As Permutações Comentários: As primeiras atividades matemáticas da humanidade estavam ligadas à contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. As civilizações antigas, como egípcia, babilônia, maia e romana, utilizavam traços verticais, círculos, pontos ou outros sinais para registrar as contagens. A Análise Combinatória é a área da que trata dos problemas de contagem. Por exemplo, podemos construir a árvore das possibilidades para solucionar o exercício abaixo: Uma moeda tem duas faces: cara (K) e coroa ( C ). Lança-se uma duas vezes seguidas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantas e quais são os resultados possíveis? Solução: 1º lançamento 2º lançamento K K C K C C São possíveis 4 resultados, que indicamos por: K K; K C; C K; C C. Dando continuidade ao conteúdo estudado na aula 48 O Princípio Multiplicativo, vamos iniciar nossa aula conhecendo novas definições. Definição 1: Fatorial É comum, nos problemas de contagem, calcular o produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar esse trabalho, vamos adotar um símbolo que representamos por n! (Lê se: n fatorial ou fatorial de n). 1
Expressão geral: n! = n. (n 1). (n 2)... 3. 2. 1, (até chegar ao número 1), sendo n e n > 1. Lembrar que representa o conjunto dos números naturais. Conseqüências da definição de Fatorial: 1ª conseqüência: Podemos escrever para qualquer n( n ) e n > 2: n! = n. (n 1)! Por exemplo: Na igualdade 8! = 8. 7!, temos que 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 2ª conseqüência: Vamos estender o conceito de fatorial de n para n =1 e n = 0. Em cada extensão deve-se conservar a propriedade n! = n. (n 1)! Por exemplo: Se n = 2 n! = n. (n 1)! 2! = 2. (2 1)! 2! = 2. 1! 2. 1 = 2. 1! (dividindo os dois membros por 2) 1 = 1! ou 1! = 1 Se n = 1 n! = n. (n 1)! 1! = 1. (1 1)! 1! = 1. 0! 1 = 1. 0! Para que essa igualdade seja verdadeira, definimos: 0! = 1 Exemplos: 1. Determine o valor de: a) 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 b) 7! = 7. 6! = 7. 720 = 5040 2
2. Simplifique as expressões: a) 5! 3! 5. 4. 3. 2.1 5. 4 20 3. 2. 1 3. Calcule: a) 5! 5. 4. 3. 2. 1 120 120 3! 2! 3. 2. 1 + 2. 1 6 2 8 15 Atenção usuário ou leitor: Utilize os exemplos e exercícios dados no material impresso (livro 3 de do TC 2000) páginas 72 a 77. Definição 2: Permutar: 1. Dar mutuamente, trocar. Permutação: 1. Ato ou efeito de permutar, troca, substituição; 2. Transposição dos elementos de um todo para se obter uma nova combinação; 3. Seqüência ordenada dos elementos de um conjunto. Permutação simples: Seja E um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento (seqüência) de n elementos distintos do conjunto E. Podemos, também, interpretar cada permutação de n elementos como um arranjo simples (organização dos elementos) de n elementos tomados n a n, ou seja, p = n. O número de permutações simples de n elementos é indicado por P n. Assim temos: 3
P A P = n! P = n! P = n! P = n! n n, n n n - n! n 0! n 1 n Ou ainda: P n = n. (n 1).(n 2)... 1 As permutações simples de n elementos distintos diferem entre si somente pela ordem dos elementos. Aplicação: As definições de permutações simples podem ser aplicadas em várias situações diferentes, por exemplo, na determinação dos anagramas* sem repetições. * Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase. Com a aplicação das permutações simples determinamos anagramas das palavras que são formadas sem repetição de letras, por exemplo: 1. Quantos são os anagramas da palavra PAZ? Solução: Como podemos observar na formação da palavra PAZ não ocorre a repetição de letras, portanto, o número de anagramas é o número de permutações possíveis com a quantidade de letras da palavra dada: P, A, Z total de 3 letras 3! = 3. 2. 1 = 6 PAZ; PZA; APZ; AZP; ZAP e ZPA. 6 quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra dada. Outros exemplos de aplicação da permutação simples: 1. Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? Como queremos formar números de 5 algarismos, podemos ordenar os algarismos dados da seguinte maneira: P 5 = A 5, 5 5 algarismos 4
Como vamos formar números distintos (sem repetição), podemos aplicar a regra da permutação simples, ou seja: P 5 = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 120 quantidade de números que podemos formar com os 5 algarismos dados. 2. Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 pessoas que sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem? Solução: Atenção no enunciado, pois devemos observar que existe uma restrição a se levar em consideração na resolução. Restrição: o banco do motorista só pode ser ocupado por 2 pessoas que sabem dirigir, portanto as outras 4 pessoas podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes. 2. 4! = 2. 4. 3. 2. 1 = 48 maneiras diferentes Nº de lugares restantes Nº de pessoas que sabem dirigir Permutação com elementos repetidos: Observe que até agora, estudamos permutação com elementos distintos. Veja, no exemplo a seguir, o que acontece quando entre n elementos houver uma quantidade de elementos repetidos. Quantos anagramas podemos formar com a palavra MADEIRA? Resolução: observe que a palavra possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. 5
Para resolver o exemplo acima podemos utilizar a seguinte expressão: n! P n =! onde n = quantidade total de elementos e = quantidade de elementos repetidos. Portanto, temos: 2 7! 7.6.5.4.3.2.1 P7 2520 2! 2.1 Outro exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARITMÉTICA? Observe que a palavra tem 10 letras, sendo: 2 iguais a A; 2 iguais a I; 2 iguais a T, portanto: P 2, 2, 2 10 10! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 453.600 anagramas. 2!2!2! 8 Permutação circulares: Para determinarmos o número de permutações circulares, utilizamos a seguinte expressão: n! n. ( n - 1 )! n n = ( n - 1 )! Exemplo de aplicação: Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crianças? ( n 1 )! ( 8 1 )! 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5.040 rodas diferentes. Observação: Utilize como atividade em classe os exercícios das páginas 77, 83 e 84 do livro 3 do TC 2000. 6