Prática 1: ERROS, ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E MÉTODO GRÁFICO 1. NOÇÕES SOBRE TEORIA DE ERROS O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e suas conseqüências, de modo a expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam compreensíveis a outras pessoas. Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 1.1 Erros e Desvios Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. Matematicamente: erro = valor medido valor real Exercício: Mediu-se os ângulos internos de um quadrilátero e obteve-se 361,4. Qual é o erro relacionado à esta medida? Entretanto o valor real ou exato da maioria das grandezas físicas nem sempre é conhecido. Quando afirmamos que o valor da carga do elétron é 1,6017738 x 10-19 C, este é, na verdade, o valor mais provável desta grandeza, determinado através de experimentos com incerteza de 0,30 partes por milhão. Neste caso, ao efetuarmos uma medida desta grandeza e compararmos com este valor, falamos em desvios e não erros. 1. Classificação de Erros DESVIO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros. Por mais cuidadosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe uma incerteza ao se comparar uma quantidade de uma dada grandeza física com sua unidade. Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: grosseiros, sistemáticos e aleatórios ou acidentais. 1..1 Erros Grosseiros: Ocorrem devido à falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Devem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições. 1.. Erros Sistemáticos: Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Estes fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. Erros sistemáticos podem ser devidos a vários fatores, tais como: Ao instrumento que foi utilizado; Ex: intervalos de tempo feitos com um relógio que atrasa; Ao método de observação utilizado; Ex: medir o instante da ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado; A efeitos ambientais; Ex: a medida do comprimento de uma barra de metal, que pode depender da temperatura ambiente; As simplificações do modelo teórico utilizado; Ex: não incluir o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda de um objeto a partir de uma dada altura.
1..3 Erros Aleatórios ou Acidentais: São devidos a causas diversas e incoerentes, bem como a causas temporais que variam durante observações sucessivas e que escapam a uma análise em função de sua imprevisibilidade. Podem ter várias origens, entre elas: Os instrumentos de medida; Pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos, etc.); Fatores relacionados com o próprio observador sujeitos à flutuações, em particular a visão e a audição. De um modo simples podemos dizer que uma medida exata é aquela para qual os erros sistemáticos são nulos ou desprezíveis. Por outro lado, uma medida precisa é aquela para qual os erros acidentais são pequenos. O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente eliminado. Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas, é necessário avaliar quantitativamente os erros cometidos. 1.3 Desvio Médio Valor Médio Quando um mesmo operador efetua uma série de medidas de uma grandeza, utilizando um mesmo instrumento, as medidas obtidas terão valores que poderão não coincidir na maioria das vezes, isso devido aos erros experimentais inerentes a qualquer processo de medida. Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão era 1 cm, de modo que os milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento). Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem nas diferentes avaliações da menor divisão. A tabela ao lado mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas. n L n (cm) ΔL n = (L n L ) (cm) 1 3 5,7 5,8 5,5 0,0 + 0,1 0, 4 5,6 0,1 5 5,5 0, 6 5,7 0,0 7 5,8 + 0,1 8 5,7 0,0 9 5,9 + 0, 10 5,8 + 0,1 N = 10 L n = 57 cm ΔL n = 1,0 cm Calculando-se a média aritmética das medidas efetuadas tem-se: L n 5,7 + 5,8 + 5,5 + 5,6 + 5,5 + 5,7 + 5,8 + 5,7 + 5,9 + 5,8 57 L = = = N 10 10 que é o valor mais provável para o comprimento da barra. = 5,7 cm O valor médio é mais preciso e exato quanto maior for o número N de medidas. Define-se o desvio de uma medida pela diferença entre o valor medido (L n ) e o valor médio (L ). ΔL n = (L n L ) O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na tabela. Desse conjunto deve-se extrair a incerteza que afeta o valor médio. Considera-se, para esse fim, a média aritmética dos valores absolutos dos desvios denominada desvio médio ( ΔL ) : ΔL ΔL = N n 0,0 + 0,1 + 0, + 0,1 + 0, + 0,0 + 0,1 + 0,0 + 0, + 0,1 1,0 = cm = cm = 0,1cm 10 10
Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio (L = 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em outras palavras, o valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser expresso como: L = (L ± Δ L) ou seja L = ( 57, ± 01, ) cm 1.4 Desvio Avaliado ou Incerteza Se o experimentador realiza apenas uma medida da grandeza, o valor medido evidentemente será o valor adotado, já que não se tem um conjunto de dados para ser analisado, como no caso anterior. Aqui, também, o valor adotado representa a grandeza dentro de certo grau de confiança. A incerteza de uma única medida, em geral, depende de vários fatores como: o instrumento utilizado, as condições em que a medida se realiza, o método utilizado na medida, a habilidade do experimentador, a própria avaliação do último algarismo (fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento) etc... É costume tomar a incerteza de uma medida como sendo a metade da menor divisão da escala do instrumento utilizado. 1.5 Desvio Relativo O desvio relativo é igual ao quociente entre a incerteza e o valor adotado e é, frequentemente expresso em termos percentuais. desvio avaliado a) Caso uma medida única: Desvio relativo = valor medido desvio médio b) Caso uma série de medidas: Desvio relativo = valor médio O desvio relativo percentual é obtido, multiplicando-se o desvio relativo por 100%. O desvio relativo nos dá, de uma certa forma, uma informação a mais acerca da qualidade do processo de medida e nos permite decidir, entre duas medidas, qual a melhor. Isto é, quanto menor o desvio relativo, maior a precisão da medida. Exercício: Indicaremos a seguir algumas grandezas físicas mensuráveis. Verifique quais que poderão estar afetadas de erro ou desvio: (Assinale com um a alternativa correta) a) medida da soma dos ângulos formados pela interseção de duas retas quaisquer; - erro - desvio b) medida da temperatura do corpo humano; - erro - desvio c) medida de um determinado intervalo de tempo; - erro - desvio d) medida da temperatura de fusão do gelo sob pressão normal; - erro - desvio e) medida da densidade da água; - erro - desvio f) medida de determinada massa; - erro - desvio g) medida do diâmetro de uma esfera. - erro - desvio ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (A.S.) A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que usamos para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso. Claramente o número de algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a medida, maior o número de algarismos significativos. Assim, por exemplo, se afirmamos que o resultado de uma medida é 3,4 cm estamos dizendo que os algarismos 3 e são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. Portanto, denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos exatos acrescidos de um único algarismo duvidoso. Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único algarismo duvidoso Algumas observações devem ser feitas: i- Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. Assim, tanto L=3,5 cm como L=0,35 m representam a mesma medida e tem três algarismos significativos. Outros exemplos são: 5 = 0,5x10 = 0,05x10 = 0,005x10 3 (1 A.S. ) 6 =,6x10 = 0,6x10 = 0,06x10 3 ( A.S. ) 0,00034606 = 0,34606x10-3 = 3,4606x10-4 (5 A.S.)
ii- O zero à direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. Portanto, L=3,5 cm e L=3,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S. enquanto que a segunda é mais precisa e tem 4 A.S. iii- É significativo o zero situado entre algarismos significativos. Por exemplo: L = 3,5 m tem 3 A.S. enquanto que L=3,05 m tem 4 A.S. iv- Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm 5,0 cm 5,00 cm 5,000cm, já que estas medidas tem 1 A.S., A.S., 3 A.S. e 4 A.S., respectivamente. Em outras palavras, a precisão de cada uma delas é diferente. v- Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utilizaremos a seguinte regra: quando o último algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; quando o último algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior. Por exemplo: 8,34 cm é arredondado para 8,3 cm 8,35 cm é arredondado para 8,3 cm 8,38 cm é arredondado para 8,4 cm Exemplo: Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela ao lado. Com esse conjunto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio médio. Valor Médio: n D n (mm) ΔD n (10 mm) Dn 97, 7 D= = =1,15 mm N 8 Desvio Médio: - ΔDn 55,00 x 10 ΔD = = mm = 0,06875 mm 0,07 mm N 8 O valor da grandeza é D = (1,15 ± 0,06875). No entanto, observa-se que a incerteza no valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa decimal desse valor. Assim, os outros algarismos posteriores perdem o significado e não são significativos, já que entre os algarismos significativos é admitida a presença de um único algarismo duvidoso. No entanto, esses algarismos presentes tanto no valor médio quanto no desvio médio devem ser considerados para efeito de cálculo, devendo ser desprezados na apresentação final. Escreve-se o resultado final da seguinte maneira: D = (1,1 ± 0,07) mm Normalmente, ao serem feitas aproximações, como no caso acima, é costume, quando o primeiro algarismo desprezado for maior ou igual a cinco, acrescentar uma unidade ao último algarismo mantido. Exemplo: Suponha-se que um processo de medidas e cálculos tenha originado para a resistividade por uma unidade de área de material o valor médio de 3,765 Ω/m com um desvio médio de 0,041 Ω/m. ρ ρ Tem-se então: = ( 3, 765± 0,041) Ω / m = ( 3, 77± 0,0 ) Ω / m A A Deve-se notar que o valor médio pode apresentar um número de algarismos significativos maior que as medidas individuais. Esse resultado, aparentemente sem sentido, é explicável já que está se tratando estatisticamente um conjunto de dados, e as medidas individuais deixam de ter importância, prevalecendo o conjunto como um todo, ou seja, o valor médio. Exemplo: O resultado de uma experiência forneceu o valor médio e o desvio médio iguais a: 1. m = (13,458 ± 0,034) g m = (13,43 ± 0,03) g = (1,343 ± 0,003) x 10 g. m = (7836,6 ± 1,8) g m = (784 ± 1) x 10 g = (7,84 ± 0,01) x 10 3 g Ao se trabalhar com algarismos significativos, não se deve esquecer de que os zeros à esquerda não são significativos, mas os da direita o são. Portanto, são significativos todos os números isentos de dúvida, a partir do primeiro não nulo, e também o primeiro algarismo duvidoso e mais nenhum. 1 3 4 5 6 7 8 1, 1,3 1,1 1, 1, 1,1 1,4 1, - 1,5 + 8,75-11,5-1,5-1,5-11,5 + 18,75-1,5 N= 8 ΣD n = 97,7mm Σ ΔD n = (55,00 10 - )mm
.1 Operações com Algarismos Significativos Regras Adotadas a) Na adição e subtração - faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando critério de arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. Exemplos: Adição - (1.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,0) = 1.60,1001 = 1.60 Subtração - (1.441, 7.856,3) = 4.584,88 = 4.584,9 b) Na multiplicação e divisão - o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. Exemplos: Multiplicação - (1,46 x 39,83) = 496.818 = 496,8 Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,38 = 61,33 c) Na potenciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação): Potenciação - (1,5 x 10 3 ) =,31 x 10 6 Radiciação - (0,75 x 10 4 ) 1/ = 0,87 x 10. Algarismos significativos em medidas com erro: Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra L, tenha obtido os seguintes resultados: - comprimento médio, L = 8,7390 cm - erro estimado, ΔL = 0,538 cm Como o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou seja, o erro estimado de uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos de erro são utilizados apenas para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. Neste caso Δl deve ser expresso apenas por Δl = 0,5 cm. Os algarismos 8 e do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 9 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los: estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será então: L = (8,7 ± 0,5) cm Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever os algarismos significativos da grandeza mensurada com critério. 3. PROPAGAÇÃO DE ERROS O valor de uma grandeza poderá ser obtido diretamente (medida de um comprimento, massa, tempo etc.) ou indiretamente (medida de aceleração, pressão, força, volume etc.). Nas medidas indiretas o valor da grandeza final dependerá das incertezas de cada uma das grandezas obtidas direta ou indiretamente, bem como da forma da expressão matemática utilizada para obtê-las. Seja y uma função das variáveis x 1, x,..., x n, ou seja: onde x i é uma medida experimental com erro Δx i, ou seja: y = f(x 1, x,..., x n ), x i = x i ± Δx i. O erro Δy em y devido aos erros Δx i das medidas de x i pode ser obtido através da expressão: Δy = y x 1 Δx 1 + y x Δx + + y x n Δx n O resultado final é escrito como: y = f(x 1, x, x 3,..., x n ) ± Δy Exemplo: Para se calcular o volume de um cilindro foram feitas medidas de sua altura L e de seu diâmetro D. Os resultados foram: L = (5,00 ± 0,0) cm D = (,00 ± 0,01) cm Sabemos que o volume de um cilindro é dado pela expressão: πd L V =. 4
Portanto temos: e ΔV = V V ΔD + ΔL = D L (,00) ( 5,00) 3 π V = = 15,70796 cm, 4 πdl πd ΔD + 4 ΔL = π,00 5,00 0,01+ π,00 4 0,0 = 0,1991 cm. Arredondando o valor de ΔV para um único algarismo significativo vemos que o erro em V está na primeira casa decimal. Portanto, arredondando o valor de V para apenas uma casa decimal temos o resultado final: V = (15,7 ± 0,) cm 3. Obs: Cálculos que serão utilizados em funções mais complicadas, como sen(x), cos(x), x 1/n e x n com n muito grande etc. Neste caso utilize a incerteza Δx para obter os limites superior e inferior da função no intervalo x ± Δx. Obtenha, a seguir, o valor da função, com a respectiva incerteza, seguindo o procedimento sugerido abaixo: fsup + finf fsup finf F = ± Após obter F = f ± Δf, trate o número obtido da mesma forma que nos casos anteriores. Exemplos: 1 ) 0 F = 5 5 ± = 1,17348 ± 0,01189 F = 1,17 ± 0,01 3 0 f sup = 5 + 5 = 1,1853758 e f = 5-5 = 1,1615864 inf 0 ) F = cos(30,0 ± 0,) = 0,8660 ± 0,00175 F = 0,866 ± 0,00 f sup = cos(30,0 0,) = 0,8677655 e f inf = cos(30,0 + 0,) = 0,864748 3 ) F = (,345630 ± 0,000008) 0 = 540855 ± 1734 F = (,541 ± 0,000) x 10 7 f sup = (,345638) 0 = 54589 e f inf = (,3456) 0 = 541911
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Determinar o desvio avaliado nos seguintes casos: a) régua milimetrada: 0,5 mm b) régua com escala graduada em centímetros: 0,5 cm c) balança com precisão de 0,1 g: 0,05 g d) cronômetro com precisão de 0, s: 0,1 s e) amperímetro com escala graduada em 0,, 4, 6, 8, 10 ampères ( A ): 1 A f) dinamômetro com escala graduada de 5 em 5 newtons ( N ): 3N g) voltímetro com fundo de escala de 10 volts dividida em 0 partes: 0,3 V ) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em termos de algarismos significativos. (a) (b) (c) (d) (e) m 3,75 g 7,19 cm 4,189 g 1314 m 837 h Δm 0,5 g,3 cm 0,019 g 76 m 8 h (a) ( 3,8 ± 0,3 ) g (b) ( 7 ± ) cm (c) ( 4,19 ± 0,0 ) g (d) ( 13 ± 3 )x10 m (e) ( 837 ± 3 )x10 h 3) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes ( N = 5 ), forneceu a tabela: n 1 3 4 5 L n (m),1,6,4,,7 a) Encontrar o valor médio: L = L n =,40 m N b) Encontrar o desvio médio: L L L n Δ = = 0,0m N d) Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos: 4) Efetuar as seguintes operações: L = ( L ± ΔL ) = (,4 ± 0,0 )m a) (31,03 ± 0,0) (1,8 ± 0,5) = Seja x = (31,03 ± 0,0), y = (1,8 ± 0,5) s = s(x,y) = x y Logo s = 31,03 1,8 = 18,3 s s Δ s = Δ x + Δ y = 1 Δ x + 1 Δ y = 0,0 + 0,5 = 0,5 x y s = (18, ± 0,5) b) [(,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m 3 ] = Seja x = (,14 ± 0,03) kg, y = (1,4 ± 0,1) m 3 f = f(x,y) = xy -1 Logo,14 f = = 1, 5857 1,4 f f 1 x 1,14 Δf = Δx + Δy = Δx + Δy = x0,03+ x0,1 x y y y 1,4 ( 1,4 ) f = (1,5 ± 0,1) kg/m 3 = 0,13061
4. MÉTODO GRÁFICO Freqüentemente, em experiências de física, medimos os valores de uma dada grandeza em função da variação nos valores de outra grandeza. Como resultado, temos uma coleção de medidas relacionando ambas as grandezas, o que gera uma tabela de dados. Entretanto, suponha que também desejamos conhecer o comportamento de outros valores, os quais não aparecem na tabela de dados. Nesse caso um procedimento científico consiste em apresentar os dados da tabela na forma de um gráfico (método gráfico). Um gráfico tem a grande vantagem de tornar visível como a variação de uma grandeza afeta a outra. Assim sendo, um gráfico, freqüentemente, nos permite determinar a dependência funcional entre as variáveis envolvidas e assim poder estimar por interpolação ou extrapolação outros valores que não tenham sido dados pela tabela. Para tal fim, ligamos os pontos experimentais por uma curva suave e através da análise gráfica (análise do gráfico) obtemos a relação matemática entre as variáveis. Trata-se de uma poderosa ferramenta de análise de dados experimentais, a qual tem levado à formulação de novas leis físicas. Além disso, o método gráfico é extremamente útil na comparação de dados teóricos e experimentais, pois qualquer discrepância entre a teoria e o experimento é facilmente observada. 4.1 Construção de Gráficos numa Escala Linear Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre marcas sucessivas das escalas, ao longo de cada eixo, é constante (o papel milimetrado é um exemplo). Etapas na construção de um gráfico numa escala linear: a) Em geral, num gráfico, a grandeza representada em cada eixo recebe o nome de variável. O primeiro passo, a seguir, é identificar as variáveis (grandezas) cujos valores serão lançados em cada eixo do gráfico. Assim os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade (indicada por vírgula ou parênteses). O eixo horizontal é chamado de abscissa e nele lança-se os valores numéricos da variável independente. No eixo vertical, ou ordenada, lança-se os valores numéricos da variável dependente. b) A seguir devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, de acordo com o número de algarismos significativos dos dados. Na seção 4. será discutido o procedimento a ser seguido na escolha de uma boa escala. Como a escolha da escala para cada eixo vai depender dos algarismos significativos dos valores numéricos da variável correspondente, as escalas adotadas para cada eixo, em geral, serão diferentes. No entanto, uma boa escolha das escalas deve permitir que todos os pontos experimentais fiquem contidos na região do papel delimitada pelos dois eixos de forma a que o gráfico não fique comprimido em um canto. As escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais e com o número correto de algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos, nem mesmo os valores dos pontos experimentais, pois são os intervalos que irão nos auxiliar na visualização da ordem de grandeza de ditos valores. c) Lançar os valores numéricos dos pares de valores contidos na tabela de dados. Cada par de valores da tabela gera um ponto no gráfico (ponto experimental), é costume indicá-los por uma pequena cruz ou um pequeno círculo. Para tal fim devemos determinar o ponto de interseção entre as retas paralelas aos eixos traçadas a partir dos valores numéricos nos eixos correspondentes. Também, é recomendável colocar nos pontos experimentais as chamadas barras de incerteza que representam os erros na medida dos dados. Esta barra de incerteza é, geralmente, limitada pelo menor valor de escala do papel. d) A última etapa compreende a análise gráfica da seqüência dos pontos experimentais, procedimento a ser discutido posteriormente na seção 4.3. 500 E spaço percorrido (m ) 400 300 00 100 0 0 4 6 8 10 Tempo (s) Figura 1 - Modo de se indicar os intervalos e os pontos experimentais num gráfico
4. Escala Ao construir um gráfico numa escala linear, devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um dado valor da grandeza. Assim, por exemplo, numa folha de papel quadriculado ou milimetrado (exemplos de escalas lineares) cada unidade de comprimento passará a corresponder a um dado valor da grandeza. O parâmetro de correspondência chama-se de fator de escala m. Segue abaixo o procedimento padrão para se determinar o fator de escala. Seja x a grandeza cujos valores numéricos serão lançados num dos eixos do gráfico. Primeiro identificamos, na tabela de dados, o menor valor de x, denotando-o x 0, o qual é tomado como o referencial no eixo (em alguns casos é conveniente considerar x 0 igual a zero). A distância L em relação ao referencial escolhido, o qual representa, em unidades de comprimento, a um dado valor de x é obtido pela relação: L = m(x - x 0 ) onde m é o fator de escala e x 0 é o menor valor da grandeza (ou zero). O fator de escala, m, é obtido através de uma regra de três, o que resulta em: L max m = x x onde L max é o comprimento total do eixo e x max é o máximo valor da grandeza. max 0 Exemplo: Construa uma escala linear em um segmento de reta de 150 mm, para representar os tempos x listados na tabela abaixo. Considere intervalos de 10 segundos. x (s) 4 8 14 30 a) Cálculo do fator de escala: L max = 150 mm, x 0 = 0 (escolha arbitrária), e x max = 30 s, 150 mm m = = 5,0 (mm/s) (30 0) s b) Neste exemplo: L = 5,0 (mm/s).(x 0) s = 5,0x (mm) ; o que gera a seguinte escala linear: Exemplo: Determine uma escala linear para a temperatura de -15,0 C a 40,0 C distribuída ao longo de um eixo de 90 mm. Depois marque as temperaturas de -8,0 C e de 6,0 C no eixo. Neste caso é apropriado adotar x 0 = - 15,0 C, e temos que L max = 90 mm e x max = 40,0 C, assim obtendo o seguinte fator de escala: 90 mm m = = 1,6364 1,5 (mm/ C) o [40 ( 15,0)] C Como resultado obtemos a seguinte escala linear: Obs: É aconselhável, para facilitar as contas, utilizar-se sempre um fator de escala arredondado múltiplo de ou 5 (sempre para menos). Caso m seja menor do que 1 deixá-lo com apenas um algarismo significativo múltiplo de 5. Por exemplo, no exemplo anterior, o arredondamento levou 1,6364 para 1,5.
É importante observar que muitas vezes o procedimento acima não é o mais recomendado pois resulta em fatores de escala que dificultam a marcação dos pontos experimentais no gráfico. Não é necessário que o primeiro e/ou que o último ponto da tabela correspondam ao início e/ou ao final do eixo, respectivamente. Observe o exemplo abaixo: Exemplo: Considere os pontos da tabela abaixo: x(s),30 4,00 6,35 10,6 14,0 17,1 18,7 Deseja-se marcar estes pontos sobre um eixo em um papel com 10 divisões, como mostrado abaixo: Seguindo o procedimento padrão a escala ficaria muito complicada. Uma maneira muito mais simples, neste caso, seria colocar o primeiro ponto do eixo como sendo zero (e não,30) e o último ponto do eixo como sendo 0 (e não 18,7). O fator de escala neste caso seria calculado pela mesma expressão anterior, mas utilizando-se os valores mostrados abaixo: m = x L max x max 0 = 10 0 = 0,5 0 ( mm/s) 4.3 Análise gráfica A análise gráfica consiste em descobrir a dependência funcional entre as variáveis plotadas nos eixos; isto é, achar a fórmula matemática que descreva a sua inter-relação. A análise gráfica permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege um fenômeno físico. O conhecimento dessas leis é muito importante para a elaboração de modelos teóricos que expliquem o fenômeno. A seguir, considerando que a dependência funcional mais simples entre duas variáveis é a relação linear, este será o primeiro caso a ser discutido. 4.3.1 Relação linear Uma relação linear entre as variáveis x e y obedece à seguinte equação: y = a x + b onde a e b são constantes. O gráfico resultante é uma reta. A interseção da reta com o eixo y fornece o valor do coeficiente linear da reta, b, pois quando x = 0, y = b. Já o coeficiente angular, a, exprime a taxa de variação da variável Δy dependente em relação à variável independente, a =. O coeficiente angular a não deve ser confundido com a Δx tangente do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal. Observe que se você mudar as escalas, muda o ângulo também, entretanto o coeficiente angular não muda. No exemplo ilustrado na figura 1 a escala no eixo Y foi mudada do caso (a) para (b). Compare o valor do coeficiente angular com a tangente dos ângulos α e α. São iguais? Figura - Gráficos do espaço percorrido x tempo transcorrido num movimento com velocidade constante. Ambas as figuras têm o mesmo coeficiente angular, a=δe/δt, que neste caso corresponde ao valor da velocidade do móvel. Entretanto, note que as tangentes são diferentes (tgα > tg α ).
No gráfico, a seqüência dos pontos experimentais irão sugerir uma reta. Por se tratar de dados experimentais podemos esperar uma pequena dispersão em torno de uma reta representativa (reta média). Estas dispersões refletem o grau de incerteza associado a cada ponto e é costume indicá-las através de barras de incertezas. Portanto, neste caso, o objetivo da análise gráfica é determinar a equação da reta média (ou também denominada reta mais provável) cujos parâmetros a e b devem ser calculados através do método de mínimos quadrados (método de regressão linear). Exemplo: Plotagem de Gráfico Resultados experimentais (fictícios) obtidos em laboratório estão expostos na tabela abaixo. Estes valores foram plotados num papel milimetrado. Tempo (s) Distância (m) 1,6 4,4 5,8 17,5 9,9 33,7 16,1 4,0 0,1 53,3 Todo gráfico tem por objetivo transmitir de maneira bem mais simples e fácil um conjunto de resultados obtidos. Portanto é necessário que um gráfico tenha boa aparência. A partir da análise do gráfico fica bem mais simples retirar conclusões e resultados. Você é capaz de dizer qual grandeza física representa o coeficiente angular da reta deste gráfico? Obs: i. A inclinação da reta sempre nos traz um resultado físico. Neste caso, a inclinação representa a velocidade do que foi medido. Portanto, a = velocidade = 3,1 m/s ii. A melhor reta não necessariamente passou pelos pontos experimentais. iii. Os eixos estão devidamente identificados e não completamente preenchidos por pontos. iv. Os pontos estão marcados levando em conta as possíveis incertezas.
4.3. Método de regressão linear Aplicaremos o método de regressão linear para obter a expressão analítica da relação linear entre as variáveis x e y. sendo assim, procuramos uma equação da forma: y = a x + b (1) que é a equação da reta média. O método consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta média. Portanto, devemos minimizar a seguinte quantidade: n () S = y ax + b [ i ( i )] i= 1 onde n é o número de medidas (número de pares de valores na tabela de dados). Minimizar S corresponde a fazer S/ a = 0 e S/ b = 0, o que gera as duas equações: + b xi a xi = xiy (3) i nb + a x = i y (4) i Resolvendo simultaneamente (3) e (4), obtemos o valor dos coeficientes da reta: n x i y i ( x i )( y i ) (5) a = n x ( x ) ( b = i i y i )( x i ) ( x i y i )( n x i ( x i ) x i ) Exemplo A partir da seguinte tabela de dados, obter y como uma função linear de x usando o método de regressão linear. x i 1,0 1,6,0 3,0 3,4 4,0 5,0 5,5 6,0 7,0 x i = 38,5 y i 1,4 1,6,0,3,6 3,1 3,4 3,8 4,1 4,6 Solução: Procuramos uma equação da forma y = a x + b. Para isso calcularemos as quantidades indicadas na tabela abaixo. (6) y i = 8,9 x i y i 1,40,56 4,00 6,90 8,84 1,4 17,0 0,9 4,6 3, x y 130,8 x i 1,00,56 4,00 9,00 11,6 16,0 5,0 30,3 36,0 49,0 A seguir determinamos o valor dos coeficientes angular e linear da reta através das Eqs. (5) e (6), com n = 10: i i = x i = 184,5 ( 10)( 130,8) ( 38,5)( 8,9) ( 10)( 184,5) ( 38,5) a = = 0,54 e b = ( 8,9)( 184,5) ( 130,8)( 38,5) ( 10)( 184,5) ( 38,5) = 0,8 Portanto, a relação procurada é: y = 0,54x + 0,8, e o gráfico correspondente é Figura 3 - Gráfico da função y = 0,54x + 0,8
Observe que a reta média não passa necessariamente sobre os pontos no gráfico, nem mesmo sobre os pontos inicial e final. Também observe que as escalas são diferentes em ambos os eixos. Uma outra maneira de analisar os dados em um gráfico linear é traçar manualmente uma reta que visualmente melhor se ajuste aos pontos do gráfico e calcular a inclinação Δy desta reta utilizando a expressão a =, onde os valores de Δx e Δy são calculados Δx utilizando pontos da reta traçada. É importante observar que não é necessário que qualquer um dos pontos experimentais estejam sobre a reta traçada. 4.5 Linearização de gráficos Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo de se determinar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular), portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. A seguir vamos analisar os dois casos mais freqüentes: a relação tipo potência (y = kx a ) e do tipo exponencial (y = k.e ax ), onde k e a são constantes (ver figura ). (a) Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: y = kx a (7) Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, tem-se: log (y) = log (k) + a log (x) (8) Fazendo: log (y) = Y, log (k) = b, e log (x) = X, obtem-se: que é a equação de uma reta. Y = b + a X (9) Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência (Eq.7) em uma relação linear (Eq.9) aplicando o logaritmo. Além do mais, se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de x,y mas de log (y) e log (x) nós teremos uma reta, como ilustrado na figura 4(a). Observe que os valores dos coeficientes linear e angular da reta devem ser calculados pelo método de regressão linear, nesse caso considerando-se as novas variáveis log(y) e log(x) (ver exemplo abaixo). 80 1000 60 y = 3x 800 y = 3e x y 600 40 400 0 00 (a) (b) 0 0 1 3 4 5 x 0 0 1 3 4 5 Figura 4 - Representação gráfica de (a) uma relação tipo potência: y=kx a, e (b) tipo exponencial: y = k.e ax. Observe a diferença entre as escalas para y.
Figura 5 - Exemplos de mudança de variáveis na linearização de (a) uma relação tipo potência: y=kx a, e (b) tipo exponencial: y = k.e ax Como indicado na fig. 4(a) o coeficiente angular a exprime a taxa de variação de log(y) em relação a log(x), e o coeficiente linear b = log(k) corresponde à interseção da reta com o eixo que passa pela origem de log(x) (pois quando log(x) = 0, log(y) = log(k)). Finalmente, achado log(k) segue que k = 10 logk. Exemplo Numa experiência sobre o movimento de um projétil, no plano (x,y), o gráfico em escala linear dos dados correspondentes gerou uma curva indicada na figura abaixo: Figura 6 - Gráfico em escala linear gerado por um conjunto de pontos obtidos no lançamento de um projétil Logo, observando o gráfico podemos inferir que a relação matemática entre as variáveis, altura percorrida (y) e deslocamento na horizontal (x), é do tipo potência: y = kx a. Portanto, para poder determinar os parâmetros k e a é preciso linearizar o gráfico acima. Solução: Neste caso a expressão linearizada é log (y) = log (k) + a log (x), que corresponde a uma relação linear entre as novas variáveis log(x) e log(y). Para determinar a reta média calcularemos os coeficientes linear, b = log(k), e angular, a, pelo método de regressão linear, a partir dos dados listados na tabela a seguir.
x i (m) y i (m) Log (x i ) log (y i ) log(x i ).log(y i ) (log(x i )) 0,49 0,4-0,310-0,60 0,19 0,0961 0,57 0,35-0,44-0,456 0,1113 0,0595 0,66 0,45-0,180-0,347 0,065 0,034 0,7 0,55-0,143-0,60 0,037 0,004 0,78 0,65-0,108-0,187 0,00 0,0117 0,87 0,75-0,071-0,15 0,0089 0,0050 0,96 0,95-0,018-0,0 0,0004 0,0003 1,0 1,0 +0,009 +0,009 0,0001 0,0001 1,07 1,14 +0,09 +0,057 0,0017 0,0008 1,11 1,5 +0,045 +0,097 0,0044 0,000 log( x i ) = 0, 991 log( y i ) = 1, 854 log( x i ) log( yi ) = 0, 4389 (log( x i )) 0, 83 (10)(0,4389) ( 0,991)( 1,854) logo, obtemos: a = = 1,9615 (10)(0,83) ( 0,991) = b = ( 1,854)(0,83) (0,4389)( 0,991) = 0,009 (10)(0,83) ( 0,991) Finalmente, achado b = log(k) = 0,009 k = 10 0,009 = 1,0. Portanto, a relação matemática procurada, a qual descreve o movimento de um projétil, é dada por: y = 1,0 x (m). Observe que trata-se de uma trajetoria parabólica (leia as seções 4-5 e 4-6 do livro Fundamentos de Física, vol. 1 de Halliday, Resnick e Walker). O gráfico linearizado é mostrado na seguinte figura: Figura 7 - Gráfico gerado da linearização do conjunto de pontos obtidos do lançamento de um projétil (b) Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: y = k.e ax (10) Podemos linearizá-la através de uma mudança de variáveis. Nesse caso vamos aplicar logaritmo neperiano, obtendo-se: ln (y) = ln (k) + a x (11) Note que se fizermos ln (y) = Y e ln (k) = b, obteremos: Y = b + a X, que é a equação de uma reta. Em conseqüência, como indicado na Fig. 4(b), o gráfico em escala linear de ln (y) em função de x gerará uma reta. Nesse caso também os coeficientes linear b=ln(k) e angular a da reta média devem ser obtidos pelo método de regressão linear. Finalmente, achado ln (k) segue que k = e ln k.
4.5.1 Gráficos numa escala logarítmica Uma limitação dos gráficos em escala linear é em relação às escalas escolhidas. Se escolhermos uma escala que contenha valores muito grandes (1 s) não conseguiremos representar valores muito pequenos (0,001 s). Se escolhermos uma escala em que 0,001 s possa ser marcado com facilidade, provavelmente os dados maiores (1 s) não caberão sobre o papel. No entanto, o problema dos dados que não cabem sobre o gráfico pode ser resolvido por escalas logarítmicas. Pode-se usar a escala logarítmica em um dos eixos ou em ambos os eixos. No primeiro caso o seu gráfico será chamado mono-log e no segundo di-log ou log-log. Numa escala logarítmica as distâncias entre marcas sucessivas não é constante (como numa escala linear) aqui elas são proporcionais às diferenças entre os logaritmos das variáveis. Isto é, a escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e é proporcional a (log - log 1); a distância entre e 3 é proporcional a (log 3 - log ); e assim por diante (como tarefa observe as escalas numa folha impressa de papel mono-log ou log-log). Sendo assim fica evidente que tanto no gráfico mono-log como no log-log o aspecto do gráfico será diferente de quando você usa escalas lineares. Nessa escala, ao colocarmos diretamente os valores de x e y nós estamos fazendo com que as distâncias entre sucessivos valores de x e y sejam proporcionais a log (x ) e log (y), porque as escalas foram construídas assim. A figura 4 ilustra o uso de escala logarítmica num caso típico no qual as variáveis valham varias ordens de grandeza. Figura 8 - Gráfico em papel mono-log da taxa de decaimento radioativo (R) de uma amostra de 18 I. A análise gráfica mostra que R obedece uma lei exponencial do tipo: R=R 0 e -λt, sendo λ a constante de desintegração radioativo. Os dados correspondem a tabela mostrada na seção 47-3 do livro Fundamentos de Física, vol. 4, de Halliday, Resnick e Walker.