1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação

MAP2110 Modelagem e Matemática 1 o Semestre de 2007 Resumo 1 - Roteiro de estudos - 07/05/2007 Espaços vetoriais bi e tri-dimensionais (plano ou espaço bidimensional E 2, e espaço tridimensional E 3 ) 1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação por escalar E = E 2 (plano) ou E = E 3 (espaço) Segmento orientado AB Segmentos orientados equivalentes Classes de equivalência de segmentos orientados - vetor nulo - vetor oposto adição de vetores introduzida via Geometria - Regra do Paralelogramo multiplicação de vetor por escalar introduzida via Geometria Propriedades da adição e da multiplicação por escalar: Para quaisquer u, v, w E e quaisquer α, β R tem-se: i. u + v = v + u ii. ( u + v) + w = u + ( v + w) iii. O + v = v + O = v iv. v + ( v) = O v. α(β v) = (αβ) v vi. α( u + v) = α u + α v vii. (α + β) v = α v + β v viii. 1 v = v 1

2 Adotando um sistema de coordenadas ortogonais em E No plano E 2 No espaço E 3 representação v = (v 1, v 2 ) v = (v 1, v 2, v 3 ) de v componentes v 1 e v 2 v 1, v 2 e v 3 de v u + v Se u = (u 1, u 2 ) Se u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) u + v = u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) α v Se v = (v 1, v 2 ) Se v = (v 1, v 2, v 3 ) α v = α v = (αv 1, αv 2 ) (αv 1, αv 2, αv 3 ) componentes Se P = (x 1, y 1 ) Se P = (x 1, y 1, z 1 ) de v = P Q e Q = (x2, y 2 ) e Q = (x 2, y 2, z 2 ) v = P Q = v = P Q = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) 3 Translação de eixos: Exercício 2

4 Norma como comprimento - distância u = norma de u = comprimento de u figura em E 2 figura em E 3 u = (u 1, u 2 ) u = (u 1, u 2, u 3 ) u = u 2 1 + u2 2 u = u 2 1 + u2 2 + u2 3 Distância de P = (x 1, y 1 ) Distância de P = (x 1, y 1, z 1 ) a Q = (x 2, y 2 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) d(p, Q) = P Q = d(p, Q) = P Q = x2 x 1 )) 2 + (y 2 y 1 ) 2 x2 x 1 )) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Proposição 1 A norma definida acima tem as seguintes propriedades: i. v 0, v E. ii. α v = α v, v E, α R. iii. u + v u + v, u, v E. iv. v = 0 v = O. 5 Produto interno e ângulo entre vetores Sejam u, v E, θ = ângulo entre u e v ( 0 θ π) O produto interno, ou produto escalar ente u e v é definido por { u. v = u v cos θ, se u O e v O 0, caso contrário Em coordenadas: Se u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) E 2 u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2. Se u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) E 3 u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. A prova disto feita usando-se a Lei dos Cossenos. 3

Propriedades: i. v. v = v 2, ou seja, v = v. v. ii. Se u e v são não nulos e θ é o ângulo entre eles, u. v > 0 θ é agudo. u. v < 0 θ é obtuso. u. v = 0 θ é π/2. Proposição 2 O produto escalar definido acima satisfaz as seguintes propriedades: i. u. v = v. u, u, v E. ii. (α u). v = α( u. v), u, v E, α R. iii. u.(α v) = α( u. v), u, v E, α R. iv. ( u + v). w = u. w + v. w, u, v, w E. iv. u.( v + w) = u. v + u. w, u, v, w E. v. v. v 0, v E. vi. v. v = 0 v = O. 6 Projeção ortogonal Dados um vetor não nulo a E qualquer vetor v E pode ser escrito como soma de um vetor na direção de a (que chamaremos de projeção de v na direção de a)com um vetor que forma ângulo de π/2 com a. Assim, denotando por proj a v a projeção de v na direção de a temos v = proj a v + ( v proj a v) onde proj a v = λ a e ( v proj a v). a = 0. Decorre daqui que 7 Retas em E 2 proj a v = v. a v. a ( a = a. a a 2 a = v. a a ) a a. Reta em E 2 que passa por um ponto P 0 e forma ângulo de π/2 com o vetor não nulo n é o conjunto dos pontos P E 2 tais que n. P 0 P = 0. Em coordenadas, pondo n = (a, b), P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y), 4

obtemos n. P 0 P = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 ax + by + ( ax 0 by 0 ) = 0. A equação a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 ou a equação ax + by + ( ax 0 by 0 ) = 0 é chamada equação normal da reta que passa por P 0 = (x 0, y 0 ). Note que n = (a, b) é um vetor normal (perpendicular) a essa reta. Mais geralmente, dados a, b, c R com a e b não simultaneamente nulos, a equação ax+by +c = 0 em E 2 representa uma reta com vetor normal n = (a, b), e é chamada equação geral normal da reta em E 2. 8 Planos em E 3 Plano em E 3 que passa por um ponto P 0 e é perpendicular ao vetor não nulo n é o conjunto dos pontos P E 3 tais que n. P 0 P = 0. Em coordenadas, pondo n = (a, b, c), P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), P = (x, y, z), obtemos n. P 0 P = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ax + by + cz + ( ax 0 by 0 cz 0 ) = 0. A equação a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ou a equação ax + by + cz + ( ax 0 by 0 cz 0 ) = 0 é chamada equação normal do plano que passa por P 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Note que n = (a, b, c) é um vetor normal (perpendicular) a esse plano. Mais geralmente, dados a, b, c, d R com a, b e c não simultaneamente nulos, a equação ax + by + cz + d = 0 em E 3 representa um plano com vetor normal n = (a, b, c), e é chamada equação geral normal do plano em E 3. 9 Retas em E 3 Para representar uma reta em E 3 parece natural considerá-la como a intersecção de dois planos que sejam distintos e não sejam paralelos. Isto pode ser traduzido dizendo os vetores normais desses planos não são múltiplos um do outro. Assim, uma reta em E 3 fica representada por um sistema de duas equações a três incógnitas a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 onde n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) são vetores não nulos e não múltiplos um do outro. Note que n 1 e n 2 são vetores ortogonais à reta representada. 5

10 Representação paramétrica de reta em E 2 Se n = (a, b) (0, 0) e c R, basta relembrar nosso estudo de sistemas lineares para concluir que a reta representada pela equação normal ax + by + c = 0 pode também ser representada na forma paramétrica x = x 0 + tv 1, y = y 0 + tv 2, t R. Estas são as equações paramétricas da reta que passa por P 0 = (x 0, y 0 ) na direção de v = (v 1, v 2 ) (0, 0). Na forma vetorial, podemos reescrever essas equações como (x, y) = (x 0, y 0 ) + t(v 1, v 2 ), t R, Assim, dados P 0 E 2 e v O, a equação P = P 0 + t v, t R ou P 0 P = t v, t R, é dita equação vetorial da reta que passa por P 0 e tem direção v. Note que tal reta é paralela ao vetor v. Nota: v. n = 0. 11 Representação paramétrica de reta em E 3 Novamente basta relembrar nosso estudo de sistemas lineares para concluir que a reta representada pelas equações a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 onde n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) são vetores não nulos e não múltiplos um do outro, pode também ser representada na forma paramétrica x = x 0 + tv 1, y = y 0 + tv 2, z = z 0 + tv 3, t R. Estas são as equações paramétricas da reta que passa por P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na direção de v = (v 1, v 2, v 3 ) (0, 0, 0). Na forma vetorial, podemos reescrever essas equações como (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t(v 1, v 2, v 3 ), t R, Assim, dados P 0 E 3 e v O, a equação 6

P = P 0 + t v, t R ou P 0 P = t v, t R, é dita equação vetorial da reta que passa por P 0 e tem direção v. Note que tal reta é paralela ao vetor v. Nota: v. n 1 = 0 e v. n 2 = 0. 12 Representação paramétrica de plano em E 3 Se n = (a, b, c) (0, 0, 0) e d R, basta relembrar nosso estudo de sistemas lineares para concluir que o plano representado pela equação normal ax + by + cz + d = 0 pode também ser representada na forma paramétrica (com dois parâmetros) x = x 0 + su 1 + tv 1, y = y 0 + su 2 + tv 2, z = z 0 + su 3 + tv 3, s, t R. Estas são as equações paramétricas do plano que passa por P 0 = (x 0, y 0 ) e é paralelo aos vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) ( u e v resultam ambos não nulos e não múltiplos um do outro.) Na forma vetorial, podemos reescrever essas equações como (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + s(u 1, u 2, u 3 ) + t(v 1, v 2, v 3 ), s, t R, Assim, dados P 0 E 3, u O, v O, tais que u e v são não múltiplos um do outro, a equação P = P 0 + s u + t v, s, t R ou P 0 P = s u + t v, s, t R, é dita equação vetorial do plano que passa por P 0 e é paralelo a u e v. Nota: u. n = 0 e v. n = 0. 13 Distância de ponto a reta e de ponto a plano 13.1 Em E 2 - ponto a reta Dados um ponto Q = (q 1, q 2 ) e uma reta r passando por P 0 = (x 0, y 0 ) de equação normal ax + by + c = 0, podemos calcular a distância de Q à reta r por dist(q, r) = proj n P0 Q. Dados um ponto Q = (q 1, q 2 ) e uma reta r de equação vetorial P = P 0 + t v, podemos calcular a distância de Q à reta r por dist(q, r) = P 0 Q proj v P0 Q. 7

13.2 Em E 3 - ponto a reta Dados um ponto Q = (q 1, q 2, q 3 ) e uma reta r de equação vetorial P = P 0 +t v, podemos calcular a distância de Q à reta r por dist(q, r) = P 0 Q proj v P0 Q. 13.3 Em E 3 - ponto a plano Dados um ponto Q = (q 1, q 2, q 3 ) e um plano Π passando por P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) de equação normal ax + by + cz + d = 0, podemos calcular a distância de Q ao plano Π por dist(q, Π) = proj n P0 Q. 14 Aplicações Neste momento temos todos os ingredientes para estudar um bocado de geometria. Em particular, podemos estudar posição relativa ente retas em E 2, entre retas, entre planos, e entre reta e plano em E 3. Segue uma lista de exercícios para exemplificar isto. Exercício 1 Considere em E 2 os pontos P 0 = (2, 3) e P 1 = (1, 1). (a) Ache um vetor n E 2 não nulo que seja ortogonal ao segmento P 0 P 1. (b) Ache a equação normal da reta que passa pelos pontos P 0 e P 1. (c) Ache as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P 0 e P 1. (d) Ache a equação vetorial da reta que passa pelos pontos P 0 e P 1. Exercício 2 Considere em E 3 os pontos P 0 = (2, 3, 4) e P 1 = (1, 1, 2). (a) Ache dois vetores n 1, n 2 E 3 ambos não nulos, não múltiplos um do outro, que sejam ortogonais ao segmento P 0 P 1. (b) Ache as equações da reta que passa pelos pontos P 0 e P 1 como intersecção de dois planos. (c) Ache as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P 0 e P 1. (d) Ache a equação vetorial da reta que passa pelos pontos P 0 e P 1. Exercício 3 Considere em E 2 a reta r dada pela equação 2x 4y +3 = 0. Seja Q = (5, 4). Ache a distância de Q a r. Exercício 4 Considere em E 2 a reta r dada pelas equações paramétricas x = 2 t, y = 1 + 4t, t R. Seja Q = (5, 4). Ache a distância de Q a r. 8

Exercício 5 Considere em E 3 o plano Π dado pela equação 2x 4y +z +3 = 0. Seja Q = (5, 4, 1). Ache a distância de Q a Π. Exercício 6 Considere em E 3 a reta r dada pelas equações paramétricas x = 2 t, y = 1 + 4t, z = 3 + 2t t R. Seja Q = (5, 4, 1). Ache a distância de Q a r. Exercício 7 Decida se as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são iguais. Justifique. (a) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x + 9y + 12 = 0. (b) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x + 9y 3 = 0. Exercício 8 Decida se as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são paralelas. Justifique. (a) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x + 9y 3 = 0. (b) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x + 9y 3 = 0. Exercício 9 Decida se as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são concorrentes. Justifique. (a) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x + 9y 3 = 0. (b) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x 9y 3 = 0. Exercício 10 Decida se as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são perpendiculares. Justifique. (a) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 6x 4y 3 = 0. (b) R: 2x + 3y + 4 = 0. S: 3x + 2y 3 = 0. Exercício 11 Decida se os planos Π e Γ de E 3 dados pelas equações abaixo são iguais. Justifique. 9

(a) Π: 2x + 3y z + 4 = 0. Γ: 6x + 9y 3z + 12 = 0. (b) Π: 2x + 3y z + 4 = 0. Γ: 6x + 9y 3z 3 = 0. Exercício 12 Decida se os planos Π e Γ de E 3 dados pelas equações abaixo são paralelos. Justifique. (a) Π: 2x + 3y z + 4 = 0. Γ: 2x + 3y z 3 = 0. (b) Π: 2x + 3y z + 4 = 0. Γ: 6x + 9y 3z 3 = 0. Exercício 13 Decida se os planos Π e Γ de E 3 dados pelas equações abaixo são perpendiculares. Justifique. (a) Π: 2x + 3y z + 4 = 0. Γ: 3x 2y + 2z 3 = 0. (b) Π: 2x + 3y z + 4 = 0. Γ: 6x 3y + 3z 3 = 0. Exercício 14 Mostre que as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são paralelas. R: (x, y) = (2, 3) + t(1, 4), t R. S: (x, y) = (1, 1) + s( 2, 8), s R. Exercício 15 Mostre que as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são concorrentes. R: (x, y) = (2, 3) + t(1, 4), t R. S: (x, y) = (1, 1) + s(2, 1), s R. Exercício 16 Mostre que as retas R e S de E 2 dadas pelas equações abaixo são perpendiculares. R: (x, y) = (2, 3) + t(2, 4), t R. S: (x, y) = (1, 1) + s(2, 1), s R. Exercício 17 Decida se os planos Π e Γ de E 3 dados pelas equações abaixo são iguais. Justifique. Π: (x, y, z) = (2, 1, 5) + s(1, 2, 3) + t(1, 1, 1), s, t R. Γ: (x, y, z) = (4, 4, 9) + α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1), α, β R. 10

Exercício 18 Decida se os planos Π e Γ de E 3 dados pelas equações abaixo são paralelos. Justifique. (a) Π: (x, y, z) = (2, 1, 5) + s(1, 2, 3) + t(1, 1, 1), s, t R. Γ: (x, y, z) = (1, 1, 1) + α(1, 2, 3) + β(2, 2, 2), α, β R. (b) Π: (x, y, z) = (2, 1, 5) + s(1, 2, 3) + t(1, 1, 1), s, t R. Γ: (x, y, z) = (1, 1, 1) + α(0, 1, 2) + β(2, 3, 4), α, β R. Exercício 19 Decida se os planos Π e Γ de E 3 dados pelas equações abaixo são perpendiculares. Justifique. Π: Π: (x, y, z) = (2, 1, 5) + s(1, 2, 3) + t(1, 1, 1), s, t R. Γ: (x, y, z) = (1, 1, 1) + α( 1, 2, 1) + β(2, 2, 2), α, β R. Exercício 20 Decida se a reta R e o plano Π de E 3 dados pelas equações abaixo são paralelos. Justifique. R: (x, y, z) = (2, 1, 5) + t(1, 1, 1), t R. Γ: (x, y, z) = (1, 1, 1) + α( 1, 2, 1) + β(2, 1, 2), α, β R. Exercício 21 Decida se a reta R e o plano Π de E 3 dados pelas equações abaixo são paralelos. Justifique. R: (x, y, z) = (2, 1, 5) + t(1, 2, 2), t R. Γ: 2x + 4y + 5z 4 = 0. Exercício 22 Decida se a reta R e o plano Π de E 3 dados pelas equações abaixo são perpendiculares. Justifique. R: (x, y, z) = (2, 1, 5) + t(1, 1, 1), t R. Γ: (x, y, z) = (1, 1, 1) + α( 1, 2, 1) + β(2, 0, 2), α, β R. Exercício 23 Decida se a reta R e o plano Π de E 3 dados pelas equações abaixo são perpendiculares. Justifique. R: (x, y, z) = (2, 1, 5) + t(1, 1, 1), t R. Γ: 2x 4y + 6z 4 = 0. 11