Unidade I MATEMÁTICA APLICADA Profa. Ana Carolina Bueno
Números reais Fonte: http://infomaticando.blogspot.com.br/2012/12/numeros-irracionais.html
Expressões algébricas São expressões matemáticas que apresentam incógnitas e podem conter números. As incógnitas constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico: 2x 5 3a + 2y x² + 7x 5 + x (5x 2) 10y 10x a² 2ab + b²
Operações com expressões numéricas Nas operações, em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: potenciação ou radiciação; multiplicação ou divisão; adição ou subtração. E as seguintes prioridades: parênteses ( ); colchetes [ ]; chaves { }.
Operações com expressões algébricas 2 { 11 + [17 ( 12 + 10) 3]} 2 { 11 + [17 ( 2) 3]} 2 { 11 + [17 + 2 3]} 2 { 11 + 16} 2 {5} 2 5 = 3 (21 15) : (15 12 + 3) + 1 (6) : (6) + 1 1 + 1 = 2
Operações com expressões algébricas Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras: 4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x = 12x + 2 2x + 6 + 3x 2 + x + 8 = 6x + 12
Operações com expressões algébricas Determine a expressão que representa a área da seguinte figura: (4x + 1) (2x) = 8x² + 2x Se x = 2 m, qual é o valor da área? 8.2² + 2.2 = 32 + 4 = 36 m²
Razão e proporção Comparar duas grandezas. Dividir uma grandeza por outra. Uma empresa tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída para a área livre é: Isso significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre.
Razão e proporção É a igualdade entre duas razões. Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 kg de farinha. Para fazer 150 pães, são gastos 25 kg de farinha. Então:
Interatividade O pai de Lucas precisa cercar um campo de futebol com tela de aço. Qual é o valor da largura e do comprimento do campo, sabendo que o perímetro é igual a 340 m e a área é igual a 7000 m²? a) 50 m e 30 m. b) 50 m e 100 m. c) 70 m e 100 m. d) 30 m e 70 m. e) 50 m e 70 m. x+30 x
Regra de três Grandezas diretamente proporcionais Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir. Grandezas inversamente proporcionais Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.
Regra de três simples Uma moto percorre 240 km utilizando 20 litros de gasolina. Quantos litros ela precisa para percorrer 360 km? Distância e litros de gasolina são grandezas diretamente proporcionais. Distância (km) Quantidade de combustível (l) 240 20 360 x
Regra de três simples Se João correr a uma velocidade de 4,0 km/h ele completa uma certa distância em 6 minutos. Em 8 minutos, com a mesma distância, qual será sua velocidade? Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Velocidade (km / h) Tempo (min.) 4 6 x 8 Obs.: G.I. P multiplica-se em linha.
Porcentagem É a razão cujo denominador é igual a 100 e indicamos pelo símbolo %. A moto dos exemplos anteriores foi avaliada em R$ 4000,00 e foi vendida com um desconto de 12% sobre este preço. Qual foi o preço de venda? 12% de 4000 = Então, o valor da moto com o desconto foi de: 4000-480 = R$ 3520,00.
Porcentagem Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Quantidade de faltas % 75 100 x 8 Ou
Regra de três composta Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais. Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias? Nº de carros Nº de dias Quantidade de combustível (l) 10 5 1000 x 2 500
Regra de três composta Nº de carros Nº de dias Quantidade de combustível (l) 10 5 1000 x 2 500
Regra de três composta Doze máquinas produzem 2000 peças em 80 minutos. Quanto tempo é necessário para que metade dessas máquinas produzam 4000 peças? Nº de máquinas Nº de peças Tempo (min) 12 2000 80 6 4000 x Organizando a tabela Tempo (min) Nº de máquinas Nº de peças 80 6 2000 x 12 4000
Regra de três composta Tempo (min) Nº de máquinas Nº de peças 80 6 2000 x 12 4000
Interatividade Em uma promoção, o preço de um objeto foi reduzido de R$ 76,00 para R$ 57,00. Calcule o valor do desconto em porcentagem. a) 20%. b) 25%. c) 50%. d) 65%. e) 75%.
Noções básicas Conjunto: das letras do alfabeto, dos meses do ano, dos alunos de uma escola, das soluções da equação x² = 9 etc. Elemento: cada item que compõe o conjunto. Pertinência entre elemento e conjunto: a letra q pertence ao conjunto das letras do alfabeto, mas o número 3 não pertence a este conjunto. A
Conjunto e elementos A = conjunto das vogais. A = {a, e, i, o, u} representação ordinária. A = {x / x é uma vogal} representação abstrata. B = conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100. B = {0, 3, 6, 9,..., 99}. B = {x / x é múltiplo de 3 e menor que 100}. C = conjunto dos número ímpares. C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}. C = {x / x é ímpar}.
Pertinência : elemento pertence ao conjunto. : elemento não pertence ao conjunto. Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 1 N Para afirmar que 23 não é um número natural ou que 23 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 23 N
União de conjuntos União ou reunião: P Q P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} Q = {0, 5, 10, 15, 20, 25} P Q = {x / x P ou x Q} P Q = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 25} P Q 0 2 4 5 6 8 10 12 14 15 16 18 20 25
Intersecção de conjuntos Intersecção: P Q P Q = {x / x P e x Q} P Q = {0, 10, 20}
Relação Plano cartesiano Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano
Relação Produto cartesiano Todas as possibilidades de relações entre A (partida) e B (chegada). A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} n(a) = 3 n(b) = 2 n(a x B) = 3.2 = 6
Domínio, contradomínio e imagem Domínio É o conjunto A. (D(f)). Contradomínio É o conjunto B. ( D(f)). Imagem É o subconjunto de B, formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a f. Im(f) CD(f).
Domínio, contradomínio e imagem Conjuntos: A = { 3, 1, 0, 2} e B = { 1, 0, 1, 2, 3, 4} Função f: A B, definida por f (x) = x + 2, determine a imagem de f.
Interatividade Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena (H), Senhora (S) e A Moreninha (M). Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado com 1000 pessoas. Assinale a alternativa correta: a) 270 leram A Moreninha. b) 70 leram Senhora. c) 180 leram A Moreninha e Helena. d) 410 leram as três obras. e) 130 não leram nenhuma obra.
Números naturais N e Números inteiros Z N = Foi o primeiro conjunto gerado pelos homens. Ele tinha como função apontar quantidades. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...} Z = É composto pelos números naturais e todos os seus representantes negativos. Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} Z_; Z*_; Z +; Z* +
Números racionais Q Esses números surgem da necessidade de partilhar os bens dos indivíduos. Como dividir corretamente um lote de terras? Exemplos: ¼; 0,365; 1/9 = 0,11111... ou 32/99 = 0,323232... ou
Números irracionais I Quando um número real não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dizima periódica. π = 3,1415926535897932384626433832795... X = 43,101001000100001...
Números reais R N Z Q I = R ou Q I = R N Z Q R
Reta numérica
Intervalo real Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. Intervalo aberto de extremos a e b. ]a, b[ OU S = {x R / a < x < b} ]7, 9[ OU S = {x R / 7 < x < 9} 7 x 9
Intervalo real Intervalo fechado de extremos a e b. [a, b] OU S = {x R / a x b} [-3, 2] OU S = {x R / -3 x 2} -3 x 2
Intervalo real Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos a e b. [a, b[ OU S = {x R / a x < b} [-18, -9[ OU S = {x R / -18 x < -9} -18 x -9
Intervalo real Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos a e b. ]a, b] OU S = {x R / a < x b} ]-3, 2] OU S = {x R / -3 < x 2} -3 x 2
Intervalos infinitos Intervalo de menos infinito a b. ]-, a[ OU S = {x R / x < a} ]-, 14[ OU S = {x R / x < 14} ]-, a] OU S = {x R / x a} ]-, -5] OU S = {x R / x -5} - x 14 - x -5
Intervalos infinitos Intervalo de a até mais infinito. ]a, [ OU S = {x R / x > a} ]56, [ OU S = {x R / x > 56} 56 x [a, [ OU S = {x R / x b} [-21, [OU S = {x R / x -21} -21 x
Interatividade Na função f: R R com f(x) = x² + 3x 10, determine o valor da imagem de f( 3) e classifique a qual conjunto numérico este valor pertence. a) -10 e N. b) -10 e Z. c) -28 e I. d) -28 e Q. e) 0 e R.
ATÉ A PRÓXIMA!