Geometria Euclidiana Plana - Um pouco de história Prof a.
Introdução Daremos início ao estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Faremos uso do método utilizado por Euclides em seu livro Os Elementos, o método axiomático. A palavra geometria vem do grego geometrien geo : terra metrien: medida.
Os Elementos de Euclides é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.c. Os 4 primeiros livros, que hoje pode ser pensando como capítulos, tratam da Geometria Plana conhecida da época, enquanto os demais tratam da teoria dos números e da geometria espacial.
Um pouco de história No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da geometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Plana em sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geométricos cujas propriedades deseja-se estudar. São 23 definições, entre as quais encontramos as definições de ponto, reta, círculo, triângulo, retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noções comuns, que são afirmações admitidas como verdades óbvias. São elas: 1 Coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais. 2 Se iguais são adicionados a iguais, os totais obtidos são iguais. 3 Se iguais são subtraídos de iguais, os totais obtidos são iguais. 4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. 5 O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.
Método Axiomático O que Euclides faz é construir axiomaticamente a geometria plana, atravéz do método axiomático. O que é o método axiomático? A estrutura teórica de cada área da Matemática é disposta em: O Conceito Primitivo; Os Axiomas ou Postulados; As Definições; os Teoremas, Lemas e Corolários.
Um Conceito é Primitivo quando é tido como verdade e isento de definição. Os exemplos clássicos são: ponto, reta, plano. Não os definimos, apenas os aceitamos. Axiomas são afirmativas (conjunto de regras) aceitas sem comprovação e que determinam as propriedades de alguns conceitos primitivos. Uma teoria é axiomática quando é construída a partir de axiomas ou postulados.
Uma teoria axiomática é tanto mais elegante quanto menor for seu número de axiomas e estes devem ser escolhidos com a preocupação de que sejam: * Consistentes: não conduz a teoremas contraditórios. * Suficientes: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidade de outros axiomas. * Independentes: quando nenhum outro pode ser demonstrado a partir dos demais. Conceitos Primitivos Axiomas Teoremas / Lemas Corolários
Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Os axiomas eram proposições evidentes por si mesmas; e postulados, proposições que se pediam fossem aceitas sem demonstração. Atualmente, axiomas e postulados são designações das proposições sem demonstração. Constituem o ponto de partida de uma teoria dedutiva.
A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ele apresentou, em sua famosa obra Os Elementos, um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados. Axiomas: A1 Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. A2 Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. A3 Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais. A4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. A5 O todo é maior do que qualquer de suas partes.
Postulados: P1 Pode-se traçar uma (única) reta ligando quaisquer dois pontos. P2 Pode-se continuar (de uma única maneira) qualquer reta finita continuamente em uma reta. P3 Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. P4 Todos os ângulos retos são iguais. Observação: Euclides define ângulos sem falar em medida e ângulo reto como um ângulo que é igual ao seu suplementar. Daí, a necessidade do Postulado 4.
P5 Se uma reta secante a duas outras forma ângulos de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas, se prolongadas suficientemente, encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado. O 5 Postulado é o famoso postulado das paralelas. Atualmente é apresentado com as seguintes palavras: Por um ponto P exterior a uma reta m, considerados em um mesmo plano, existe uma única paralela à reta m. Muitos acreditavam que quando Euclides chegou ao Postulado 5 não soube como demonstrá-lo e então resolveu deixá-lo como postulado. Diferentemente dos demais postulados, este se parece muito mais com um teorema do que com uma simples afirmação que podemos aceitar sem demonstração.
Renomados matemáticos tentaram provar o 5 Postulado de Euclides, pois o consideravam menos intuitivo e de redação mais complicada. Porém, essa pretenção não foi alcançada, pois o 5 Postulado não é uma consequência lógicas dos quatro anteriores. Substituindo tal postulado, surgiram as geometrias não-euclidianas.
Um fato interessante A primeira proposição do livro I de Euclides é a seguinte: Proposição Existe um triângulo equilátero com um lado igual a um segmento de reta dado. Demonstração. Existe uma falha nesta demonstração. Se queremos contruir a geometria a partir dos axiomas, precisamos justificar toda afirmação a partir deles. Não existe nenhum postulado que garante que o ponto de interseção entre os dois círculos existe.
Vemos, assim, que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. Neste curso vamos axiomatizar a geometria de tal forma que os axiomas sejam suficientes para demonstrar todos os resultados conhecidos desde o ensino fundamental.
Definições, Teoremas e Demonstrações Uma definição é um conceito que é feito em função de termos considerados previamente conhecidos. Por exemplo, um segmento de reta é uma parte ou porção da reta limitada por dois pontos. Observe que são conhecidos os termos ponto, reta e parte, dentre outros. Partindo-se de uma teoria devidamente axiomatizada, surgem as definições, as porposições ou teoremas, corolários, leis e regras matemáticas.
Teorema é uma afirmação que pode ser provada e de grande importância, Proposição é uma sentença não associada a algum outro teorema, de simples prova e de importância matemática menor, Lema é um pré-teorema, um teorema que serve para ajudar na prova de outro teorema maior, Corolário é uma consequência direta de outro teorema ou de uma definição, muitas vezes tendo suas demonstrações omitidas, por serem simples. conjectura é o termo usado para afirmações que ainda não foram provadas, mas que acredita-se que são verdadeiras. Alguns teoremas continuam a ser chamados de conjecturas (Conjectura de Poicarè). Observação: A distinção entre Lema, Teorema e Proposição é um tanto quanto arbitrária.
Um teorema é aceito como logicamente verdadeiro somente mediante uma prova ou demonstração. O enunciado de um teorema compreende duas partes distintas: hipótese: conjunto de condições aceitas como verdadeiras; tese: verdade lógica que se pretende demonstrar a partir da hipótese. O raciocínio que permite concluir o estabelecimento da tese, supondo compreendidas as condições da hipótese é chamado de demonstração. Hipótese Demonstração Tese
Existem, basicamente, duas formas de demonstrar um teorema. Os métodos: Direto - que se utiliza das informações contidas na hipótese e outros resultados pertinentes e que através de uma sequência lógica coerente chega ao resultado ou tese. Indireto - também conhecido como método de redução ao absurdo (ou método da contradição). Sua estratégia é baseada na negação lógica da proposição tese e consequente contradição da hipótese.