx 4 5tg x 1tg x 1

3 Parte Polinômios. Definição: Um polinômio (ou função polinomial) de grau n é uma função da forma: P(x) = a. n a a x a x a x n 1... n onde os coeficientes a a1 a,,,..., an são números reais e Definição: Seja f(x) = b b x b x b x n 1... n um polinômio não nulo. Chama-se grau de f, e representa-se por gr f, o número real p tal que b tal que b e b para p p i todo i > p. Assim, o grau de um polinômio f é o índice do ultimo termo não nulo de f. Exemplos: 1x 3x é um polinômio de grau 4 34x 6x é um polinômio de grau 4 Teorema 1: Seja g(x) um polinômio de grau n, então este polinômio possui exatamente n raízes, onde n é um numero inteiro positivo qualquer. Teorema (Relações de Girard): Seja h(x) = c c x c x c x grau n e sejam r 1, r, r 3,..., r n as n raízes de h(x) então vale que: cn i) r1 r r3... rn c 1 cn ii) r1. r r1. r3 r1. rn... rn 1. rn c n n 1... n um polinômio de cn iii) r1. r. r3 r1. r. r4... rn. rn 1. rn c De modo geral o produto dos Cnh. produtos de h raízes da equação é h cnh ( 1). c n n 3 n

4 CAPÍTULO III 3 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E POLINÔMIOS Serão apresentadas 6 classe de problemas, a maioria de olimpíadas, cuja metodologia utilizada para encontrar a solução de cada um desses problemas consiste em transformar uma equação trigonométrica em um polinômio, ou um polinômio em uma equação trigonométrica. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.1: (Olimpíada de Matemática da Bélgica, 6) a) Encontre todos os números reais, tais que cos(4 ) cos(3 ). b) Determine inteiros a, b, c, d tais que 3 ax bx cx d. Solução: Etapa 1: Compreender o problema 4 6 cos,cos,cos 7 7 7 são soluções da equação Na letra a, pede-se para resolver uma equação trigonométrica e na letra b, pede-se gerar um polinômio de grau 3 com raízes trigonométricas. Etapa : Estabelecer o plano Será que podemos estabelecer uma relação entre as letras a e b? Sabemos que 4 cos 4 8cos 8cos 1 e 3 cos3 4cos 3cos. Se igualarmos as duas equações, teremos uma equação do quarto grau, mas queremos uma equação de terceiro grau; então temos que eliminar uma solução e aí chegarmos a uma equação de terceiro grau. Etapa 3: execução do plano Pela fórmula. temos que: Portanto, k,k ou cos(4 ) cos(3 ) 4 3 k ou 4 ( 3 ) k k,k 7 Logo, as únicas soluções no intervalo (, ) são:

5 Assim, 1, 4 6 cos,cos,cos 7 7 7 =, 4 6, e. 7 7 7 são as raízes dessa equação. Pelos exercícios resolvidos.3 e.4, temos que: 4 cos 4 8cos 8cos 1 Daí, fazendo cos = t, temos: 3 e cos3 4cos 3cos. cos 4 cos3 4 3 3 8t 4t 8t 3t 1 ( t 1).(8 t 4t 4t 1) Portanto, o polinômio 3 8t 4t 4t 1 tem como raízes 4 6 cos,cos,cos 7 7 7. Logo a solução do item b é a = 8, b = 4, c = - 4 e d = - 1. Etapa 4: Retrospecto Como resolvemos este problema? Basicamente, partiu-se de uma equação trigonométrica cos 3x = cos 4x e chegou-se a um polinômio de grau de 3 : 4 6 cos,cos,cos 7 7 7. 3 8t 4t 4t 1 Que lições pode-se tirar deste problema? que tem 3 soluções trigonométricas Pode-se, partir de uma equação trigonométrica, gerar um polinômio que tem soluções trigonométricas. A partir deste problema, buscamos usar esta ideia para resolver outros problemas. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.: (Olimpíada de Matemática do Vietnã 198) Ache a, b, c inteiros tais que as raízes da equação cos7 e cos144. ax bx c são Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema anterior nesse problema? Observe que, no problema anterior, foi conveniente gerar uma equação do terceiro grau com soluções trigonométricas. E agora seria possível gerar uma equação do segundo grau que tem soluções trigonométricas?

6 Então, já conhecemos um problema correlato. Pode-se, então, usar a ideia dele nesse problema? Solução: Observe que cos cos7 e 1 cos144 satisfazem a equação cos x1 cos x. Fazendo t = cos x temos que 1 cos x cos x, pois 4t t 1. Logo, a equação polinomial 4t t1 temo como soluções cos 7 e cos144 portanto a = 4,b = e c = -1. Agora vamos resolver três problemas que são o inverso da nossa técnica, onde temos o polinômio e, a partir dele, achamos a equação trigonométrica. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.3: Resolva o sistema abaixo: x y 1. 3 4x 3x x 1 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.1 nesse problema? Como x y 1 garante que x e y estão no intervalo [-1,1] então x e y podem ser transformados em cossenos. 3 Lembre-se que cos3x 4cos x 3cosx e cosxx 1 Então, pode-se chegar a uma equação do tipo cos 3x = cos x; agora é possível usar o exercício 3.1? Solução Como x + y = 1 x 1, logo podemos fazer x = cos. Daí temos que cos3 cos cos3cos 3 4x 3x x 1 Usando a fórmula.13 temos que: 5 cos3 cos sen( ). sen( ) Portanto 5 sen ou sen. Parte 1: Resolver a equação 5 sen

7 5 k = k k,k 5 Parte : Resolver a equação sen k Logo as soluções são: k, k (1, ), ( 1, ), cos, sen, 5 5 4 4 cos, sen, 5 5 6 6 cos, sen, 5 5 8 8 cos, sen. 5 5 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.4: Resolva a equação 8x 3 6x 1 =. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.1 nesse problema? Lembre-se que 3 cos3 4cos 3cos x x x Então, pode - se usar a ideia do exercício 3.1? Solução 3 8x 6x 1 3.(4x 3 x) 1 4x 3x 3 1 Vamos achar as soluções tais que x 1. Faça x = cos. Teremos então: 1 cos3 3 k ou 6 11 k 13 5, k,,. 18 3 18 18 18 11 3 k 6 k, k ou 18 3 Como o polinômio é de terceiro grau, este tem apenas 3 raízes. Logo, não há soluções tais que x > 1 Logo, há apenas 3 soluções: 13 5 cos,cos,cos. 18 18 18 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.5: Resolva a equação no conjunto dos números reais: 3 x 3x x. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.1 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cos mx = cos nx? Solução

8 É claro que x. Agora vamos analisar casos: Caso 1: x Daí, podemos fazer original temos que: Pela fórmula.14 temos que: x cos, onde (, ). Assim, substituindo na equação 3 8cos 6cos cos. Portanto, temos que: Sendo assim, temos que: cos 4cos 8cos 3 6cos 4cos = cos cos3 cos cos3 cos Logo, pela fórmula., temos que: 3 k, k ou 3 k, k. Como (, ), temos que x = cos ou Caso : x > 4 cos 5 ou 4 cos 7. Neste caso, temos que 3 3 x 3x x 4 x x.( x 4). Por outro lado, temos que: x x x x 3 ( ).( 1) x x x 3x x x, logo, não há solução nesse caso. Agora vamos resolver dois problemas de olimpíadas, usando a técnica acima: EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.6: (Olimpíada de Matemática da Moldávia) Encontre todas as soluções reais da equação: 1 x x 1 x 1 x. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível poder usar a ideia do problema 3.1 nesse problema? Como temos 1 x, então podemos concluir que -1 < x < 1 podemos transformar x em cosseno

9 Pode-se chegar a uma equação do tipo sen = sen? Solução 1 x 1 x 1 Podemos então fazer x = cos, em que (, ). Assim, temos que: i) 1 x 1 cos sen sen (como (, ) temos que sen sen ). ii) x 1 = cos 1 = cos. iii) x 1 x.sen.cos sen (como (, ), temos que sen = sen ). Daí temos que: 1 x x 1 x. 1 x sen cos sen sen sen 4 sen sen 4 Portanto, pela fórmula.1 temos que: k 4 ou k 4 Temos dois casos a analisar: Caso 1: k. 4 k 4 3 8k e como (, ) 1, temos que 3 é a 1 única solução. Caso : k 4 k 4 8k e como (, ), temos que não há solução. 6 Logo, a única solução é 3 x cos. 1 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.7: (Olimpíada Brasileira de Matemática ) Determine todas as soluções reais da equação x x

3 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.1 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cos = cos? SOLUÇÃO DE MÁRCIO AFONSO ASSAD COHEN (RIO DE JANEIRO - RJ) Seja x cos com (, ) (pois sabe-se que 1 3 x ). Portanto, pela fórmula.14 temos que: x.(1 cos ) 4cos Portanto, temos que: x cos ( pois (, ),logo cos ) 6 Note que: x cos x cos.(1 cos ) Agora, usando a formula.15, temos que :.(1 cos ).sen 4 Portanto, temos que: x sen = sen (pois sen ) 4 4 4 Logo x x x sen = cos( ) = 4 4 cos( ) cos = cos( ) cos cos( ) 4 8 4 8 4 8 Usando a formula.. temos que: k, k ou ( ), k 4 8 4 8 Como (, ) temos que é a única solução. 3 9 Portanto x cos é a única solução da equação 9 = 4 8.(.cos ( )) Ao usar esta técnica, vamos gerar um polinômio com raízes trigonométricas podendo também calcular somas e produtos entre funções trigonométricas.

31 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.8: (Olimpíada Internacional de Matemática) Prove que 3 1 cos cos cos. 7 7 7 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.1 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cos mx = cos nx? Solução: 3 3 5 5 3 5 Note que 3 4, 3 4 3 e 3 4 5, logo,, 7 7 7 7 7 7 7 7 7 são soluções da equação cos 4x cos3x cos4xcos3x Usando a fórmula.1 temos que: 7x x cos 4x cos3x.cos.cos 7x cos ou x cos 7x Parte 1: Resolver a equação cos. 7x k x k 7 7 3 5 9 11 13 x,,,,,, ; 7 7 7 7 7 7 13 3 11 5 9 mas cos cos, cos cos, cos cos. 7 7 7 7 7 7 3 5 Logo há 4 soluções distintas,,,. 7 7 7 Parte : Resolver a equação x cos. x k x k, k, logo x = é a única solução. Por outro lado, temos que: 4 3 4 3 cos 4xcos3x8cos x 4cos x 8cos x 3cos x 1 8t 4t 8t 3t 1, onde t cos x. Claramente 1 é raiz desse polinômio. Temos então 4 3 3 8t 4t 8t 3t 1 ( t 1).(8 t 4t 4t 1), e o polinômio 3 8t 4t 4t 1 tem como raízes 3 5 cos,cos,cos 7 7 7. Pelas relações de Girard, temos: 3 5 4 1 3 cos cos cos cos cos cos 7 7 7 8 7 7 7.

3 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.9: (Mathematical Olimpiad Correspondence Program) Prove que sec4 sec8 sec16 6. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cos mx = k, onde k é uma constante e daí usar as relações de Girard para calcular a soma? Solução Note que 4,8 e 16 satisfazem a equação cos3 1 Usando o exercício resolvido.3, temos que: cos3 1 3 8cos 6cos 1, logo cos4,cos8 e Assim, temos que: cos16 são as raízes do polinômio 6 cos 4.cos8 cos16.cos8 cos 4.cos16 8 1 cos 4.cos8.cos16 8 1 1 1 sec 4 sec 8 sec16 cos 4º cos8º cos16º = cos4ºcos8º cos16ºcos4º cos16ºcos8º 6. cos16º cos8º cos 4º 3 8cos 6cos 1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.1: Prove que tg9 tg81 tg63 tg7 4. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo tg mx = k onde k é uma constante e daí usar as relações de Girard para calcular a soma? Solução: Note que as raízes da equação tg5x 1, são Pelo exercício resolvido.1 temos que: 5 3 tg x 1tg x 5tgx tg5x, 4 5tg x 1tg x 1 tg9, tg45, tg81, tg117, tg 153.

33 tg Logo tg5x 1 5 x 1tg 3 x 5tgx 4 1 5tg x 1tg x 1 5 4 3 tg x tg x tg x tgx 5 1 5 1. Usando as relações de Girard, temos que: tg tg tg tg tg 9 45 81 117 153 5 tg9 tg81 tg63 tg7 4, pois tg(18 x) tgx e tg 45 1 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.11: Prove que 3 tg tg tg 7. 7 7 7 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo tg mx = tg nx e daí usar as relações de Girard para calcular esse produto? Solução Note que 3 4 tg, tg, tg, tg, 7 7 7 7 5 tg 7, 6 tg 7, tg, são raízes da equação tg4x tg3 x,. Pelos exercícios resolvidos.1 e.11 temos que: 3tgx tg x tg3x 1 3tg x 3 e 4tgx 4tg x tg4x. 4 tg x 6tg x 1 3 Logo: tg4x tg3x tg 3x 3 3tgx tg x 1 3tg x = 3 4tgx 4tg x. 4 tg x 6tg x 1 Fazendo tg x = y e resolvendo a equação acima temos que: 7 5 3 6 4 y 1y 35y 7y y.( y 1y 35y 7). Assim as raízes da equação logo temos Pelas relações de Girard que: 6 4 y 1y 35y 7 são tg,tg,tg 3,tg 4,tg 5,tg 6, 7 7 7 7 7 7, 3 4 5 6 tg.tg.tg.tg.tg.tg 7. 7 7 7 7 7 7 Como 6 5 4 3 tg tg,tg tg,tg tg, temos que 7 7 7 7 7 7

34 3 tg tg tg 7 7 7 7 3 tg tg tg 7. 7 7 7 Como 7, 7 e 3 7 temos que : tg, 7 3 Logo tg tg tg portanto 7 7 7 3 tg tg tg 7. 7 7 7 tg e 7 3 tg 7 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.1: Prove que tg 1 tg 3... tg 87 tg 89 45. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo tg mx = k, onde k é uma constante e daí usar as relações de Girard para calcular a soma? Solução: Note que a equação cos9, tem como raízes Pelo exercício resolvido.5 temos que: cos1,cos3,...,cos189. cos(9 ) (cos C.cos. sen C.cos. sen... C.cos. sen C. sen ) 9 88 86 4 88 9 9, 9,4 9,88 9,9 Dividindo tudo por cos 9 e fazendo tg u, temos que: Fazendo Note que u t, temos: 1 C.u C.u... C.u u. 4 88 9 9, 9,4 9,88 1 C.t C.t... C.t t. 44 45 9, 9,4 9,88 cos91 cos89,cos93 cos87,...,cos177 cos3,cos179 cos1 portanto as raízes da equação são tg 1, tg 3,..., tg 87, tg 89. Usando as relações de Girard, temos que 1 C.t C.t... C.t t 44 45 9, 9,4 9,88 C tg 1 tg 3... tg 87 tg 89 9,88 45 1.

35 EXRECÍCIO RESOLVIDO 3.13: Calcule o valor da expressão tg. tg4. tg6. tg 8 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo (tg mx) =k onde k é uma constante e daí usar as relações de Girard para calcular esse produto? Solução: Observe a equação trigonométrica ( tg3 x) 3 tg3x 3. Note que as raízes desta equação são Pelo exercício resolvido.1 temos que: 3tgx 1 3. x,4,8,1,14,16. 3 tg x tg x Fazendo y = tg x e substituindo na equação ( tg3 x) 3 tg3x. 3 6 4 6 4 3 3 y 33y 9y 3 4 3y y y 6y 9y 1 3. y 1 6y 9y Daí temos pelas relações de Girard que o produto das raízes desta equação é 3. Assim temos quetg. tg4. tg8. tg1. tg14. tg16 3 Observe que tg tg16, tg4 tg14, tg8 tg1, pois tg(18 x) tgx. Daí concluímos que: tg. tg4. tg8 3 tg. tg4. tg6. tg8 3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.14: Prove que: sen.sen 4.sen 6.sen8 16 3 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo (sen mx) = k onde k é uma constante e daí usar as relações de Girard para calcular esse produto? Solução: Observe a equação trigonométrica Note que as raízes desta equação são Pelo exercício resolvido.7, temos que: 3 sen3x 4sen x 3senx. 3 3 ( sen3 x) sen3x. 4 x,4,8,1,14,16.

36 Fazendo y = sen x e substituindo na equação 3 3 4 4 ( sen3 x) temos que 4 3 3 6 4 6 4 ( 4y 3 y) 16y 4y 9y 64y 96y 36y 3 Daí, temos pelas relações de Girard que o produto das raízes desta equação é Assim, temos que sen. sen4. sen8. sen1. sen14. sen16. 64 3 Observe que sen sen16,sen 4 sen14,sen8 sen1, 3 64 pois sen(18 x) senx. Daí concluímos que: 3 3 sen.sen 4.sen8 sen.sen 4.sen 6.sen8 8 16 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.15: (Olimpíada de Matemática dos Estados Unidos) Prove que 3 7 sen. sen. sen 7 7 7 8 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível a ideia do problema 3.8 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo sen mx = k onde k é uma constante e daí usar as relações de Girard para calcular esse produto? Solução: Lema: sen 7 C.cos. sen C.cos. sen C.cos. sen C. sen 6 4 3 5 7 7,1 7,3 7,5 7,7 Prova : n Sabemos que (cos i. sen ) cos(n ) i. sen( n ). Por outro lado temos que : (cos i. sen ) cos C.cos. sen C.cos. sen C.cos 7 7 5 3 4 7, 7,4 7,6 i.(sen 7 C.cos. sen C.cos. sen C.cos. sen C. sen ) Daí, igualando as partes imaginarias, temos: 6 4 3 5 7 7,1 7,3 7,5 7,7

37 sen 7 C.cos. sen C.cos. sen C.cos. sen C. sen, com isso provamos o lema. Agora vamos ao nosso problema: 6 4 3 5 7 7,1 7,3 7,5 7,7 Note que a equação sen7, tem como raízes 3 4 5 6 7,,,,,,. 7 7 7 7 7 7 7 Pela formula do lema, temos que: Fazendo t sen 7 C.cos. sen C.cos. sen C.cos. sen C. sen 6 4 3 5 7 7,1 7,3 7,5 7,7 sen, temos que: 7.(1 ). 35.(1 ). 1.(1 ). 3 3 5 7 t t t t t t t 7 5 3 6 4 64t 11t 56t 7t t.( 64t 11t 56t 7) Portanto, as raízes de 6 4 64t 11t 56t 7 são 3 4 5 6,,,,,. 7 7 7 7 7 7 Logo 3 4 5 6 7 sen. sen. sen. sen. sen. sen. 7 7 7 7 7 7 64 Como 6 5 3 4 sen sen, sen sen, sen sen temos que: 7 7 7 7 7 7 3 7 3 7 7 7 7 64 7 7 7 8 ( sen. sen. sen ) sen. sen. sen. Um outro problema que segue um raciocínio semelhante e que ajuda a resolver outros problemas é o seguinte: EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.16: Sejam a, b, c números reais, tais que ab c. Prove que: a) 3 3 3 a b c 3abc b) 5 5 5 7 7 7 a b c a b c a b c 5 7 Solução

38 Seja 3 x mx px q um polinômio de terceiro, tal que suas raízes são a, b, c. Usando as relações de Girard, temos que: a b c m, ab ac bc p, abc q. Assim, temos que: (a b c).( ) Por outro lado, temos: a b c ab ac bc a b c p 3 3 a pa q a pa q 3 3 b pb q b pb q 3 3 c pc q c pc q Somando as três igualdades acima, temos que: 3 3 3 a b c p.( a b c) 3q 3q. Da mesma forma, temos: 4 4 a pa qa a pa qa 4 4 b pb qb b pb qb 4 4 c pc qc c pc qc Somando as três igualdades acima, temos que: a b c p.( a b c ) q.( a b c) p 4 4 4 Da mesma forma, temos que: a pa qa a pa qa 5 3 5 3 b pb qb b pb qb 5 3 3 5 3 c pc qc c pc qc 5 3 5 3 Somando as três igualdades acima, temos que: 5 5 5 3 3 3 a b c p.( a b c ) q.( a b c ) 5pq Da mesma forma, temos que: a pa qa a pa qa 7 5 4 7 5 4 b pb qb b pb qb 7 5 4 7 5 4 c pc qc c pc qc 7 5 4 7 5 4 Somando as três igualdades acima, temos que:

39 7 7 7 5 5 5 4 4 4 a b c p.( a b c ) q.( a b c ) 7p q Com isso, saem trivialmente os resultados das letras a e b. A partir deste problema, tentamos usar esta ideia para resolver outros problemas. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.17: (Olimpíada de Matemática Croácia 1) Se ab c, calcule o valor da expressão 7 7 7 a b c. 4 4 4 abc (a b c ) Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.16 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cujas raízes são a, b e c e a partir daí usar a relações de Girard para calcular essas somas? Solução Seja 3 x mx px q, um polinômio de terceiro tal que suas raízes são a, b, c. Daí temos que a b c m, ab ac bc p, abc q. Assim, temos que: Por outro lado, temos que: (a b c).( ) a b c ab ac bc a b c p 3 3 a pa q a pa q 3 3 b pb q b pb q 3 3 c pc q c pc q Somando as três igualdades acima, temos que: Da mesma forma, temos que: 3 3 3 a b c p.( a b c) 3q 3q 4 4 a pa qa a pa qa 4 4 b pb qb b pb qb 4 4 c pc qc c pc qc Somando as três igualdades acima, temos que: Da mesma forma, temos que: a b c p.( a b c ) q.( a b c) p 4 4 4

4 a pa qa a pa qa 5 3 5 3 b pb qb b pb qb 5 3 3 5 3 c pc qc c pc qc 5 3 5 3 Somando as três igualdades acima, temos que: 5 5 5 3 3 3 a b c p.( a b c ) q.( a b c ) 5pq Da mesma forma temos que: a pa qa a pa qa 7 5 4 7 5 4 b pb qb b pb qb 7 5 4 7 5 4 c pc qc c pc qc 7 5 4 7 5 4 Somando as três igualdades acima, temos que: 7 7 7 5 5 5 4 4 4 a b c p.( a b c ) q.( a b c ) 7p q Com isso, temos que 7 7 7 a b c 7p q 7 4 4 4. abc(a b c ) q(p ) EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.18: (Olimpíada Brasileira de Matemática 3) Sejam a, b, c números reais não nulos tais que ab c. Calcule os possíveis valores de 3 3 3 4 4 4 (a b c ) (a b c ). 5 5 5 (a b c ) Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.16 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cujas raízes são a, b e c e, a partir daí, usar a relações de Girard para calcular essas somas? Solução Seja 3 x mx px q, um polinômio de terceiro tal que suas raízes são a, b, c. Daí temos que a b c m, ab ac bc p, abc q. Assim, temos que: (a b c).( ) Por outro lado, temos que: a b c ab ac bc a b c p

41 3 3 a pa q a pa q 3 3 b pb q b pb q 3 3 c pc q c pc q Somando as três igualdades acima, temos que: 3 3 3 a b c p.( a b c) 3q 3q Da mesma forma, temos que: 4 4 a pa qa a pa qa 4 4 b pb qb b pb qb 4 4 c pc qc c pc qc Somando as três igualdades acima, temos que: Da mesma forma, temos que: a b c p.( a b c ) q.( a b c) p 4 4 4 a pa qa a pa qa 5 3 5 3 b pb qb b pb qb 5 3 3 5 3 c pc qc c pc qc 5 3 5 3 Somando as três igualdades acima, temos que: 5 5 5 3 3 3 a b c p.( a b c ) q.( a b c ) 5pq Daí temos que 3 3 3 4 4 4 (a b c ) (a b c ) (9q p ) 18 5 5 5. (a b c ) (5pq) 5 EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.19: (Olimpíada de Matemática dos Estados Unidos) Encontre todas as soluções (reais ou complexas) do sistema: a b c 3 a b c 3 3 3 3 a b c 3 Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.16 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cujas raízes são a, b e c e, a partir daí, usar a relações de Girard para calcular essas somas?

4 Solução 3 Seja h( x) x mx px q, um polinômio de terceiro tal que suas raízes são a, b, c. Daí, temos que a b c m, ab ac bc p, abc q Adicionalmente, vem: Por outro lado, temos que: (a b c) a b c.( ab ac bc) 9 3.( ab ac bc) ab ac bc 3 p 3 3 3 a ma pa q a ma pa q 3 3 b mb pb q b mb pb q 3 3 c mc pc q c mc pc q Somando as três igualdades acima, temos que: 3 3 3 a b c m.( a b c ) p.( a b c) 3q 3q 3 9 9 3q q 1 Assim, concluímos que sistema é a b c 1. h( x) x 3x 3x 1 ( x 1) 3 3, portanto, a única solução do EXERECÍCIO RESOLVIDO 3.: (Olimpíada de Matemática do Pará 8) 1 1 1 Suponha que x, y e z são números reais tais que a b c. a b c Mostre que a b c a b c 6 6 6 3 3 3 abc. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.16 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cujas raízes são a, b e c e, a partir daí, usar a relações de Girard para calcular essas somas? Solução Seja 3 x mx px q, um polinômio de terceiro tal que suas raízes são a, b, c. Daí temos que a b c m, ab ac bc p, abc q. Assim, temos que: (a b c).( ) a b c ab ac bc a b c p

43 Por outro lado, temos que: 3 3 a pa q a pa q 3 3 b pb q b pb q 3 3 c pc q c pc q Somando as três igualdades acima, temos que 3 3 3 a b c p.( a b c) 3q 3q Da mesma forma, temos que: 4 4 a pa qa a pa qa 4 4 b pb qb b pb qb 4 4 c pc qc c pc qc Somando as três igualdades acima, temos que: Da mesma forma, temos que: a b c p.( a b c ) q.( a b c) p 4 4 4 a pa qa a pa qa 5 3 5 3 b pb qb b pb qb 5 3 3 5 3 c pc qc c pc qc 5 3 5 3 Somando as três igualdades acima, temos que: Da mesma forma, temos que: 5 5 5 3 3 3 a b c p.( a b c ) q.( a b c ) 5pq a pa qa a pa qa 6 4 3 6 4 3 b pb qb b pb qb 6 4 3 6 4 3 c pc qc c pc qc 6 4 3 6 4 3 Somando as três igualdades acima, temos que: a b c p.( a b c ) q.( a b c ) p.( p ) q( 3 q) p 3q 6 6 6 4 4 4 3 3 3 3 Como 1 1 1 ab ac bc p. a b c 6 6 6 Assim temos que a b c 3q.

44 Daí temos que: 6 6 6 a b c 3q q abc 3 3 3 a b c 3q EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.1: (Olimpíada de Matemática da Moldávia ) Os números inteiros a, b, c satisfazem à relação ab c. Mostre que o número 4 4 4.( a b c ) é um quadrado perfeito. Já vimos um problema semelhante a esse? É possível usar a ideia do problema 3.16 nesse problema? Pode-se chegar a uma equação do tipo cujas raízes são a, b e c e, a partir daí, usar a relações de Girard para calcular essas somas? Solução 1: a b c a b c a b c ab a b c a c b a c b ac a b c b c a b c a bc 4 4 4 ( a b c ) a b c.( a b a c b c ) 4 4 4 a b c a b a c b c a b a c b c 4 4 4 a b c a.( b c ) b.(a c ) c.(a b 4 4 4 a b c a b c.(a bc).(b ac).(c ab) 4 4 4 4 4 4.( a b c ) abc.( a b c).( a b c ) ) Logo, o número 4 4 4.( a b c ) é um quadrado perfeito. Solução : Seja 3 x mx px q, um polinômio de terceiro tal que suas raízes são a, b, c. Daí temos que a b c m, ab ac bc p, abc q. Assim, temos que: (a b c).( ) a b c ab ac bc a b c p Por outro lado, temos que: 3 3 a pa q a pa q 3 3 b pb q b pb q 3 3 c pc q c pc q

45 Somando as três igualdades acima, temos que 3 3 3 a b c p.( a b c) 3q 3q Da mesma forma, temos que: 4 4 a pa qa a pa qa 4 4 b pb qb b pb qb 4 4 c pc qc c pc qc Somando as três igualdades acima, temos que: a b c p.( a b c ) q.( a b c) p 4 4 4 Logo, temos que.( a b c ).p ( p) 4 4 4 A técnica do problema resolvido 3.1 pode também ser usada para provar que uma determinada função trigonométrica é irracional. Para provar isso vamos precisar do seguinte teorema: Teorema (Teste da raiz Racional): Se o número p q,onde mdc (p,q) = 1,é uma raiz do polinômio com coeficientes inteiros n a x a x... a x a,então p é um divisor n n1 n1 1 de a e q é um divisor a n. Prova: Como p q é raiz do polinômio temos que: n n1 p p p an. an 1.... a1. a q q q n n1 n1 n anp an 1p. q... a1 p. q a. q, logo temos que p é um divisor de a e q é um divisor a n. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.: (Olimpíada de Matemática da Bulgária 1978) Prove que o numero a) raiz da equação 5 cos 7 é : b) é um numero irracional 3 8x 4x 4x 1

46 Solução: a) Como já vimos no exercício resolvido 5 o polinômio como raízes 3 5 cos,cos,cos 7 7 7 3 8x 4x 4x 1 tem b) Se 5 5 cos fosse racional, então pelo teste da raiz racional, teríamos que cos = 7 7 1 1 1,,, mas calculando o valor numérico destes números no polinômio, é fácil 4 8 ver que nenhum dá zero; logo, as raízes deste polinômio são todas irracionais. Analogamente, podemos concluir que cos 7 e 3 cos 7 são irracionais. Agora vamos usar a técnica do exercício resolvido 3.1 para calcular senos e cossenos de ângulos não notáveis EXERCÍCIO RESOLVIDO 3.3: Calcule cos18,cos36,cos54,cos7,sen18,sen36,sen54,sen7. Parte 1: Calcular Solução 1: Note que Logo, cos7. cos(.7 ) cos(3.7 ) cos7 é uma solução da equação cos Daí, temos que: x cos3x 3 3 4cos x 3cos x cos x 1 4cos x 3cos x cos x 1. Faça t cos x. Daí temos que 3 4t t 3t 1 ( t 1).(4 t t 1) t 1 ou 1 5 t. 4 Como Solução cos 7 e cos7 1 temos que 1 5 cos7. 4 4 cos 7 cos 36 1 cos 144 1.(cos 7 1) 8cos 7 8cos 7 1 4 Faça y cos7 8y 8y y 1 ( y 1).( y 1).(4 y y 1). Logo y 1 ou y 1 ou 1 y 5 4 ou y 1 5. 4

47 Como cos 7 1 e Parte : Calcular sen18º. Solução: Note que Fazendo sen cos 7, temos que 1 5 cos7 4 sen 18 é raiz da equação sen5x 1. Como 18 t, temos que: 3 5 4 3 5t t 16 t ( t 1).(16 t 16t 4t 4t 1) 3 5 sen5x 5senx sen x 16sen x t = 1 ou. 4 3 16t 16t 4t 4t 1 (4t t 1) 1 5 t. 4 Como Solução : sen18 e sen 18 1, temos que sen 18 1 5. 4 Pela parte 1, temos que: Parte 3: Calcular Solução: sen 7. 1 5 cos7 4 sen 18 = 1 5 4. Como sen 7 cos 7 1 Parte 4: Calcular cos 18º. Solução 1: sen7 1 5. 4 Solução : Como sen 7 = 1 5 4 5 3 cos5 x 16cos cos 5cos 1 5 cos18 4 x x x e como cos9, temos que cos18 é raiz 5 3 da equação 16cos x cos x 5cos x. Faça t cos18. 5 3 Daí, temos que 16t t 5t t ou t 5 5. 8 Como cos18 1 cos18 5 5 1 5. 8 4 Parte 5: Calcular sen 36º. Solução 1: 1 5 1 5 1 5 sen36.sen18.cos18. 4 4 4

48 Solução : 5 3 sen5x 16sen x sen x 5senx. Fazendo t sen36, temos que 4 16t t 5. t ou 5 3 4 16t t 5t t.(16 t t 5) Fazendo y t 4, temos que 16t t 5 16y y 5 y 5 5 8 ou 5 5 y t 8 ou t 5 5 8 ou t 5 5 8 ou t 5 5 8 ou t 5 5. 8 Como sen36, temos que 5 5 sen36 8 ou 5 5 sen36 8. Note que 5 5 1, logo 8 Parte 6: Calcular cos 36º. Solução: 5 5 8 sen36 5 5 1 5. 8 4 Como sen 36 cos 36 1 1 5 cos36. 4 Parte 7: Calcular sen 54º. Solução: sen54 cos36 1 5. 4 Parte 8: Calcular cos 54º. Solução: cos54 cos36 1 5. 4

49 CONCLUSÃO O presente estudo desenvolvido procurou mostrar a importância da Resolução de Problemas no ensino de Matemática, discutindo as diversas etapas do método de Resolução de Problemas e sua importância no papel da aprendizagem significativa do aluno. Ao fazer um problema, o mesmo deve ser discutido em sala de aula de forma exaustiva, de forma a dar ao aluno ferramentas para que ele resolva outros problemas semelhantes; caso contrário, o aprendizado não será significativo para o aluno. Outro ponto abordado foi a ligação entre os polinômios e trigonometria, mostrando problemas que envolvem os dois assuntos. O trabalho foi desenvolvido com base na solução de um problema da olimpíada de Matemática da Bélgica onde se faz uma interligação entre polinômios e trigonometria, partindo-se de uma equação trigonométrica e chegando a um polinômio. A partir deste problema, procurou-se usar a mesma ideia em outros problemas. Isso foi importante para mostrar que mais importante do que fazer um problema é saber tirar lições dele, de modo a fazer outros problemas, usando a mesma ideia. É de fundamental importância que nossos livros didáticos apresentem estratégias de resolução de problemas que são recursos importantes no ensino aprendizagem de Matemática. Atualmente dos livros de Matemática do Ensino Médio que conheço, nenhum traz as etapas da resolução de problemas; e a grande maioria de nossos professores não discute isso em sala de aula. Pode-se sugerir que as escolas passem a ter uma matéria voltada só para resolução de problemas de Matemática, Física e Química, fazendo uma interação entre as três matérias e mostrando metodologias de resolução de problemas nestas 3 matérias. Muitos problemas nas áreas de Física e Química podem ser resolvidos, usando as técnicas de resolução de problemas da Matemática. Pode-se também, a partir deste trabalho, fazer outros trabalhos, estabelecendo fazendo uma interligação entre outros assuntos de Matemática do Ensino Médio como, por exemplo, polinômios e números complexos, conjuntos e funções, etc, e permitindo-se fazer isso também em programas como o PAPMEM e o PROFMAT.

5 REFERÊNCIAS ANDREESCU, Titu; FENG, Zuming. 13 Trigonometry Problems from the Training of the USA IMO Team. Boston: Birkhauser, 4. ANDREESCU, Titu; GELCA, Razvan. Putnam and Beyond. New York: Springer- Verlag, 6. ANTAR, Aref; SAMPAIO, Jose Luís et al. Trigonometria: Noções de Matemática. São Paulo: Editora Moderna, 1979. BRASIL. Ministério da Educação. PCNEM Parâmetros curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC, 1997. B. Ministério da Educação. PCNEM Parâmetros curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC,. B. Secretária de Educação Fundamental. PCN Parâmetros curriculares Nacionais. Secretária de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. DOMINGUES, Hygino. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual Editora, 1991. DOOB, Michael., The Canadian Mathematical Olympiad 1969 1993. Ottawa ON: University of Toronto Press, 1993. DURELL, C. V; ROBSON, A. Advanced Trigonometry. Londres: Gbell and Sons, 1979. LIDSKI, V. B. y otros. Problemas de matemáticas Elementales. Moscou: Editora Mir Moscow, 1987.