MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANÁLISE DE INVESTIMENTO AULA 02: CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO E FLUXO DE CAIXA TÓPICO 03: FLUXO DE CAIXA (UNIFORME E IRREGULAR) FLUXO DE CAIXA Denomina-se fluxo de caixa, a sequência de entradas e saídas de dinheiro (ou qualquer outro ativo que seja expresso em dinheiro) durante um determinado tempo. Podemos citar o exemplo de um empréstimo feito numa instituição financeira, para pagamento em quatro prestações iguais. No primeiro momento temos a entrada do valor do empréstimo na nossa conta, representada pela seta para cima e em quatro momentos posteriores temos a saída do valor da prestação para a realização do pagamento das parcelas do empréstimo, representados pelas quatro setas para baixo. Temos ai um fluxo de caixa. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO. OBSERVAÇÃO No eixo horizontal (abscissas) representam-se os períodos de tempo; no eixo vertical (ordenadas) representam-se por flechas, os valores das entradas e saídas de dinheiro; flechas com orientação para cima, positiva, representam entrada de dinheiro e com orientação para baixo, negativa, saída de dinheiro. Observar que o tamanho de cada flecha não é em escala, mas apenas e meramente representativo da qualificação da entrada ou saída de dinheiro. FLUXO DE CAIXA UNIFORME Um fluxo de caixa uniforme é aquele que contém os cinco elementos financeiros básicos: valor presente (PV), valor futuro (FV), tempo (n), taxa de juros (i) e prestações (PMT). É denominado uniforme porque suas prestações (PMT) são iguais e periódicas. CONCEITO DE ANUIDADE OU SERIE Uma anuidade ou serie é um conjunto de operações positivas (recebimentos, entradas de caixa) ou negativas (pagamentos, saídas de caixa), periódicas e constantes.

As anuidades podem ser FINITAS (quando ocorrem durante um período determinado de tempo) ou INFINITAS (quando ocorrem para sempre, também chamado de perpetuidades). As anuidades podem ser POSTECIPADAS (quando ocorrem ao final de cada período) ou ANTECIPADAS (quando ocorrem no começo de cada período). As anuidades podem ser DIFERIDAS (quando ocorre um prazo de carência para a primeira prestação) ou IMEDIATAS (quando não existe período de carência para a primeira prestação). As anuidades estão presentes em diversas situações do cotidiano. Em planos de poupança, financiamentos, aposentadoria, pensão, pagamentos de aluguel, recebimento mensal de salário e avaliação de investimento. OBSERVAÇÃO Os cálculos das anuidades podem ser realizados com a HP12C, no entanto, faz-se necessário adequar a calculadora a convenções importantes para o cálculo das anuidades postecipadas ou antecipadas. Se a anuidade for antecipada, torna-se necessário ativar o indicador [BEGIN] no visor da calculadora, pressionando as teclas [g] [BEGIN]. Quando a anuidade for postecipada, é necessário desativar o "BEGIN" teclas [g] [END]. A convenção da HP12C é trabalhar no módulo postecipado, razão pela qual não aparece "END" no visor. Fórmulas das anuidades: O valor futuro (FV) da serie de prestações (PMT) pode ser calculado levando-se cada prestação até o vencimento, mediante a taxa i. FV = PMT x [ (1 + i) n-1 + (1 + i) n-2 +...+ (1 + i) + 1] Multiplicando ambos os termos por (1 + i): FV x (1 + i) = PMT x [(1 + i) n + (1 + i) n-1 +...+ (1 + i) 2 + (1 + i)] Subtraindo as duas equações anteriores, temos que:

Como PV = FV / (1 + i)n, temos que: No caso de as prestações serem infinitas e postecipadas, tem-se a perpetuidade. Nesses casos, quando n tende a infinito, as equações para determinar o PV e o PMT tendem para: EXEMPLO 1 Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de $ 36.000,00, a ser pago em 36 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de 1,8% a.m. Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja paga: (a) 1 mês após a compra; (b) a vista. SOLUÇÃO PV = 36.000,00 FV = 0,00 n = 36 meses i = 1,8 % a.m. PMT =? a) Série postecipada [g] [END] 36.000,00 [PV] ] 1,8 (i) 36 (n) 0,00 (FV) (PMT) - 1.367,42 b) Série antecipada [g] [BEG] 36.000,00 [PV]] 1,8 (i) 36 (n) 0,00 (FV) (PMT) - 1.343,24 FLUXO DE CAIXA IRREGULAR

CONCEITO Um fluxo de caixa irregular (não uniforme) consiste em uma sequência de entradas e saídas de caixa de intensidades, sinais e periodicidades diferentes. Em um fluxo de caixa irregular, não se consegue trabalhar direta e facilmente com as cinco funções financeiras básicas (PV, FV, PMT, i e n). Conforme a figura abaixo: Um dos papéis do fluxo de caixa é permitir a visualização do investimento e servir de base para a decisão de investir ou não em determinado projeto. Veremos na aula 4 de forma mais aprofundada como proceder essa decisão. Mas para a presente aula o objetivo é determinar o valor presente liquido e a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa irregular. O valor presente líquido (VPL) é igual ao valor presente de todas as entradas e saídas futuras de caixa. Para um fluxo de entradas e saídas de caixas desiguais a longo do horizonte de tempo n, o valor presente líquido pode ser calculado com a formula abaixo: VALOR PRESENTE LÍQUIDO POSITIVO, NEGATIVO E ZERO Quando o valor presente líquido é positivo, isso significa que os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente superam o investimento inicial. Portanto, o fluxo de caixa agrega valor e é atrativo do ponto de vista econômico-financeiro. Porém, quando o valor presente liquido se apresentar negativo, significa que os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente são inferiores ao investimento inicial, o fluxo de caixa destrói valor e não deveria ser realizado. Quando o valor presente líquido é zero, os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente são iguais ao investimento inicial, o que deixa o investidor em posição de indiferença se o investimento deverá ser realizado ou não. A taxa interna de retorno (TIR) mede a rentabilidade do fluxo de caixa. O cálculo da TIR não é direto, uma vez que não existe uma fórmula especifica. Na realidade, a TIR é a taxa de juros (i) que iguala o VPL de um fluxo de caixa a zero.

Onde: FC = fluxo de caixa do período TIR = taxa interna de retorno n = prazo Quando o VPL é positivo (TIR > i), significa que o projeto agrega valor. Quando o VPL é negativo (TIR < i), o projeto destrói valor. Quando o VPL é zero (TIR = i), ficamos em posição de indiferença para fazer ou não o projeto. EXEMPLO 2 Uma empresa está analisando a possibilidade de realizar um projeto com vida útil de 6 anos, que exigirá um investimento inicial de $ 1.200,00. As estimativas de fluxos de caixa futuros encontram-se a seguir. Determinar o VPL e a TIR do investimento, sabendo-se que a taxa de juros é de 20% a.a. ANO CAIXA FLUXO DE 0-1.200,00 1 300,00 2 400,00 3 400,00 4 500,00 5 500,00 6 500,00 SOLUÇÃO VPL = 168,77 Para calcular a TIR: TIR = 25,02 % a.a. Na HP12C: [f] [REG] 1.200,00 [g] [CF 0 ]

300,00 [g] [CF j ] 400,00 [g] [CF j ] 400,00 [g] [CF j ] 20 [g] [i] [F] NPV 168,77 [F] IRR 25,02 [f] [REG] 1.200,00 [g] [CF 0 ] 300,00 [g] [CF j ] 400,00 [g] [CF j ] 2 [g] [N j ] 3 [g] [N j ] 20 [g] [i] [F] NPV 168,77 [F] IRR 25,02

FÓRUM Não deixe de levantar questões e dúvidas no Fórum 1. Sua participação no fórum é necessário para contar como presença. REFERÊNCIAS CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel 3.ed. rev. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira Aplicações à Análise de Investimento, São Paulo: Pearson, 2007. SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Atlas, 2005. (Coleção Coppead de Administração). Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2002 FONTES DAS IMAGENS Responsável: Prof. Sérgio César de Paula Cardoso Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual