Universidade Federal de Minas Gerais. Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano. Ananias Moreira

Universidade Federal de Minas Gerais Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano Ananias Moreira Belo Horizonte, 2010

Ananias Moreira Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano Monografia apresentada para conclusão do curso de Especialização em Matemática para professores (Matemática do Ensino Básico) da Universidade Federal de Minas Gerais. Orientador: Jorge Sabatucci Belo Horizonte 2010

Moreira, Ananias Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano 25 páginas Monografia (Especialização) - Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais. Departamento de Matemática. 1. Elipse 2. Hipérbole 3. Parábola I. Universidade Federal de Minas Gerais. Instituto de Ciências Exatas. Departamento de Matemática.

Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano Autor: Ananias Moreira Banca Examinadora: Prof. Dr. Francisco Dutenhefner Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática Profa. Dra. Viviane R. Tomaz da Silva Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática Prof. Jorge Sabatucci (Orientador) Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais, 17 de dezembro de 2010.

Agradecimentos À todos os meus colegas que fizeram o curso de Especialização em Matemática. Ao professor Jorge Sabatucci por me orientar na monografia e pelos ensinamentos e apoio durante a realização da mesma. Ao aluno Charles Souza do Amaral por ter ajudado e contribuído nessa monografia. À minha esposa, Antônia, por ter me motivado desde o início do curso. Enfim, a todos aqueles que contribuíram para a realização deste trabalho. Muito Obrigado.

"O homem, como qualquer outro animal, é por natureza indolente. Se nada o estimula, mal se dedica a pensar e se comporta guiado apenas pelo hábito, como um autômato." Albert Einstein

Sumário Introdução 2 1 Preliminares 4 2 Elipse 9 3 Hipérbole 13 4 Parábola 17 5 Comentários Sobre as Diretrizes das Curvas 22 5.1 Diretrizes da Elipse........................... 22 5.2 Diretrizes da Hipérbole......................... 22 5.3 Diretriz da Parábola.......................... 23 Conclusão 24 Referências Bibliográficas 25

Introdução Há tempos que, principalmente no ensino médio, tanto público como particular, nas disciplinas de física e matemática os gráficos e as figuras são retirados dos exercícios, dos trabalhos e até mesmo das provas que são aplicadas para alunos deficientes visuais com o pretexto de que os mesmos não tem condições de visualizar tais gráficos e figuras. Esse fato vem trazendo sérias dificuldades na compreensão da geometria plana e espacial, dificultando o acesso desses alunos nos cursos em que essas disciplinas são básicas pois, na maioria dos vestibulares as figuras e os gráficos são cobrados. Pensando nisso, desde o começo e durante a especialização, o meu objetivo no final do curso era propor e desenvolver uma monografia que facilitasse o aluno deficiente visual a visualizar as figuras da geometria plana e espacial, ajudando também os professores na descrição dessas figuras para este aluno. Inicialmente procurei o professor Jorge Sabatucci para me orientar numa monografia cujo tema era: "Como facilitar a comunicação do professor de matemática que enxerga com o aluno cego", ele gostou do tema, mas me pediu para procurar algum professor da Faculdade de Educação, pois por algum dos professores de lá eu seria melhor orientado e poderia produzir uma monografia de maior alcance. Já conhecendo o professor Jorge Sabatucci, optei por desenvolver o meu trabalho com ele. Então pedi a ele que me sugerisse outro tema. O professor disse-me para não abandonar o tema anterior e me propôs outro ligado à área de geometria que achei interessante e a respeito do qual consta este trabalho. Aceitei esse tema, pois se trata de um assunto de que gosto e que nunca tinha visto com tal abordagem. Depois de uma reunião presencial e de várias outras através do programa

de computador Skype (software gratuito que permite comunicação pela internet através de conexões de voz) mostraremos agora ao leitor como ficou disposto nosso trabalho. Durante a exposição desse trabalho vamos permitir certas redundâncias, por entendermos que elas são necessárias para uma boa compreensão de certas partes do texto. Nas demonstrações que faremos o termo "imagine"aparece algumas vezes, esse termo quase não é usado nos livros didáticos de matemática, porém na descrição de uma figura plana ou sólida para um aluno cego o termo é bastante usado e não traz nenhuma dificuldade para os demais. O objetivo desse trabalho é mostrar e provar que a interseção de um plano que não passa pelo vértice e não é perpendicular ao eixo com uma superfície cônica circular reta pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola dependendo da maneira com que o plano intersecta a superfície. Para isso, utilizaremos as esferas de Dandelin (Pierre Germinal Dandelin - 12/04/1794-15/02/1847), essas esferas tangenciam as geratrizes da superfície cônica e o plano secante. Essa monografia é composta por 5 capítulos. No Capítulo 1 apresentamos definições e a demonstração de um teorema que serão usados nos Capítulos 2, 3 e 4. No Capítulo 2 é apresentada a elipse como a curva interseção de um certo plano com uma superfície cônica circular reta. Nos Capítulos 3 e 4 são apresentadas da mesma forma a hipérbole e a parábola, respectivamente. E finalmente, no Capítulo 5, fazemos um breve comentário sobre as diretrizes das curvas mencionadas anteriormente.

Capítulo 1. Preliminares 4 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo daremos algumas definições e provaremos alguns resultados que serão utilizados nos capítulos seguintes. Definição 1. Considere uma circunferência contida num plano, uma reta r perpendicular ao plano passando pelo centro da circunferência e V um ponto pertencente a r fora do plano. Uma superfície cônica circular reta é o conjunto de todas as retas que passam por V e intersectam a circunferência. O ponto V é chamado de vértice, a reta r de eixo, as retas que passam por V e pela circunferência de geratrizes e a circunferência de curva diretriz. Figura 1.1: Superfície Cônica

5 Considere o plano que passa por V e é perpendicular a r. Desse modo a superfície cônica fica dividida em duas partes, uma em cada semiespaço determinado pelo plano, chamadas de folhas. A folha contida no semiespaço inferior, em relação ao plano, será chamada de folha 1 e a outra de folha 2. Definição 2. Considere dois pontos distintos F 1 e F 2 num plano α e um número real positivo k tal que k >F 1 F 2.Chama-se elipse o lugar geométrico dos pontos de α cuja soma de suas distâncias a F 1 e a F 2 é igual a k. Denominamos os pontos F 1 e F 2 de focos da elipse. Figura 1.2: Elipse de focos F 1 e F 2 Nesse caso temos que um ponto P pertence a elipse se, e somente se, P F 1 + P F 2 = k. Definição 3. Considere dois pontos distintos F 1 e F 2 num plano α e um número real positivo k tal que k < F 1 F 2. Chama-se hipérbole o lugar geométrico dos pontos de α cujo módulo da diferença de suas distâncias a F 1 e a F 2 é igual a k. Denominamos os pontos F 1 e F 2 de focos da hipérbole.

Capítulo 1. Preliminares 6 Figura 1.3: Hipérbole de focos F 1 e F 2 Nesse caso temos que um ponto P pertence a hipérbole se, e somente se, P F 1 - P F 2 = k. Definição 4. Num plano α considere uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Chama-se parábola o lugar geométrico dos pontos do plano α equidistantes da reta d e do ponto F. A reta d e o ponto F são denominados de reta diretriz e foco da parábola, respectivamente. Figura 1.4: Parábola de foco F e diretriz d Nesse caso temos que um ponto P pertence à parábola se, e somente se, P F = dist(p,d).

7 Teorema 1. Seja P um ponto exterior à uma esfera E de centro O. Todos os segmentos que partem de P e tangenciam a esfera E são congruentes e, além disso, os pontos de tangência desses segmentos com a esfera determinam uma circunferência. Figura 1.5: Esfera de centro O. Demonstração: Dado um ponto P exterior a E sejam r e s duas retas que passam por P e são tangentes à esfera nos pontos X e Y, respectivamente. Então os ângulos P XO e P Y O são retos, pois os segmentos OX e OY são raios da esfera. Como P OX e P OY são dois triângulos retângulos com hipotenusa OP comum e os catetos OX e OY são congruentes temos que P OX = P OY, logo P X=P Y. Agora vamos mostrar a segunda parte do teorema. Seja H a interseção da altura do P OX em relação ao vértice X com o segmento OP. Considere o plano π que passa por H e é ortogonal ao segmento OP, vamos mostrar que os pontos de interseção dos segmentos que passam por P e tangenciam a esfera estão contidos em π e equidistam de H. Seja I a interseção da altura do P OY em relação ao vértice Y com o segmento OP, da congruência dos triângulos P OX e P OY e pela construção de H e I segue que: X OH Y OI e X HO Y IO

Capítulo 1. Preliminares 8 Como OX e OY possuem a mesma medida e os pontos H e I estão sobre a semirreta OP temos: XHO = Y IO OH = OI H = I. Para ver que Y π basta observar que HY é perpendicular a OP. Com isso mostramos que os pontos de interseção dos segmentos que passam por P e tangenciam a esfera estão contidos numa circunferência de centro H e raio HX. Para concluir a demonstração basta provarmos a recíproca, ou seja, qualquer ponto da circunferência também é um ponto de tangência de um segmento, que passa por P, com a esfera. Dado um ponto Z dessa circunferência observe que ZH = XH e o segmento ZH é perpendicular ao segmento OP, pois ZH π. Logo os triângulos ZHO e XHO são congruentes, já que são dois triângulos retângulos com catetos possuindo a mesma medida. Da congruência anterior segue que: OX = OZ e X OH Z OH. Desses resultados, e como OP é um dos lados dos triângulos ZP O e XP O, obtemos que ZP O = XP O e assim P ZO = 90.

9 Capítulo 2 Elipse Imagine uma superfície cônica circular reta de vértice V e eixo e (para facilitar imaginemos o eixo e na vertical). Considere um plano α que não passa por V, não é perpendicular ao eixo da superfície cônica e intersecta a superfície cônica em todas as geratrizes como indicado na Figura 2.1, desse modo α intersecta a superfície cônica segundo uma curva γ. Figura 2.1: Interseção do plano α com a superfície cônica segundo uma elipse. Pode-se observar que na folha onde o plano intersecta a superfície existem duas esferas E 1 e E 2, em semiespaços opostos em relação a α, que tangenciam

Capítulo 2. Elipse 10 todas as geratrizes da superfície cônica e também o plano α nos pontos F 1 e F 2, respectivamente. Informalmente a existência dessas esferas pode ser sugerida da seguinte forma: Imagine que um balão esférico seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira α que contém V. Obtemos a esfera E 1 expandido esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este. De forma semelhante imagine que um balão esférico de raio muito grande seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira α que não contém V, de forma que não intersecte α. Obtemos a esfera E 2 contraindo esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este. Figura 2.2: As esferas E 1 e E 2 tangenciam todas as geratrizes e o plano α. Com isso podemos enunciar o seguinte teorema:

11 Teorema 2. A curva γ, obtida como anteriormente, é uma elipse de focos F 1 e F 2. Demonstração: O ponto interessante aqui é demonstrar que todos os pontos de γ estão na elipse de focos F 1 e F 2. O semiespaço que contém V será chamado de semiespaço superior e o semiespaço que não contém V será chamado de semiespaço inferior. Vamos admitir que E 1 está no semiespaço superior e E 2 no semiespaço inferior como indicado na figura abaixo. Figura 2.3: A elipse é a curva que limita a região sombreada. Dado um ponto P pertencente a curva γ, seja g a geratriz da superfície cônica que passa por ele. Temos que g tangencia E 1 e E 2. Sejam X e Y os pontos de tangência de g com E 1 e E 2, respectivamente, sendo a distância entre esses dois pontos, digamos, igual a k. O conjunto dos segmentos contidos nas geratrizes da

Capítulo 2. Elipse 12 superfície cônica, cujos extremos são os pontos de tangência dessas geratrizes com as esferas E 1 e E 2, formam um tronco de cone cujas geratrizes são congruentes a XY (Teorema 1). O ponto P está entre os pontos X e Y, logo P X + P Y = XY = k. Como P X e P F 1 são segmentos tangentes a esfera E 1 temos que P X=P F 1 (Teorema 1), de modo análogo segue que P Y =P F 2. Desses resultados, concluímos que P F 1 + P F 2 = XY = k. Para encerrar vamos mostrar que k = XY > F 1 F 2. De fato, basta observarmos que para qualquer ponto P de γ não colinear a F 1 e F 2 temos o triângulo F 1 F 2 P, da desigualdade triangular devemos ter P F 1 + P F 2 > F 1 F 2. Então, obtemos a seguinte relação: k = XY = P X + P Y = P F 1 + P F 2 > F 1 F 2. Caso P seja colinear aos pontos F 1 e F 2 podem ocorrer duas situações: i) o ponto F 2 entre os pontos F 1 e P ; ou ii) o ponto F 1 entre os pontos F 2 e P. No primeiro caso P F 1 > F 1 F 2 XY = P F 1 + P F 2 > P F 1 > F 1 F 2, no outro caso a demonstração é análoga. Assim fica demonstrado que todo ponto de γ está na elipse de focos F 1 e F 2 e constante k.

13 Capítulo 3 Hipérbole Imagine uma superfície cônica circular reta de vértice V e eixo e (para facilitar imaginemos o eixo e na vertical). Seja α um plano que não passa por V e intersecta as duas folhas da superfície cônica. Desse modo α intersecta a superfície cônica segundo uma curva γ. Figura 3.1: Interseção do plano α com a superfície cônica segundo uma hipérbole. Pode-se observar que existem duas esferas E 1 e E 2, uma em cada folha, tangenciando o plano α nos pontos F 1 e F 2, respectivamente, e todas as geratrizes da

Capítulo 3. Hipérbole 14 superfície cônica. Vamos denominar a folha em que está a esfera E 1 de folha 1 e a outra de folha 2. Informalmente a existência dessas esferas pode ser sugerida da seguinte forma: Imagine que um balão esférico seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira α que contém V. A esfera E 1 é obtida expandido esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este. A esfera E 2 pode ser obtida de maneira análoga. Figura 3.2: As esferas E 1 e E 2 tangenciam todas as geratrizes e o plano α. Com isso podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema 3. A curva γ, obtida como anteriormente, é uma hipérbole de focos F 1 e F 2.

15 Demonstração: Dado um ponto P de γ (consideremos P na folha 2) seja g uma das geratrizes da superfície cônica que passa por P ; percebe-se que g tangencia as esferas E 1 e E 2. Sejam X e Y os pontos de tangência de g com E 1 e E 2, respectivamente, como indicado na figura abaixo sendo a distância entre esses dois pontos, digamos, igual a k. Figura 3.3: A hipérbole é a curva que limita a região sombreada. Observe que o conjunto dos segmentos contidos nas geratrizes da superfície cônica, cujos extremos são os pontos de tangência dessas geratrizes com as esferas E 1 e E 2, formam um conjunto de segmentos de reta congruentes a XY pois, todas as geratrizes passam por V e, pelo (Teorema 1), os segmentos que partem de V e tangenciam as esferas E 1 (e E 2 ) são congruentes. Como P F 1 e g tangenciam a esfera E 1 temos, pelo Teorema 1, que P F 1 = P X. Analogamente, como P F 2 e g tangenciam a esfera E 2 obtemos que P F 2 = P Y Então, P F 1 P F 2 = P X P Y = XY = k Agora iremos mostrar que k = XY < F 1 F 2.

Capítulo 3. Hipérbole 16 Basta observarmos que para qualquer ponto P de γ não colinear a F 1 e F 2 temos o triângulo F 1 F 2 P, pela desigualdade triangular devemos ter Então segue o resultado, P F 1 P F 2 < F 1 F 2. XY = P F 1 P F 2 < F 1 F 2 Caso P seja colinear aos pontos F 1 e F 2 teremos que P estará entre os dois focos, logo a relação acima também é satisfeita. Assim fica demonstrado que todo ponto de γ está na hipérbole de focos F 1 e F 2 e constante k.

17 Capítulo 4 Parábola Imagine uma superfície cônica circular reta de vértice V e eixo e (para facilitar imagine o eixo e na vertical). Seja β um plano que contém e, e g uma das geratrizes contida em β. Se um plano α é perpendicular a β, não contém o vértice V e é paralelo a g, temos que a interseção de α com a superfície cônica gera uma curva γ em uma de suas folhas. Figura 4.1: Interseção do plano α com a superfície cônica segundo uma parábola. Percebe-se que o plano α divide uma das folhas da superfície cônica em duas regiões em semiespaços opostos. No semiespaço que contém o vértice V existe uma esfera E que tangencia todas as geratrizes da superfície cônica e também o plano α num ponto, seja F esse ponto. No outro semiespaço isso não ocorre, uma vez

Capítulo 4. Parábola 18 que a geratriz g está toda contida no semiespaço que contém V. Informalmente a existência dessa esfera pode ser sugerida da seguinte forma: Imagine que um balão esférico seja colocado dentro da superfície cônica, na folha 1 e no semiespaço de fronteira α que contém V. Obtemos a esfera E 1 expandido esse balão e ajustando-o de forma que ele sempre se mantenha tangente às geratrizes até que ele toque o plano, tornando-se tangente a este. Figura 4.2: A esfera E 1 tangencia todas as geratrizes e o plano α. Seja π o plano que passa por todos os pontos de tangência da esfera com a superfície cônica, a qual existe pelo Teorema 1. Definindo a reta d como d = π α temos o seguinte teorema: Teorema 4. A curva γ, obtida como anteriormente, é uma parábola de foco F e diretriz d. Antes de demonstrar esse teorema iremos fazer algumas definições e mostrar alguns resultados. Sejam: α β = t e π β = r.

19 Figura 4.3: A interseção do plano α com a superfície cônica é uma parábola. Como os planos α e π não são paralelos e são ambos perpendiculares a β segue que a reta d = α π é perpendicular a β. Assim os planos α, π e β têm somente um ponto em comum, que é a interseção da reta d com o plano β, digamos D. Dessa forma a interseção das retas t = α β e r = π β é dada por: t r = (α β) (π β) = (α π) β = d β = D Portanto as retas r, t e d se intersectam no ponto D. Em relação a reta r sabemos que r β e ela não é paralela a g β, então r e g são concorrentes, seja A = r g. Dado um ponto P da curva γ seja θ um plano que passa por P e é paralelo a π. Sejam:

Capítulo 4. Parábola 20 θ α = d θ β = s e B a interseção da geratriz g com a reta s. Como os planos α e θ não são paralelos e são ambos perpendiculares a β segue que a reta d = α θ é perpendicular a β. Assim os planos α, θ e β têm somente um ponto em comum, que é a interseção da reta d com o plano β, digamos C. Dessa forma a interseção das retas t = α β e s = θ β é dada por: t s = (α β) (θ β) = (α θ) β = d β = C Portanto as retas s, t e d se intersectam no ponto D. As retas d e d são paralelas pois d π, d θ e ambos os planos, π e θ, são perpendiculares a β, e além disso, d e d estão contidas em α. Agora iremos enunciar dois lemas que serão demonstrados após concluída a demonstração do Teorema 4. Lema 1. O quadrilátero ABCD está contido em β e é um paralelogramo. Considere a reta u perpendicular a d no ponto P e intersectando a reta d num ponto P. Lema 2. O quadrilátero PP DC é um retângulo. Observe que nesse caso a distância entre os pontos P e P é igual a distância do ponto P à reta d, ou seja: P P = dist(p,d). Seja h a geratriz da superfície cônica que passa por P. Se Q é o ponto onde h intersecta a esfera segue que P Q = AB, pois esses dois segmentos são geratrizes do tronco de um cone determinados pela interseção dos planos θ e π com a superfície cônica. Também temos, pelo Teorema 1, que P F = P Q.

21 Agora iremos demonstrar o Teorema 4. Demonstração do Teorema 4: De acordo com as considerações anteriores temos que: P F = P Q = AB (T eorema 1), AB = CD (Lema 1), CD = dist(p,d) (Lema 2) P F = dist(p,d). Como o ponto P, o ponto F, a reta d e a curva γ estão todos no plano α e P F = dist(p,d) para qualquer ponto P da curva, temos que os pontos de γ estão sobre a parábola de foco F e diretriz d. Agora passaremos às demonstrações dos lemas 1 e 2. Demonstração do Lema 1: Como os pontos A,B,C e D estão contidos em β segue a primeira parte do lema. Para mostrar a segunda parte basta observar que AD r e BC s, logo temos: r = π β, s = θ β e π//θ r//s AD//BC. De maneira análoga, como g//α, temos que AB//CD. Demonstração do Lema 2: Pela construção da reta u (u perpendicular a d ) e usando o fato de que d//d e P P u segue que os ângulos P P C e P P D são retos. E como d π, t β e π é perpendicular a β segue que as retas t e d são perpendiculares, logo temos que P D d e DC t P DC = 90. Já que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 temos que D CP = 90. Portanto o quadrilátero P P DC é um retângulo.

Capítulo 5. Comentários Sobre as Diretrizes das Curvas 22 Capítulo 5 Comentários Sobre as Diretrizes das Curvas 5.1 Diretrizes da Elipse No Capítulo 2, sobre a elipse, imagine um plano que passa por todos os pontos de tangência de E 1 com a superfície cônica. Note que esse plano intersecta α segundo uma reta, seja d 1 essa reta. Da mesma forma, imagine um outro plano que passa por todos os pontos de tangência de E 2 com a superfície cônica. Este outro plano intersecta o plano α segundo uma outra reta, seja d 2 essa reta. As retas d 1 e d 2 são denominadas diretrizes da elipse segundo os focos F 1 e F 2, respectivamente. Pode-se provar que a razão entre as distâncias de um ponto qualquer da elipse a F 1 e desse mesmo ponto a d 1 é constante e menor que 1. Analogamente pode-se provar que o mesmo ocorre para F 2 e d 2. 5.2 Diretrizes da Hipérbole No Capítulo 3, sobre a hipérbole, imagine um plano que passa por todos os pontos de tangência de E 1 com a superfície cônica. Note que esse plano intersecta α segundo uma reta, seja d 1 essa reta. Da mesma forma, imagine um outro plano que passa por todos os pontos de tangência de E 2 com a superfície cônica. Este outro plano intersecta o plano α segundo uma outra reta, seja d 2 essa reta.

23 5.3. Diretriz da Parábola As retas d 1 e d 2 são denominadas diretrizes da hipérbole segundo os focos F 1 e F 2, respectivamente. Pode-se provar que a razão entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole a F 1 e desse mesmo ponto a d 1 é constante e maior que 1. Analogamente pode-se provar que o mesmo ocorre para F 2 e d 2. 5.3 Diretriz da Parábola Na demonstração do Teorema 4, a reta d, que é a interseção do plano π com o plano α, é denominada diretriz da parábola. Como a distância de P a F é igual a distância de P a d então a razão entre essas distâncias é igual 1.

24 Conclusão Conversando com alguns colegas que também são professores de matemática sobre o ensino dessa disciplina, percebemos que, apesar de muitos estudos e pesquisas comprovarem que o ensino da geometria deve ser melhor explorado desde as séries iniciais até o ensino médio, a predominância da álgebra ainda é muito grande, deixando a desejar o raciocínio geométrico. Em virtude disso fica difícil aproveitar um trabalho como este, cuja abordagem é quase toda geométrica, nos ensinos fundamental e médio. Já para o curso de graduação em matemática, onde se espera que o raciocínio geométrico seja mais enfatizado, deixamos aqui, nessa monografia, um material para futuras pesquisas sobre o assunto. Pessoalmente, trabalhar este tema, "Interseções de uma Superfície Cônica Circular Reta com um Plano", foi muito prazeroso e que me trouxe um pouco mais de conhecimento sobre o assunto, já que para mim a abordagem sobre o mesmo foi novidade. Só tenho a lamentar que devido as minhas várias viagens à serviço o tempo ficou curto e não tive como aprofundar-me mais no Capítulo 5. Assim como eu, há em Belo Horizonte mais três professores de matemática que são cegos e que, tenho certeza, gostariam de ler sobre o assunto. Para eles e outros que possam vir, deixo uma cópia em braile dessa monografia e espero que de sua leitura outros trabalhos possam ser produzidos no futuro.

25 Referências Bibliográficas [1] Elementos de Geometria. 1 [2] BARRETO FILHO, Benigno, SILVA, Cláudio Xavier. Coleção Matemática Aula por Aula, Ensino Médio - Terceira Série. Impressão Braille da primeira edição, 2003, com a autorização da editora FTD SA. [3] IEZZI, Gelson, e outros. Matemática - terceira série do segundo grau. Transcrição braille da primeira edição, autorizada pela Atual Editora LTDA, 1980. 1 A versão consultada foi adquirida em um cebo (livraria de livros usados) e está sem a capa e suas primeiras páginas. Isso não nos permitiu apresentar mais informações sobre o livro.