APLICAÇÕES À GEOMETRIA PLANA 3 33 TÓPICO Gil da Costa Marques 3.1 Introdução 3. Relações e Funções 3.3.1 Retas e Segmentos de retas no Plano 3.3. Posição relativa de duas retas 3.4.1 Ângulos e Medidas de Ângulos 3.4. Mais Sobre Ângulos 3.5 Polígonos 3.6.1 Cônicas 3.6. Hipérbole 3.6.3 Parábola 3.6.4 Elipse 3.6.5 A Circunferência Licenciatura em Ciências USP/ Univesp
35 3.1 Introdução Geometria é um ramo da matemática que estuda as propriedades do espaço e as figuras que ele comporta. No caso das figuras, procuramos analisar suas formas, tamanhos, posições relativas, bem como deduzimos resultados (Teoremas ou Proposições) que podem ser obtidos a partir de alguns postulados. As figuras contidas num plano são alvo de estudo da geometria dita plana. As figuras tridimensionais são estudadas na geometria espacial. A geometria teve início cerca de 3.000 anos antes de Cristo no Egito. A necessidade de medir com precisão as terras constantemente demarcadas após as sucessivas inundações do Nilo, ou o uso dessas demarcações para efeito de pagamento de impostos, constituiu-se no pano de fundo desse desenvolvimento inicial da geometria. A palavra geometria advém desses primeiros esforços de medidas da terra. Os babilônicos introduziram aperfeiçoamentos nessa área do conhecimento, a qual foi consolidada pelos gregos. O marco dessa consolidação foi a coletânea de livros Os Elementos, escritos por Euclides. A geometria experimentou grandes revoluções ao longo da História. A primeira delas deve ser creditada a René Descartes, que introduziu a Geometria Analítica. Bolyai, Lobatchesvky, Gauss e Riemmann desenvolveram geometrias não Euclidianas. Einstein associou uma propriedade do espaço à matéria nele existente. A teoria das Cordas e a Teoria M propõem espaços com mais de três dimensões. Na geometria analítica, o conceito de função tem um papel central, com aplicações tanto na geometria plana quanto na geometria espacial. Neste tópico, analisaremos aplicações do conceito de função no estudo das retas, semirretas, segmentos de reta, bem como de algumas figuras planas, especialmente polígonos, e, finalmente, as cônicas. Na geometria analítica, o espaço é pensado como um conjunto (infinito) de pontos. Assim, ao introduzir a ideia de pontos no espaço, somos levados a pensar como caracterizar cada ponto desse espaço. Com isso, procuramos dar uma definição mais operacional para esse conceito. Isso pode ser feito uma vez introduzido um referencial. Adotado um determinado sistema de referência, cada ponto do espaço pode ser especificado a partir das suas coordenadas. Um ponto pode ser especificado por meio das coordenadas cartesianas (x, y, z). Temos assim, uma correspondência biunívoca entre um ponto do espaço e suas coordenadas.
36 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 3. Relações e Funções Consideremos uma relação entre as coordenadas (x,y) no plano, que pode ser escrita genericamente como: F( xy, ) = 0 3.1 Uma curva no plano pode ser escrita como uma relação da forma acima. Por exemplo, a circunferência é definida como a curva para a qual vale a seguinte relação: x + y = R 3. Onde R é o raio da circunferência. Na relação acima temos duas funções implícitas nela. A primeira delas é a função: ( ) =+ + y x R x 3.3 que descreve apenas um segmento da circunferência. A segunda é a função: ( ) = y x R x 3.4 Figura 3.1: Segmentos da circunferência descrito por funções. / Fonte: Cepa. Assim, nem toda relação é uma função. No entanto, relações como a acima definem funções implícitas. 3.3.1 Retas e Segmentos de retas no Plano No plano, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e o par de coordenadas (x, y) a ele associado: P ( xy, ) 3.5 TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
37 Considerando-se uma reta contida no plano x y (o plano caracterizado pela equação z = 0), sua expressão mais geral é: y = ax + b 3.6 ou seja, a equação que relaciona as coordenadas x e y dos pontos que pertencem à reta é uma equação do primeiro grau. Muitas vezes, especialmente quando y e x se referem a grandezas físicas, referimo-nos às constantes a e b como parâmetros. Um gráfico típico da função afim, aquela sob a forma da expressão 3.6, é apresentado na figura 3.. Figura 3.: Gráficos da função afim e a determinação dos parâmetros a e b. / Fonte: Cepa. O parâmetro b pode ser facilmente identificado com o valor da coordenada y quando x = 0, ou seja, ele corresponde ao valor da função para esse valor de x: y( 0) = b 3.7 O parâmetro a é denominado coeficiente angular da reta. Para determiná-lo, basta considerar dois pontos P 1 e P, que pertencem à reta e cujas coordenadas são: P ( x, y ) (, ) 1 1 1 P x y 3.8 Da expressão 3.6 segue-se que, uma vez que eles pertençam à reta, temos: y = ax + b 1 1 y = ax + b 3.9
38 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Subtraindo-se a primeira da segunda, encontramos: a y y y x x x 1 = = 1 3.10 Uma reta não perpendicular ao eixo x é inteiramente caracterizada pelo seu coeficiente angular (a) e pelo ponto (0, b) no qual a reta intercepta o eixo y. A partir de um ponto A localizado sobre uma reta, (x, y)+, podemos determinar duas semirretas. Cada uma delas é caracterizada como o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem a expressão 3.6, bem como a uma das duas condições: x x x x A A 3.11 Dois pontos A e B sobre uma reta, de coordenadas (x A, y A ) e (x B, y B ), determinam um segmento de reta. Este, por outro lado, é definido como o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem à condição: Figura 3.3: Segmento de reta. / Fonte: Cepa. x x x A B 3.1 3.3. Posição relativa de duas retas Figura 3.4: Retas reversas. / Fonte: Cepa. Pode-se falar de 3 posições relativas de duas retas. Diz-se que duas retas são reversas quando elas não estão contidas na mesma superfície plana. ou seja, não há uma superfície plana que contenha as duas retas. Nesse caso, as retas não se encontram. Consideremos agora as duas situações possíveis quando duas retas pertencem ao mesmo plano. Duas retas são ditas paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular. Diferem, portanto, apenas no que diz respeito ao parâmetro b. Figura 3.5: Retas paralelas. / Fonte: Cepa. TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
39 Quando duas retas r e s não são paralelas, elas se interceptam em algum ponto P no plano. Nesse caso, dizemos que as retas são concorrentes. O ponto no qual duas retas, satisfazendo às equações y = ax+ b 1 1 1 y = ax+ b Figura 3.6: Retas concorrentes. / Fonte: Cepa. 3.13 se interceptam, tem coordenadas (x P,y P ) dadas pelas expressões: b y1 = y = yp a1xp + b1 = axp + b xp = a y = a x + b y b = a b + b 1 P p P a1 a b a 1 1 3.14 Por exemplo, o ponto de encontro das retas y = 5x 4 1 y = 3x+ 3.15 tem coordenadas (3, 11). 3.4.1 Ângulos e Medidas de Ângulos Considere o caso de duas retas concorrentes. As semirretas r e s, que se originam no ponto de intersecção, têm orientações que diferem entre si pela inclinação entre elas. Para medir a inclinação definimos a grandeza ângulo. Ângulos podem ser medidos, uma vez que podem ser comparados. O ângulo especifica quão inclinadas as duas retas estão uma em relação à outra. Para entender o conceito de ângulo, consideremos circunferências concêntricas desenhadas a partir do ponto P. Consideremos agora a relação entre o comprimento do arco e o raio da circunferência. Dadas duas retas congruentes quaisquer, essa relação não depende do raio da circunferência. É uma característica das direções relativas entre elas a sua inclinação.
40 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Podemos fazer uso de duas unidades de medida de ângulos. É muito comum, no estudo do movimento circular, o uso de variáveis angulares. Assim, é importante entender como medimos ângulos. Na medida de um ângulo podemos utilizar qualquer uma das duas unidades: graus e radianos. No caso do grau, dividimos a circunferência completa em 360 subdivisões. Um grau corresponde a uma dessas 360 subdivisões. Figura 3.7: Com o transferidor medimos ângulos em graus. / Fonte: Cepa. Figura 3.8: Definição de grau como unidade de medida de ângulos. / Fonte: Cepa. Sugerimos aqui que se dê uma boa olhada no transferidor. A medida de um ângulo em graus é efetuada determinando-se quantas vezes o ângulo é maior do que um grau. Para a medida do ângulo em radianos, determinamos o comprimento do arco(s) associado a ele e o dividimos pelo valor do raio. Temos, portanto: Figura 3.9: Definição de radiano como unidade de medida de ângulos. / Fonte: Cepa. s ϕ= R 3.16 A circunferência toda corresponde a π radianos. Portanto, ao valor de 360 correspondem π radianos. Pode-se escrever o coeficiente angular de uma reta, em termos do ângulo θ que ela forma com o eixo x, como: a y y x x 1 = = θ 1 tg 3.17 TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
41 3.4. Mais Sobre Ângulos Levando-se em conta a possibilidade de três retas serem congruentes num ponto comum a todas, os ângulos formados quando levamos em conta uma delas são ângulos adjacentes. Duas retas concorrentes definem quatro ângulos. Os pares de ângulos não adjacentes são denominados opostos pelo vértice. O ângulo entre duas retas de coeficientes angulares definidos pelos ângulos θ 1 e θ é dado pela diferença desses coeficientes: θ=θ1 θ 3.18 Os ângulos opostos pelo vértice são iguais. Dois ângulos são complementares se a soma de seus valores for igual a 90. Ângulo reto é aquele cujo valor da medida resulta ser igual a 90. Ângulo raso é aquele para o qual sua medida resulta ser 180. Ângulos agudos são aqueles cujos valores são menores do que 90. Ângulos obtusos são aqueles que excedem, em valor, 90. Dizemos que duas retas concorrentes são perpendiculares se o valor de qualquer um dos quatro ângulos por elas formados for um ângulo reto. Retas perpendiculares obedecem à seguinte relação entre seus coeficientes angulares: Figura 3.10: Ângulos adjacentes, opostos pelo vértice e complementares. / Fonte: Cepa. Figura 3.11: Retas Perpendiculares. / Fonte: Cepa. 1 a1 = a 3.19 Figura 3.1: Retas perpendiculares entre si. / Fonte: Cepa. desde que existam 1 e.
4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Por exemplo, as retas são ortogonais entre si. y = 5x 4 y 1 1 = x+ 3 5 3.0 3.5 Polígonos Outra classe relevante de figuras planas são aquelas que podem ser geradas a partir de um conjunto de pontos A 1, A,...A n pertencentes ao plano. Analisaremos o caso em que nenhum conjunto de três deles, contíguos, não pertencentes à mesma reta, esteja alinhado. Cada um desses pontos tem coordenadas dadas por: A( y, x ); A ( y, x ); ; A( y, x ) A ( y, x ) 1 1 1 i i i n n n 3.1 A distância d(a 1, A ) entre dois pontos A 1, A no plano é dada pela expressão: (, ) = ( ) + ( ) d A A y y x x 1 1 1 3. Faremos, em seguida, com que cada um desses pontos seja unido por meio de segmentos de linha ou por meio de arcos. Isso será feito em sucessão, terminando finalmente pelo primeiro (aquele pelo qual começamos). Unimos o ponto A 1 até o ponto A, depois ao ponto A 3 e assim sucessivamente, até voltarmos ao ponto A 1. Algumas das figuras geradas por Figura 3.13: Polígonos Irregulares. / Fonte: Cepa. meio do procedimento acima têm um grande apelo estético. TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
43 Neste tópico, analisaremos as curvas resultantes do processo acima descrito quando utilizamos segmentos de reta para interligar os pontos em sucessão. A curva resultante tem o nome de polígono. Os pontos A 1, A,...A n são denominados vértices do polígono. Os segmentos entre cada par de pontos são denominados lados do polígono. Podemos classificar os polígonos em côncavos e convexos. Estes últimos são mais interessantes, pois eles incluem os polígonos regulares não estrelados. Para entendermos a diferença entre as duas categorias, basta tracejar uma linha reta que coincida com algum dos lados. Podemos agora antever duas situações. Ou as linhas retas aludidas acima cortam o polígono para algum segmento considerado ou não cortam o polígono, independentemente do lado considerado. Neste último caso, dizemos que o polígono é convexo. De outra forma, ele é dito côncavo. Nomeamos os polígonos de acordo com o seu número de lados. Triângulos são polígonos com três lados. São denominados quadriláteros aqueles com quatro lados. Dando continuidade à nomenclatura, utilizamos sempre os prefixos gregos para designá-los. Eles são chamados pentágonos (aqueles com 5 lados), hexágonos (contendo 6 lados), heptágonos (7), octógonos (8), eneágonos (9), decágonos (10), e assim por diante. São chamados polígonos regulares aqueles que têm todos os lados congruentes (de mesmo comprimento), bem como são congruentes todos os ângulos. O fato notável em relação aos polígonos regulares é poderem todos eles ser construídos com os instrumentos euclidianos: a régua e o compasso. Para construí-los devemos saber como dividir uma circunferência em partes iguais. Figura 3.14: Polígonos regulares. / Fonte: Cepa. Figuras triláteras são aquelas que têm três lados; e triângulo equilátero é o que tem os 3 lados iguais; triângulo isósceles é aquele que tem lados iguais, enquanto definimos o triângulo
44 Licenciatura em Ciências USP/Univesp escaleno como aquele que tem 3 lados desiguais; um triângulo é dito retângulo quando ele tem um ângulo reto e o triângulo é obtusângulo quando tem um ângulo obtuso; um triângulo acutângulo é aquele que tem o 3 ângulos agudos. Entre as figuras que têm 4 lados - os quadriláteros, o quadrado é aquele que tem os 4 lados iguais. O perímetro de um polígono é dado pela soma das distâncias entre seus vértices. Escrevemos: P = d( A, A ) + d( A, A ) + d( A, A ) + d( A, A) 1 3 n 1 n n 1 3.3 A área S de um polígono pode ser expressa em função das coordenadas dos pontos A 1, A,...A n. Assim, no caso de um triângulo, podemos escrever sua área em função das coordenadas dos vértices como: A Figura 3.15: A área de um triângulo, um polígono de três lados, pode ser calculada por meio das coordenadas de seus vértices. No exemplo A um triângulo retângulo e, em B, um triângulo qualquer. / Fonte: Cepa. B 1 S = y + y x x + y + y x x + y + y x x ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 3 3 3 1 3 1 3.4 3.6.1 Cônicas As cônicas são curvas que podem ser descritas por meio de funções. É importante salientar, no entanto, que isso só é possível quando expressamos a distância do ponto no espaço em função do ângulo formado pela reta que interliga esse ponto e a origem das coordenadas. Essas coordenadas são denominadas coordenadas polares. Seja r a coordenada distância do ponto até a origem e θ, o ângulo já mencionado. Em termos dessas coordenadas, uma cônica Figura 3.16: Distância e ângulo associado a um ponto do espaço (coordenadas polares). / Fonte: Cepa. TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
45 é uma função que expressa a dependência da distância do ponto com o ângulo. A forma mais geral de uma cônica é: ( θ ) R C r = (1 + εcos θ) 3.5 Onde R c e ε são constantes. Desta última constante, denominada parâmetro de excentricidade, ε, depende a forma da cônica. O parâmetro R c será definido como o comprimento característico da cônica. Finalmente, queremos ressaltar que as cônicas podem ser escritas em coordenadas polares por meio do uso da excentricidade e de outro parâmetro com dimensão de comprimento. Este parâmetro é introduzido quando tais curvas são definidas a partir de distâncias a pontos ou retas. O parâmetro definido a partir das distâncias de pontos sobre a curva até pontos fixos ou retas (como o semieixo maior da elipse) será doravante designado por a. Essas definições introduzem uma distância característica da curva. Como é de se esperar, existe uma relação entre o parâmetro R c da expressão e a distância caraterística já mencionada. A relação entre os dois parâmetros pode ser utilizada como uma forma de definir a excentricidade das diversas cônicas. Assim, podemos introduzir relações entre eles de duas formas distintas. A primeira forma é válida tanto para a elipse quanto para a hipérbole. Escrevemos nesse caso: RC ( 1 ) =± a ε 3.6 onde o sinal + se aplica à elipse enquanto o sinal menos se aplica à hipérbole. Para a circunferência e para a parábola escrevemos Rc = a 3.7 A seguir apresentaremos, de forma sucinta, as diversas cônicas. Figura 3.17: As quatro cônicas. / Fonte: Cepa.
46 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 3.6. Hipérbole Essa curva é caracterizada ou definida a partir dessa propriedade pelo fato de que as distâncias r e r' de um ponto sobre a curva até dois pontos localizados no plano, denominados focos, são tais a satisfazerem: r r =± a 3.8 onde, na expressão acima, a é a distância entre os focos. O sinal + ou se aplica a cada um dos ramos da hipérbole. Lembramos que a hipérbole é uma curva que contém dois ramos, cada um deles tendo um foco distinto (Figura 3.18). A partir da expressão 3.6 podemos constatar que, para valores do parâmetro excentricidade superiores a 1, a cônica é uma hipérbole. As assíntotas da hipérbole são as linhas cujas A B inclinações são dadas pela expressão: com cosα = ±ε ε>1 1 3.9 3.30 Figura 3.18: A : quando ε > 1, temos a hipérbole. B : quando ε = 1 temos a parábola. / Fonte: Cepa. Levando-se em conta a relação entre a metade da distância entre os focos, uma distância característica da hipérbole, e o comprimento também característico dela, dada pela expressão 3.6, escrevemos essa curva em coordenadas polares como: r ( θ ) ( 1 ) a ε = ( ± 1 + εcos θ) 3.31 onde os sinais ± estão associados aos diferentes ramos da hipérbole. A seguir, consideraremos, como já o fizemos antes, apenas o ramo associado ao sinal positivo. TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
47 3.6.3 Parábola A parábola é uma cônica para a qual a excentricidade assume o valor ε = 1. Assim, podemos descrevê-la, utilizando coordenadas polares por meio do uso de apenas um parâmetro, o comprimento característico dado pela expressão 3.7. Escrevemos tal curva, em função desse parâmetro, como: a r = 1 + cos θ 3.3 A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que se situam a distâncias iguais de um ponto (denominado foco) e de uma reta conhecida como diretriz. O parâmetro a, a distância característica da parábola, é a distância do foco à diretriz (Figura 3.19). Figura 3.19: Qualquer ponto na hipérbole está mais próximo de um foco do que de outro. Qualquer ponto na parábola está à mesma distância do foco e da diretriz. / Fonte: Cepa.
48 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 3.6.4 Elipse A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos do plano que distam de dois pontos, conhecidos como focos, por um valor fixo que denotamos por a. Ou seja, sendo r e r tais distâncias, escrevemos para os pontos localizados sobre a elipse: r+ r = a 3.33 Em analogia com o caso da hipérbole (Expressão 3.8), definimos o parâmetro a como a metade da distância mantida constante ao longo da elipse. É fácil perceber que a distância a é igual ao semieixo maior da elipse. A elipse se distingue das cônicas anteriores pelo fato de que sua excentricidade é negativa (ε < 1). De acordo com o que foi discutido na introdução, podemos escrever a seguinte equação para a elipse: r ( θ ) ( 1 ε ) a = (1 + εcos θ) 3.34 Quando escrevemos a equação da elipse em coordenadas polares, fazemos uso do semieixo maior da elipse bem como do semieixo menor. Claramente podemos relacioná-lo aos dois parâmetros utilizados quando a escrevemos em coordenadas polares. A relação entre o semieixo menor e os dois parâmetros já mencionados é obtida a partir de uma relação simples envolvendo triângulos retângulos. Da figura 3.0a, inferimos que: b= a 1 ε 3.35 Utilizando a expressão 3.34 concluímos que os pontos de aproximação máxima e mínima da origem, denominados, respectivamente, afélio e periélio, ocorrem para valores dos ângulos para os quais cosθ = ±1. Assim, os valores r + (distâncias máximas) e r (distâncias mínimas) são dados por: ( 1 ) r = ± a ±ε 3.36 TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
49 Lembramos, finalmente, que a área da elipse é dada pela expressão: A = πab 3.37 A B C D Figura 3.0: A : semi-eixo maior; B : foco; C : afélio e periélio; D : área da elipse. / Fonte: Cepa. 3.6.5 A Circunferência A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto denominado centro da circunferência. Essa distância é identificada como o comprimento característico da circunferência. Da expressão 3.6 segue-se que a circunferência é uma cônica cuja excentricidade é nula (ε = 0). Escrevemos nessas circunstâncias: r = a = R C 3.38 Figura 3.1: A circunferência é uma elipse de excentricidade 0. Isto acontece quando os dois focos estão sobrepostos, no centro da circunferência. / Fonte: Cepa.