Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 12 06 de junho de 2011 Aula 12 Pré-Cálculo 1
A função afim A função afim Uma função f : R R chama-se afim se existem constantes a, b R tais que f (x) =ax + b para todo x R. Exemplo de função afim: f : R R x f (x) =2x + 3. Aula 12 Pré-Cálculo 2 Aula 12 Pré-Cálculo 5 Proposição O gráfico de uma função afim f : x y = f (x) =ax + b é uma reta. Demonstração. Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são colineares. Sejam, portanto, Cuidado! Todo gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim! P 1 =(x 1, ax 1 + b), P 2 =(x 2, ax 2 + b) e P 3 =(x 3, ax 3 + b). Para verificar que P 1, P 2 e P 3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos três números d(p 1, P 2 ), d(p 2, P 3 ) e d(p 1, P 3 ) seja igual à soma dos outros dois. Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x 1, x 2 e x 3 foram ordenadas de modo que x 1 < x 2 < x 3. A fórmula da distância entre dois pontos nos dá: d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + a 2 (x 2 x 1 ) 2 =(x 2 x 1 ) 1 + a 2, d(p 2, P 3 ) = (x 3 x 2 ) 1 + a 2, d(p 1, P 3 ) = (x 3 x 1 ) 1 + a 2. Daí se segue imediatamente que d(p 1, P 3 )=d(p 1, P 2 )+d(p 2, P 3 ). Aula 12 Pré-Cálculo 19 Aula 12 Pré-Cálculo 21
Observações A função afim y = f (x) =a x + b (1) O gráfico de uma função afim é uma reta: a éocoeficiente angular (com relação ao eixo x) e b é o coeficiente linear da reta. (2) O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y. (3) O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual a tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma escala foi usada nos dois eixos coordenados. Aula 12 Pré-Cálculo 25 Aula 12 Pré-Cálculo 26 Exercícios Proposição Dados arbitrariamente (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2, com x 1 x 2, existe uma, e somente uma, função afim f : R R tal que y = f (x) =a x + b f (x 1 )=y 1 e f (x 2 )=y 2. (1) f é crescente se, e somente se, a > 0. f é decrescente se, e somente se, a < 0. Demonstração. Observe que: { f (x1 ) = y 1, f (x 2 ) = y 2, { a x1 + b = y 1, a x 2 + b = y 2. (2) Estude a equação ax + b = 0 (isto é, f (x) =0). A resposta dependerá dos sinais de a e b. (3) Estude a inequação ax + b > 0 (isto é, f (x) > 0). A resposta dependerá dos sinais de a e b. Assim, existe uma única função afim f : R R tal que f (x 1 )=y 1 e f (x 2 )=y 2 se, e somente se, o sistema linear nas variáveis a e b { a x1 + b = y 1, a x 2 + b = y 2, possui uma única solução. Mas, como x 1 x 2, este é o caso, a = y 2 y 1 x 2 x 1, b = x 2y 1 x 1 y 2 x 2 x 1. Aula 12 Pré-Cálculo 33 Aula 12 Pré-Cálculo 40
A taxa de variação de uma função afim Dados, x 1, x 2 R, com x 1 x 2, o número a = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 é denominado taxa de variação da função f no intervalo de extremos x 1 e x 2. A função linear Trabalho (valendo 0.5, entrega dentro de uma semana): http://www.uff.br/cdme/afim/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/afim/ Fazer a avaliação online e preencher o formulário de acompanhamento do aluno: Aula 12 Pré-Cálculo 42 Aula 12 Pré-Cálculo 43 A função linear Observações (1) Se y = f (x) =ax é uma função linear, então f (x 1 + x 2 )= f (x 1 )+f (x 2 ) para todo x 1, x 2 R e f (cx) =cf(x) para todo c, x R. Uma função f : R R chama-se linear se existe constante a R tais que f (x) =ax para todo x R. Exemplo de função afim: f : R R x f (x) =2x. (2) A função linear é o modelo matemático para os problemas de proporcionalidade. A proporcionalidade é, provavelmente, a noção matemática mais difundida na cultura de todos os povos e seu uso universal data de milênios. (3) Uma proporcionalidade direta é uma função f : R R tal que, para quaisquer números reais c, x tem-se f (cx) =c f(x). (4) Uma proporcionalidade inversa é uma função f : R R (onde R = R {0}) tal que, para quaisquer números c, x R tem-se f (cx) =f (x)/c. Aula 12 Pré-Cálculo 46 Aula 12 Pré-Cálculo 51
O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1 Seja f : R + R + uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade: f (k x)=kf(x) para todo k N e todo x R +. (1) Então f (x) =a x para todo x R +, com a = f (1). O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1 Seja f : R + R + uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade: f (k x)=kf(x) para todo k N e todo x R +. (1) Então f (x) =a x para todo x R +, com a = f (1). Demonstração. Primeiro mostraremos que f (x) = a x para todo x racional > 0 e, depois, que f (x) =a x para todo x irracional > 0. (Caso 1) Seja r um número racional > 0. Logo, r = m/n, com m N e n N. Usando (1) temos que logo n f (r x) =f (n r x) =f (m x) =m f (x), f (r x) = m f (x) =r f (x). n Seja a = f (1). Temos que para todo r racional, f (r) =f (r 1) =r f (1) =r a = a r. (Caso 2) Observe que a = f (1) > 0. Suponha, por absurdo, que exista algum número irracional x > 0 tal que f (x) a x. Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a x (o caso f (x) > a x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x. Tomemos um número racional r entre f (x)/a e x: f (x) a < r < x. Então f (x) < a r < a x, ou seja, f (x) < f (r) < a x. Mas isto é absurdo, pois f é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f (r) < f (x). Esta contradição completa a demonstração. Aula 12 Pré-Cálculo 69 Aula 12 Pré-Cálculo 71 O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1 Seja f : R + R + uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade: f (k x)=kf(x) para todo k N e todo x R +. (1) Então f (x) =a x para todo x R +, com a = f (1). Aplicação A área de um retângulo de altura a e base x é igual a a x. Demonstração. Seja f (x) a área do retângulo de altura a e base x. É claro que f é uma função crescente de x. Além disso, é claro que um retângulo de altura a e base k x pode ser decomposto em k retângulos de mesma altura a, com um com base x. (Caso 2) Observe que a = f (1) > 0. Suponha, por absurdo, que exista algum número irracional x > 0 tal que f (x) a x. Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a x (o caso f (x) > a x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x. Tomemos um número racional r entre f (x)/a e x: f (x) a < r < x. Então f (x) < a r < a x, ou seja, f (x) < f (r) < a x. Mas isto é absurdo, pois f é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f (r) < f (x). Esta contradição completa a demonstração. a x x x x Logo, f (k x) =k f (x). Assim, pelo teorema fundamental da proporcionalidade, temos que f (x) =c x, onde c = f (1) é a área do retângulo de base 1 e altura a. Vamos mostrar que c = a. O mesmo argumento aplicado aos retângulos de mesma base 1 e altura variável mostra que f (1) =a u, onde u é área do quadrado de lado 1a qual, por definição, é igual a 1. Logo, c = f (1) =a. Aula 12 Pré-Cálculo 82 Aula 12 Pré-Cálculo 97
O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2 Seja f : R R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes: (1) f (k x)=kf(x) para todo k Z e todo x R. (2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) =a x para todo x R. (3) f (x 1 + x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) para quaisquer x 1, x 2 R. O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2 Seja f : R R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes: (1) f (k x)=kf(x) para todo k Z e todo x R. (2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) =a x para todo x R. (3) f (x 1 + x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) para quaisquer x 1, x 2 R. Demonstração. Vamos mostrar primeiro que (1) (2). Vamos dividir a demonstração em dois casos: primeiro mostraremos que f (x) =a x para todo x racional e, depois, que f (x) =a x para todo x irracional. (Caso 1) Seja r um número racional. Logo, r = m/n, com m Z e n Z. Usando (1) temos que n f (r x) =f (n r x) =f (m x) =m f (x), logo f (r x) = m f (x) =r f (x). n Seja a = f (1). Temos que para todo r racional, f (r) =f (r 1) =r f (1) =r a = a r. (Caso 2) Como f (0) =f (0 0) =0 f (0) =0, o fato de f ser crescente nos dá que a = f (1) > f (0) =0. Assim, a é positivo. Suponha, por absurdo, que exista algum número irracional x tal que f (x) a x. Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a x (o caso f (x) > a x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x. Tomemos um número racional r entre f (x)/a e x: f (x) a < r < x. Então f (x) < a r < a x, ou seja, f (x) < f (r) < a x. Mas isto é absurdo, pois f é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f (r) < f (x). Esta contradição completa a prova de que (1) (2). Aula 12 Pré-Cálculo 117 Aula 12 Pré-Cálculo 134 O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2 Seja f : R R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes: (1) f (k x)=kf(x) para todo k Z e todo x R. (2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) =a x para todo x R. (3) f (x 1 + x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) para quaisquer x 1, x 2 R. As implicações (2) (3) e (3) (1) são mais fáceis de se demonstrar e ficam como exercício. Versão para ser aplicada em grandezas positivas Seja f : R + R + uma função crescente, onde R + = {x R x > 0}. As seguintes afirmações são equivalentes: (1 + ) f (nx)=nf(x) para todo n N e todo x R +. (2 + ) Pondo a = f (1), tem-se f (x) =a x para todo x R +. (3 + ) f (x 1 + x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) para quaisquer x 1, x 2 R +. Demonstração. Defina F : R R por f (x), se x > 0, F(x) = 0, se x = 0, f ( x), se x < 0. Cada uma das afirmações (1 + ), (2 + ) e (3 + ) para f equivale a umas das afirmações (1), (2) e (3) do teorema fundamental da proporcionalidade para f. Aula 12 Pré-Cálculo 137 Aula 12 Pré-Cálculo 142
O gráfico da função modular O gráfico da função modular { x, se x 0, f (x) = x = x, se x < 0. Aula 12 Pré-Cálculo 143 Aula 12 Pré-Cálculo 145 Gráfico da função modular Aula 12 Pré-Cálculo 146