Universidade Federal do Paraná 2 semestre 2016 Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 9 Mudanças de Bases Observação: no livro do Leon [1] o autor chama de matriz de transição de B 1 para B 2 o que a maioria dos outros autores chamam de matriz de transição de B 2 para B 1 (as duas terminologias fazem sentido mas para razões diferentes!) No presente documento usamos a terminologia do Steven J Leon Exercício 1: Para cada um dos itens seguintes encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de {u 1 u 2 } para {e 1 e 2 } a) u 1 (1 1) u 2 ( 1) b) u 1 (1 2) u 2 (2 ) c) u 1 (0 1) u 2 (1 0) Exercício 2: Para cada uma das bases ordenadas {u 1 u 2 } no Exercício 1 encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de {e 1 e 2 } para {u 1 u 2 } Exercício 3: Sejam v 1 (3 2) e v 2 (4 3) Para cada base ordenada {u 1 u 2 } dada no Problema 2 ache a matriz de transição de {v 1 v 2 } para {u 1 u 2 } Exercício 4: Seja E [( 3) (3 2) ] e sejam x (1 1) y ( 1) e z (10 7) Determine os valores de [x] E [y] E e [z] E Exercício : Sejam u 1 : (1 1 1) u 2 : (1 2 2) e u 1 : (2 3 4) a) Encontre a matriz de transição corespondente à mudança de base de {e 1 e 2 e 3 } para {u 1 u 2 u 3 } b) Encontre as coordenadas dos vetores seguintes em relação a {u 1 u 2 u 3 } i) (3 2 ) ii) (1 1 2) iii) (2 3 2) Exercício 6: Sejam v 1 : (4 6 7) v 2 : (0 1 1) v 3 : (0 1 2) e u 1 u 2 u 3 os vetores do Exercício a) Encontre a matriz de transição de {v 1 v 2 v 3 } para {u 1 u 2 u 3 } b) Se x 2v 1 + 3v 2 4v 3 encontre o vetor de coordenadas de x em relação a {u 1 u 2 u 3 } Exercício 7: Dados: v 1 : ( 1 2 ) v 2 : ( 2 3 ) S : ( ) 3 1 2 1
encontre vetores w 1 e w 2 tais que S seja a matriz de transição de {w 1 w 2 } para {v 1 v 2 } Exercício 8: Dados: v 1 : ( 2 6 ) v 2 : ( 1 4 ) S : ( ) 4 1 2 1 encontre vetores w 1 e w 2 tais que S seja a matriz de transição de {v 1 v 2 } para {u 1 u 2 } Exercício 9: Sejam {x 1} e {2x 1 2x + 1} bases ordenadas para P 2 a) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {2x 1 2x + 1} para {x 1} b) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {x 1} para {2x 1 2x + 1} Exercício 10: Encontre a matriz de mudança de coordenadas em P 3 {1 x x 2 } para a base ordenada {1 1 + x 1 + x + x 2 } da base ordenada 2
Resoluções: Resolução do Ex 1: A matriz de transição correspondente à mudança de base de {u 1 u 2 } para {e 1 e 2 } é a matriz cujas colunas são os vetores coordenadas dos vetores {u 1 u 2 } na base {e 1 e 2 } Obtemos: a) M (B1 B 2 ) ( ) 1 b) M (B1 B 2 ) onde notemos as bases B 2 : {u 1 u 2 } e B 1 : {e 1 e 2 } ( ) 1 2 c) M 2 (B1 B 2 ) ( ) 0 1 1 0 Resolução do Ex 2: A matriz de transição da base B 1 {e 1 e 2 } para a base B 2 {u 1 u 2 } é a inversa da matriz de transição de B 2 para B 1 Obtemos: ( ) a) M (B2 B 1 ) M 1 (B 1 B 2 ) [ ] ( ) b) M (B2 B 1 ) M 1 2 (B 1 B 2 ) [ ] 2 ( ) c) M (B2 B 1 ) M 0 1 (B 1 B 2 ) [ ] 1 0 ( ) 1/2 1/2 /2 1/2 ( ) 2 1 ( ) 0 1 1 0 Resolução do Ex 3: Notemos B 3 a base B 3 : {v 1 (3 2) v 2 (4 3) } A matriz de transição de B 3 para B 1 é dada por: ( ) 3 4 M (B1 B 3 ) 2 3 Alem disso sabemos que a matriz de transição de B 3 para B 2 é obtida multiplicando a matriz de transição de B 3 para B 1 com a matriz de transição de B 1 para B 2 ou seja: M (B2 B 3 ) M (B2 B 1 ) M (B1 B 3 ) Aplicando a fórmula acima obtemos em cada um dos casos: ( ) ( ) 1/2 1/2 3 4 a) M (B2 B 3 ) M (B2 B 1 ) M (B1 B 3 ) [ ] /2 1/2 2 3 b) M (B2 B 3 ) M (B2 B 1 ) M (B1 B 3 ) ( 2 1 ) ( 3 4 2 3 ( ) ( ) 0 1 3 4 c) M (B2 B 3 ) M (B2 B 1 ) M (B1 B 3 ) [ ] 1 0 2 3 ( ) /2 7/2 /2 /2 ) ( ) 14 [ ] 4 ( ) 2 3 3 4 Resolução do Ex 4: Notemos B 1 : {e 1 e 2 } a base padrão de R 2 A matriz de transição da base E {( 3) (3 2) } para a base padrão é dada por: M (B1 E) 3 ( ) 3 3 2
A matriz de transição da base padrão B 1 para a base E {( 3) (3 2) } é dada pela inversa: ( ) M (E B1 ) M 3 (B 1 E) [ ] 3 2 ( ) 2 3 3 Os vetores de coordenadas [x] E [y] E e [z] E de x (1 1) y ( 1) e z (10 7) na base E são obtidos multiplicando M (E B1 ) para os vetores de coordenadas [x] B1 (1 1) [y] B1 (1 ) e [z] B1 (10 7) na base padrão calculemos que: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 [x] E M (E B1 ) [x] B1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 3 1 [y] E M (E B1 ) [y] B1 [z] E M (E B1 ) [z] B1 3 ( 2 3 3 ) ( 10 7 ) 8 ) ( Resolução do Ex : a) Notemos B 1 : {e 1 e 2 e 3 } a base padrão de R 3 e B 2 a base B 2 : {u 1 (1 1 1) u 2 : (1 2 2) u 3 : (2 3 4) } A matriz de transição da base B 2 para a base padrão é dada por: 2 M (B1 B 2 ) 1 2 3 1 2 4 A matriz de transição da base padrão B 1 para a base B 2 é dada pela inversa ou seja: 2 M (B2 B 1 ) M (B 1 B 2 ) 1 2 3 1 2 4 2 0 [ ] 2 0 1 b) O vetor de coordenadas na base B 2 sendo obtido por multiplicação para M (B2 B 1 ) do vetor de coordenadas na base B 1 temos que: 2 0 3 1 i) [x] B2 M (B2 B 1 ) [x] B1 2 2 4 0 1 3 2 0 1 0 ii) [y] B2 M (B2 B 1 ) [y] B1 2 1 0 1 2 1 2 0 2 2 iii) [z] B2 M (B2 B 1 ) [z] B1 2 3 2 0 1 2 4
Resolução do Ex 6: a) Notemos: B 1 a base padrão de R 3 B 1 : {e 1 e 2 e 3 } B 2 a base B 2 : {u 1 (1 1 1) u 2 : (1 2 2) u 1 : (2 3 4) } B 3 a base B 3 : {v 1 (4 6 7) v 2 (0 1 1) v 3 (0 1 2) } A matriz de transição da base B 3 para a base padrão é dada por: 4 0 0 M (B1 B 3 ) 6 7 1 2 Jà calculàmos no Exercício que a matriz de transição da B 1 para a base B 2 era: 2 0 M (B2 B 1 ) 2 0 1 A matriz de transição da base B 3 para a base B 2 é obtida por multiplicação: 2 0 4 0 0 1 2 M (B2 B 3 ) M (B2 B 1 ) M (B1 B 3 ) 2 6 [ ] 0 0 1 7 1 2 1 0 1 b) O vetor x 2v 1 + 3v 2 4v 3 tem coordenadas [x] B3 (2 3 4) na base B 3 As coordenadas de x em B 2 podem ser obtidas por multiplicação de [x] B3 com M (B2 B 3 ) da forma seguinte: Resolução do Ex 7: Notemos: 1 2 [x] B2 M (B2 B 3 ) [x] B3 0 1 0 1 B 1 a base padrão de R 2 B 2 a base B 2 : {v 1 (1 2) v 2 (2 3) } B 3 a base incógnita B 3 : {w 1 w 2 } 2 3 4 As colunas da matriz de transição de B 3 para B 1 sendo dadas pelos vetores coordenadas de {w 1 w 2 } na base padrão basta encontrar M (B1 B 3 ) Queremos que S seja a matriz de transição de B 3 para B 2 isso é: S M (B2 B 3 ) M (B2 B 1 ) M (B1 B 3 ) Multiplicando à esquerda os dois lados dessa expressão por M (B 2 B 1 ) obtemos: M (B1 B 3 ) M (B 2 B 1 ) S M (B1 B 2 ) S ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 2 ( ) 1 9 4 7 2
Concluemos que: Resolução do Ex 8: Notemos: B 1 a base padrão de R 2 w 1 : ( ) 9 w 2 : ( ) 1 4 B 2 a base B 2 : {v 1 (2 6) v 2 (1 4) } B 3 a base incógnita B 3 : {u 1 u 2 } As colunas da matriz de transição de B 3 para B 1 sendas dadas para os vetores coordenadas de {u 1 u 2 } na base padrão basta encontrar M (B1 B 3 ) Queremos que a matriz S seja a matriz de transição de B 2 para B 3 isso é: S M (B3 B 2 ) M (B3 B 1 ) M (B1 B 2 ) Multiplicando à direita os dois lados dessa expressão para M (B 1 B 2 ) obtemos: Passando aos inversos temos que: M (B1 B 3 ) M (B 3 B 1 ) ) M (B3 B 1 ) S M (B 1 B 2 ) S M (B2 B 1 ) ( S M (B2 B 1 ) M (B 2 B 1 ) S ( ) ( ) M (B1 B 2 ) S 2 1 4 1 6 4 2 1 ( 2 1 6 4 ) ( ) 1/2 /2 2 ( 0 ) 1 Concluemos que: Resolução do Ex 9: Notemos: u 1 ( ) 0 u 2 ( ) 1 B 1 a base de P 3 dada por B 1 : {x 1} B 2 a base de P 3 dada por B 2 : {2x 1 2x + 1} a) É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B 2 na base B 1 são: [2x 1] B1 (2 ) [2x + 1] B1 (2 1) Logo a matriz de mudança de base de B 2 para B 1 é dada por M (B1 B 2 ) 6 ( ) 2 2 1
b) A matriz de transição de B 1 para B 2 sendo a matriz inversa da matriz de transição de B 2 para B 1 calculemos que: ( ) M (B2 B 1 ) M 1/4 /2 (B 1 B 2 ) [ ] 1/4 1/2 Resolução do Ex 10: Notemos: B 1 a base de P 3 dada por B 1 : {1 x x 2 } B 2 a base de P 3 dada por B 2 : {1 1 + x 1 + x + x 2 } É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B 2 na base B 1 são dados por: [1] B1 (1 0 0) [1 + x] B1 (1 1 0) [1 + x + x 2 ] B1 (1 1 1) Logo a matriz de transição de B 2 para B 1 é dada por 1 M (B1 B 2 ) 0 0 0 1 A matriz de transição de B 1 para B 2 sendo a matriz inversa da matriz de transição de B 2 para B 1 calculemos que: 1 0 M (B2 B 1 ) M (B 1 B 2 ) [ ] 0 1 0 0 1 Referências [1] Steven J Leon Álgebra Linear com aplicações 8 a edição LTC 2011 7