MATEMÁTICA A 01. (Pucpr) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode kt ser determinado pela equação N N0e em que N 0 é a quantidade inicial, isto é, N0 N (0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (Dados: In 0,69 In 5 1,61) a) 11 minutos e 5 segundos. b) 11 minutos e 15 segundos. c) 15 minutos. d) 5 minutos. e) 5 minutos e 0 segundos. 0. (Uepg) Se a e b, com a b, são as raízes da equação correto. 01) log (a b) 0) logb b 6 1 04) log 1 (a b ) 1 08) loga a 1 16) logb a 0 x1 5 4 4, assinale o que for 1 x 0. (Uepg) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade log9 x 5 log x 1, assinale o que for correto. 01) Existe uma única solução, que é um número primo. 0) Existem duas soluções cuja soma é positiva. 04) Existem duas soluções cujo produto é negativo. 08) Existe uma única solução fracionária. 16) Existe uma única solução, que é menor do que log5 65. 04. (Uem) Assinale o que for correto. 10 1 01) log. 9 0) 0. 04) A equação logx x não tem solução inteira. 08) log10 1 log5. 16) 1 log5 5. 5 x x1 05. (Uem) Considere a seguinte função f(x) 4 cujo domínio é conjunto dos números reais. Com relação a essa função, assinale o que for correto. 01) O mínimo da função f ocorre em x = 0.
1 0) O conjunto solução da inequação f (x) <1 é S x x 1. 04) Para x = 0, tem-se log f(x). 1 1 1 1 08) O conjunto solução da inequação f (x) > 8 é S x x ou x. 4 4 16) log f (1) não existe. 1 x 1 06. (Uepg) Sobre a equação a b x, onde a e b são números reais positivos tais que log b = 6 log a, assinale o que for correto. 01) A soma das soluções da equação é 1. 0) As soluções da equação pertencem ao intervalo [, ]. 04) A equação tem duas soluções negativas. 08) O produto das soluções da equação é positivo. 16) Uma das soluções da equação é negativa. 07. (Pucpr) Sabendo que log0 = 1, e log5 = 0,7, é correto afirmar que log5 0 corresponde a: a) Exatamente. b) Exatamente 0,6. c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6. d) Um valor entre 1,8 e 1,9. e) Nenhuma das alternativas anteriores. Gabarito: Resposta da questão 1: [C] kt N N0e kt 10k 8000 500 e e 16 Também sabemos que: 10k t t 4t 1 1000 500 e 16 ln ln 1 4 t t h 4 Ou seja, t = 15 minutos. Resposta da questão : 01 + 0 + 04 + 08 + 16 = 1. Resolvendo a equação, obtemos x1 5 (x1) x1 4 4 5 4 0 1 x x1 x1 ( 1) ( 4) 0 x 1ou x. Portanto, sendo a b, vem que a 1 e b. [01] Correto. De fato, pois log (1 ) log log. [0] Correto. Com efeito, temos log 6 log 1.
[04] Correto. De fato, pois log 1 (1 ) log 1 log. 1 [08] Correto. Tem-se que 1 1 1 log1 1 1 log log. [16] Correto. Com efeito, já que log 1 0. Resposta da questão : 01 + 16 = 17. 1 log9 x 5 log x 1 log (x 5) log x 1 log (x 5) log (x) log (6x 15x) 6x 15x 9 0 Resolvendo a equação, temos x = ou x = -1/ (não convém). [01] (Verdadeira). x =. [0] (Falsa). Existe apenas uma solução. [04] (Falsa). Existe apenas uma solução. [08] (Falsa). A solução x = é inteira. [16] (Verdadeira). < log 5 65, ou seja, < 4. Resposta da questão 4: 01 + 04 + 08 + 16 = 9. [01] Verdadeira, pois 10 1 log 10 log 10 0,5 5 e 4. [0] Falsa, pois 0 = 400 e 9 = 51 e 400 < 51. [04] Verdadeira, pois graficamente. x log x x x, equação que não possui solução, isso pode ser verificado
10 [08] Verdadeira. log10 1log5 log10 log5 1 log 1 log 1. 5 [16] Verdadeira, pois 1 5 5 5 1 e log5 5 e 5 1. 5 Resposta da questão 5: 0 + 04 + 08 = 14. (01) Falso. f(x) 4 x x1, o mínimo da função ocorre para x b vértice xvértice ( 1) xvértice 1 a () 4. (0) Verdadeiro. x x1 f(x) 1 4 1 x x 1 0 1 x1 Calculando as raízes, obtemos: x x 1 0. x 1 Estudando os sinais da função, temos: Logo, 1 S x x 1 (04) Verdadeiro. x x1 1 Para x = 0, tem-se log f(x) log 4 log 4. (08) Verdadeiro. x x1 f(x) 8 4 8 4x x 4x x 5 0 Calculando as raízes, obtemos: Estudando os sinais da função, temos: x 4x x 5 0 x 1 1 1 4. 1 1 4
Logo, 1 1 1 1 S x x ou x 4 4 (16) Falso. (1) (1) 1 0 log f(1) log 4 log 4 0 Resposta da questão 6: 01 + 0 + 16 = 19. Cálculos Auxiliares 1 1 x1 x x1 x 1 a b loga logb (x 1)loga logb x 1 (x 1)loga (6loga) x 6 x1 (x 1) x x 6 0 x x Portanto Item (01) Verdadeiro A soma das soluções da equação é Item (0) Verdadeiro x1, x Item (04) Falso x1 Raízes x Item (08) Falso O produto das soluções da equação é Item (16) Verdadeiro Uma das soluções da equação é Resposta da questão 7: [D] x1 log 0 1, Log50 = 1, 857 (entre 1,8 e 1,9). log 5 0,7 x1 x 1. x 1.x ( ) () 6 (negativo). (negativa).
MATEMÁTICA B e E 01. (Uece) As medidas das arestas de um paralelepípedo reto, em metros, são as raízes da equação x 5x 8x t 0, onde t é um número real. A medida da diagonal deste paralelepípedo é: a) 6 m. b) 8 m. c) m. d) 5 m. 0. (Unicamp) Considere o polinômio a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que: a) a 0. b) a 1. c) a 0. d) a 1. 0. (Mackenzie) Seja p(x) x x ax a, onde a é um número real. Se x 1 é P(x) x 11x 17x 6 um polinômio do º grau e x 1 um de seus fatores. A média aritmética das raízes de P(x) é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 6 04. (Ufrgs ) Considere o polinômio 4 p(x) x x 7x 8x 1. Se p() 0 e p( ) 0, então as raízes do polinômio p(x) são: a), 0, 1 e. b), 1, e. c), 1, 1 e. d), 1, 0 e. e),, 1 e. 05. (Espcex (Aman)) O polinômio deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é 5 f(x) x x x 1, quando dividido por q(x) x x
a) 10. b) 4. c) 0. d) 4. e) 10. 06. (Upf) Se o polinômio a) b) 1 c) 0 d) e) 07. (Pucpr ) Se (x ) é um fator do polinômio a). b). c). d) 6. e) 6. 4 P(x) x x mx p é divisível por D(x) x 1, o valor de m p é: x kx 1x 8, então, o valor de k é igual a: 08. (Epcar (Afa) ) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é a) 8 81 b) 15 81 c) 18 81 d) 81 09. (Fgv) Dois dados convencionais e honestos são lançados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos números das faces seja maior que 4, ou igual a, é: a) 5 6 b) 17 18 c) 11 1 d) 8 9 e) 1 6
10. (Mackenzie) Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, que deve ser reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é: a) 4 5 b) 7 8 c) 9 10 d) 11 1 e) 15 16 11. (Espcex (Aman) ) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é: a) 1. 45 b) 14. 45 c) d) 59. 450 59. 15 e) 11. 545 1. (Uerj) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y 60. Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e 1 b) 8 e 4 c) 5 e 1 d) 50 e 4
1. (Epcar (Afa)) Uma caixa contém 10 bolas das quais são amarelas e numeradas de 1 a ; verdes numeradas de 1 a e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração. A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é: a) 8 7! b) 7! c) 5 4! d) 10! 14. (Uece ) Um conjunto X é formado por exatamente seis números reais positivos e seis números reais negativos. De quantas formas diferentes podemos escolher quatro elementos de X, de modo que o produto destes elementos seja um número positivo? a) 45. b) 5. c) 5. d) 55. GABARITO 01) C 0) C 0) E 04) E 05) A 06) E 07) E 08) D 09) D 10) E 11) D 1) B 1) A 14) D
MATEMÁTICA C 01. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual os pontos P (1, ) e Q (4, 6) são vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao segmento PQ que contém o ponto (8, 6), então a medida da área do triângulo PQM é: u.a unidade de área a) 7 u.a. b) 8 u.a. c) 9 u.a. d) 10 u.a. 0. (Ita) Considere os pontos A (0, 1), B (0,5) e a reta r : x y 6 0. Das afirmações a seguir: I. d(a,r) d(b,r). II. B é simétrico de A em relação à reta r. III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C (,) ou C (,). É (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III. 0. (Uece) No referencial cartesiano ortogonal usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y x 1 intercepta os semieixos positivos OX e OY, respectivamente, nos pontos P e Q formando o triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a entre os pontos P e Q é igual a: 9 m, então a distância a) 5 m. b) 5 m. c) 4 5 m.
d) 5 m. x 5 04. (Pucrj) Sejam r e s as retas de equações y x e y, respectivamente, representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo horizontal, respectivamente. A área do triângulo ABC vale: a) 1,0 b) 1,5 c),0 d) 4,5 e) 6,0 05. (Ueg) Um espelho no formato de circunferência foi pendurado em uma parede. Considerando o canto inferior esquerdo como a origem de um sistema cartesiano, o espelho pode ser representado pela equação da circunferência x y 4x 4y 7, 84 0. Dessa forma, constatase que o espelho está a uma altura do chão de: a) 1,00 metros. b) 1,55 metros. c) 1,60 metros. d) 1,74 metros. 06. (Uel) Uma indústria de café desenvolveu uma logomarca inspirada na bandeira do Brasil, como ilustrado no esboço a seguir.
O idealizador fez seu esboço em um plano cartesiano com unidades de medida em centímetros. A partir das informações presentes nesse esboço, determine a área sombreada da logomarca. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. 07. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual as retas representadas pelas equações x 4y 4 0 e x 4y 0 0 são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado sobre o eixo y. A equação que representa esta circunferência é: a) b) c) d) 5x 5y 5y 15 0. 5x 5y 150y 161 0. x y 5y 9 0. x y y 9 0. GABARITO 1)B )D )B 4)B 5)C 6) (4-ᅲ)cm² 7B
01. (Uel) Leia o texto a seguir. MATEMÁTICA D Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim ou argila. Há evidências da existência deles no Paquistão, Afeganistão e noroeste da Índia, datando de 500 a.c. Os dados cúbicos de argila continham de 1 a 6 pontos, dispostos de tal maneira que a soma dos pontos de cada par de faces opostas é sete. Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, India. Atualmente, além dos dados em forma de cubo (hexaedro), encontram-se dados em vários formatos, inclusive esféricos, como mostram as figuras a seguir. Apesar do formato esférico, ao ser lançado, o dado mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado cúbico. Isso acontece porque no interior da esfera existe uma cavidade em forma de octaedro, na qual existe um peso (um chumbinho) que se aloja em um dos vértices do octaedro. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica. a) O número de vértices do octaedro é igual ao número de faces do hexaedro. b) O número de vértices do octaedro é diferente do número de faces do hexaedro. c) O número de arestas do octaedro é igual ao número de arestas do hexaedro. d) O número de faces do octaedro é igual ao número de vértices do hexaedro. e) O número de faces do octaedro é diferente do número de vértices do hexaedro. 0. (Upf) O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é construído a partir de um octaedro regular, cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as faces do octaedro truncado é:
a) 160 b) 5760 c) 790 d) 10080 e) 1680 0. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 4 faixas iguais, como indica a figura. Sabendo-se que o volume da bola é a) 0π cm b) 4π cm c) 8π cm d) 7π cm e) 5π cm 04π cm, então a área da superfície de cada faixa é de: 04. (Uepg) Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 1 vértices, assinale o que for correto. 01) O número de arestas é 50. 0) O número de faces quadrangulares é a metade do número de faces triangulares. 04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do número de ângulos pentaédricos. 08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos. 16) O número de ângulos tetraédricos é 5. 05. (Acafe) Um tubo cilíndrico reto de volume 18π cm, contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c). d) 66. 06. (Pucrs) Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um cubo cujo volume, em a) 1 b) c) 4 cm, é
d) 8 e) 16 07. (Ufrgs) Considere um cilindro reto de altura e raio da base, e uma esfera com volume igual ao do cilindro. Com essas condições, o raio da esfera é : a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 1. Gabarito: Resposta da questão 1: [A] A única alternativa que apresenta a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica é a alternativa [A]. As alternativas [C] e [D] apresentam assertivas corretas, porém não justificam o fato supra. Resposta da questão : [C] O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice do octaedro, obtemos um octaedro truncado com 6 4 4 vértices. Portanto, a resposta é 60 (4 ) 790. Resposta da questão : [B] Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da esfera é 04π cm, temos 4 r 04 r 1cm. π π Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual a 1 1 π r π 1 4π cm. 6 6 Resposta da questão 4: 0 + 08 = 10. [01] Incorreto. Pela Relação de Euler, temos V F A 1 15 A A 5. [0] Correto. Sejam F e F 4, respectivamente, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares. Logo, tem-se F 4F4 A e F F4 15. Portanto, como A 5, segue que F F 10 e F4 5, o que implica em F 4. [04] Incorreto. Sabendo que em cada ângulo tetraédrico concorrem 4 arestas, e que em cada ângulo pentaédrico concorrem 5 arestas, temos 4T 5P A e T P 1, sendo T e P, respectivamente, o
número de ângulos tetraédricos e o número de ângulos pentaédricos. Desse modo, obtemos T 10 e P. Agora, é fácil ver que T 5P. [08] Correto. Lembrando que a soma dos ângulos internos das faces é igual a (V ) 4r, com V sendo o número de vértices do poliedro e r 90, temos (1 ) 4r 40r. [16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o número de ângulos tetraédricos é igual a 10. Resposta da questão 5: [D] Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que πr 16r 18π r cm. O volume ocupado pelas bolinhas é igual a 4π 56π 8 cm. Portanto, o resultado pedido é 56π 100% 67%. 18π Resposta da questão 6: [D] A aresta do cubo será a = cm. Portanto, o volume V do cubo será dado por: V = = 8 cm Resposta da questão 7: [B] Volume do cilindro: VC π 88 Volume da esfera de raio r: V Fazendo Ve V C, temos: 4 π r e 4 π r 88 r 16 r 6